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1、高中数学知识点完整结构图高中数学知识点完整结构图-掌门掌门 1 对对 1 高中数学知识点高中数学知识点 1 集合 1 2 3 4 12n xAxBABAB AnA （）元素与集合的关系：属于（ ）和不属于（ ） （ ）集合中元素的特性：确定性、互异性、无序性 集合与元素 （ ）集合的分类：按集合中元素的个数多少分为：有限集、无限集、空集 （ ）集合的表示方法：列举法、描述法（自然语言描述、特征性质描述）、图示法、区间法 子集：若，则，即 是 的子集。 、若集合 中有 个元素，则集合 的子集有个， 注 关系 集合 集合与集合 00 (2 -1) 2 3,. 4 / n AA A B CABBCA
2、C ABABxBxAAB ABABAB ABx xAxB AAAAABBAAB 真子集有个。 、任何一个集合是它本身的子集，即 、对于集合如果，且那么 、空集是任何集合的（真）子集。 真子集：若且（即至少存在但），则 是 的真子集。 集合相等：且 定义：且 交集 性质：， 运算 , / ()( )( )-() / ()()()()()() U UUUUUUU A ABBABABA ABx xAxB AAAAAABBAABAABBABABB Card ABCard ACard BCard AB C Ax xUxAA C AAC AAUCC AACABC AC B ， 定义：或 并集 性质：， 定
3、义：且 补集 性质：， ()()() UUU CABC AC B 函数 , , ABAx ByfBAB xyx fyyxy 映射定义：设 ， 是两个非空的集合，如果按某一个确定的对应关系，使对于集合 中的任意一个元素 ， 在集合 中都有唯一确定的元素 与之对应，那么就称对应 ：为从集合 到集合 的一个映射 传统定义：如果在某变化中有两个变量并且对于 在某个范围内的每一个确定的值， 定义按照某个对应关系都有唯一确定的值和它对应。那么 就是 的函数。记作 函数及其表示 函数 ( ). ,()()( ), 1212 ()()( ), 12 fx a ba xxbfxfxfxa ba b fxfxfx
4、a ba b a 近代定义：函数是从一个数集到另一个数集的映射。 定义域 函数的三要素值域 对应法则 解析法 函数的表示方法列表法 图象法 单调性 函数的基本性质 传统定义：在区间上，若如，则在上递增,是 递增区间；如，则在上递减,是的递减区间。 导数定义：在区间 ( )1( ) 2()( ) 00 ,( ) 0( ),( ) 0 ( ), yfxIMx IfxM xIfxMMyfx bfxfxa ba bfx fxa ba b 最大值：设函数的定义域为 ，如果存在实数满足：（ ）对于任意的，都有； （ ）存在，使得。则称是函数的最大值 最值 最 上，若，则在上递增,是递增区间；如 则在上递减
5、,是的递减区间。 ( )1( ) 2()( ) 00 (1)()( ),( ) (2)()( ),( ) yfxINx IfxN xIfxNNyfx fxfx xDfx fxfx xDfx 小值：设函数的定义域为 ，如果存在实数 满足：（ ）对于任意的，都有； （ ）存在，使得。则称 是函数的最小值 定义域 ，则叫做奇函数，其图象关于原点对称。 奇偶性定义域 ，则叫做偶函数，其图 ( )()( )(0)( ) ( ) 1 ,() 11 2 y fxfx TfxTfxT Tfx yy xa xyfx a a 象关于 轴对称。 奇偶函数的定义域关于原点对称 周期性：在函数的定义域上恒有的常数 则叫
6、做周期函数， 为周期； 的最小正值叫做的最小正周期，简称周期 （ ）描点连线法：列表、描点、连线 向左平移 个单位： 向右平移 个 平移变换 函数图象的画法 （ ）变换法 ,() 11 ,( ) 11 ,( ) 11 101 1 1/() 1 1)01) 1 yy xa xyfx a bxx yb yy bfx bxx yb yy bfx xww wxwxyfwx yAA 单位： 向上平移 个单位： 向下平移 个单位： 横坐标变换：把各点的横坐标 缩短（当时）或伸长（当时） 到原来的倍（纵坐标不变），即 伸缩变换 纵坐标变换：把各点的纵坐标 伸长（或缩短（到 /( ) 1 22 1010 (,
7、)2(2) 0000 22 1010 22 1010 (2) 00 11 11 2( 00 22 1010 A yyAyfx x xxxxx xyyyfxx y yyyyy x xxxxx x xyfxx y yyy x xxx y yyyf yyyyyy 原来的 倍 （横坐标不变）， 即 关于点对称： 关于直线对称： 对称变换 关于直线对称： ) 1 1 ( ) 1 x x x y xyfx y y 关于直线对称： 附： 一、函数的定义域的常用求法： 1、分式的分母不等于零；2、偶次方根的被开方数大于等于零；3、对数的真数大于零；4、指数函 数和对数函数的底数大于零且不等于 1；5、三角函数
8、正切函数中；余切函tanyx() 2 xkkZ 数中；6、如果函数是由实际意义确定的解析式，应依据自变量的实际意义确定其取值范围。cotyx 二、函数的解析式的常用求法： 1、定义法；2、换元法；3、待定系数法；4、函数方程法；5、参数法；6、配方法 三、函数的值域的常用求法： 1、换元法；2、配方法；3、判别式法；4、几何法；5、不等式法；6、单调性法；7、直接法 四、函数的最值的常用求法： 1、配方法；2、换元法；3、不等式法；4、几何法；5、单调性法 五、函数单调性的常用结论： 1、若均为某区间上的增（减）函数，则在这个区间上也为增（减）函数( ), ( )f x g x( )( )f
9、xg x 2、若为增（减）函数，则为减（增）函数( )f x( )f x 3、若与的单调性相同，则是增函数；若与的单调性不同，则( )f x( )g x ( )yf g x( )f x( )g x 是减函数。 ( )yf g x 4、奇函数在对称区间上的单调性相同，偶函数在对称区间上的单调性相反。 5、常用函数的单调性解答：比较大小、求值域、求最值、解不等式、证不等式、作函数图象。 六、函数奇偶性的常用结论： 1、 如果一个奇函数在处有定义， 则， 如果一个函数既是奇函数又是偶函数，0 x (0)0f( )yf x 则（反之不成立）( )0f x 2、两个奇（偶）函数之和（差）为奇（偶）函数；
10、之积（商）为偶函数。 3、一个奇函数与一个偶函数的积（商）为奇函数。 4、两个函数和复合而成的函数，只要其中有一个是偶函数，那么该复合函数就( )yf u( )ug x 是偶函数；当两个函数都是奇函数时，该复合函数是奇函数。 5、若函数的定义域关于原点对称，则可以表示为( )f x( )f x ，该式的特点是：右端为一个奇函数和一个偶函数的 11 ( ) ( )() ( )() 22 f xf xfxf xfx 和。 ,( )0( ) ( ) ,( )( )0, ( ) ,( ,),( )0, ( )0 ( )0 yf xfxxyfx yfxa bfaf b yfxa bca bf cc fx
11、 fx 零点：对于函数（ ）我们把使的实数 叫做函数的零点。 定理：如果函数在区间上的图象是连续不断的一条曲线，并且有 零点与根的关系那么，函数在区间内有零点。即存在使得这个 也是方 程的根。（反之不成立） 关系：方程 函数与方程 函数的应用 ( )( ) (1) ,( )( )0, (2)( ,); (3)( ) ( )0, ( )( )0,( ,) 0 ( )( )0, 0 yfxyfxx a bfaf b a bc f c f cc faf cbcxa b f cf bacx 有实数根函数有零点函数的图象与 轴有交点 确定区间验证给定精确度 ； 求区间的中点 计算； 二分法求方程的近似解
12、若则 就是函数的零点； 若则令（此时零点）； 若则令（此时零点( ,) (4)-,();24 c b abab ）； 判断是否达到精确度 ：即若则得到零点的近似值或否则重复。 几类不同的增长函数模型 函数模型及其应用用已知函数模型解决问题 建立实际问题的函数模型 , (0, ,) ()(0, ,) ()(0,0,) (01) 1 lo mn a na nm n aa rsrs a aaar sQ r srs aaar sQ rr s aba babrQ x yaaa x 根式：为根指数， 为被开方数 分数指数幂 指数的运算 指数函数性质 定义：一般地把函数且叫做指数函数。 指数函数 性质：见表
13、 对数： 基本初等函数 对数的运算 对数函数 g, log()loglog; logloglog; . loglog;(0,1,0,0) log log(01) 1 log ( ,0,1,0) log c a c N aN a MNMN aaa M MN aaa N n MnMaaMN aa yx aa a b ba ca cb a 为底数，为真数 性质 换底公式： 定义：一般地把函数且叫做对数函数 对数函数 性质：见表 且 yxx 幂函数 定义：一般地，函数叫做幂函数， 是自变量，是常数。 性质：见表2 表表 1 指数函数 0,1 x yaaa 对数数函数 log0,1 a yx aa 定
14、义 域 xR0,x 值 域 0,yyR 图 象 过定点(0,1) 过定点(1,0) 减函数增函数减函数增函数 (,0)(1,) (0,)(0,1) xy xy 时， 时， (,0)(0,1) (0,)(1,) xy xy 时， 时， (0,1)(0,) (1,)(,0) xy xy 时， 时， (0,1)(,0) (1,)(0,) xy xy 时， 时， 性 质 abab ab ab 表表 2幂函数()yxR p q 00111 p q 为奇数 为奇数 奇函数 p q 为奇数 为偶数 p q 为偶数 为奇数 偶函数 第一象限 性质 减函数增函数 过定点 01（ ， ） 高中数学知识点高中数学知识点 2 一、直线与方程一、直线与方程 （1）直线的倾斜角）直线的倾斜角 定义 ： x 轴正向正向与直线向上方向向上方向之间所成的角叫直线的倾斜角。特别地，当直线与 x 轴平行或重合时,我们规 定它的倾斜角为 0 度。因此，倾斜角的取值范围是 0180 （2）直线的斜率）直线的斜率 定义：倾斜角不是 90的直线，它的倾斜角的正切叫做这条直线的斜率。直线的斜率常用 k 表示。即 。斜率反映直线与轴的倾斜程度。tank 当时，； 当时，； 当时，不存在。 90,00k 180,900k 90k 过两点的直线的斜率公式： )( 21 12 12 xx xx
