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1、江南中学初中数学竞赛题江南中学初中数学竞赛题 2012.4 班级班级 _ 姓名姓名_ 成绩成绩_ 一、选择题一、选择题(每小题每小题 7 分，共分，共 42 分分) 1. 设，且 x、y、z 为有理数.则 xyz=( ).zyx6323 (A)34 (B)56 (C)712 (D)1318 2. 某次数学测验共有 20 道题.评分标准规定:每答对一题得 5 分，不答得 0 分，答错得-2 分. 已知这次测验中小强与小刚的累计得分相等，分数是质数.则小强与小刚答题的情况是 ( ). (A)两人答对的题数一样多 (B)两人答对的题数相差 2 (C)两人答对的题数相差 4 (D)以上三种情况都有可能
2、 3. 能判定四边形 ABCD 是菱形的条件是( ). (A)对角线 AC 平分对角线 BD，且 ACBD (B)对角线 AC 平分对角线 BD，且A=C (C)对角线 AC 平分对角线 BD，且平分A、C (D)对角线 AC 平分A、C，且A=C 4. 已知抛物线 y=ax2+bx+c(a0)与直线 y=k(x-1)-.无论 k 取任何实数,此抛物线与直线 4 k2 都只有一个公共点.那么,抛物线的解析式是( ). (A)y=x2 (B)y=x2-2x (C)y=x2-2x+1 (D)y=2x2-4x+2 5. 如图，在ABC 中，B 为直角，A 的平分线为 AD，边 BC 上的中线为 E，
3、且点 D、E 顺次分 BC 成三段的比为 123.则 sinBAC=( ). (A)12/13 (B)4 /9 (C)2 /5 (D) 36 4 32 6. 已知在平面直角坐标系 xOy 中， 直线 y=2kx+3-4k 与 x 轴正半轴、 y 轴正半轴分别交于点 A、 B，P 是线段 AB 上一点，PMx 轴于点 M，PNy 轴于点 N.则矩形 OMPN 面积的最大值至 少为( ). (A)3 (B)4 (C)6 (D)8 二、填空题二、填空题(每小题每小题 7 分，共分，共 28 分分) 7. 正方形 ABCD 的边长为 5，E 为边 BC 上一点，使得 BE=3，P 是对角线 BD 上的
4、一点， 使得 PE+PC 的值最小.则 PB= . 8. .一个自行车轮胎，若安装在前轮，则行驶 5 000 km 后报废;若安装在后轮，则行驶 3 000 km 后报废.如果行驶一定路程后交换前、后轮胎，使一对新轮胎同时报废，那么，最多可行 驶 km. 9.已知方程 x2+x-1=0 的两个根为、.则的值为 . 33 10. 如图是一个挂在墙壁上时钟的示意图.O 是其秒针的转动中心，M 是秒针的另一端， OM=10 cm，l 是过点 O 的铅直直线.现有一只蚂蚁 P 在秒针 OM 上爬行，蚂蚁 P 到点 O 的距离与 M 到 l 的距离始终相等.1 分钟的时间内，蚂蚁 P 被秒针 OM 携带
5、的过程中移动 的路程(非蚂蚁在秒针上爬行的路程)是 cm. 三解答题 11.(18 分)某公司用 480 万元购得某种产品的生产技术后， 再次投入资金 1 520 万元购买 生产设备，进行该产品的生产加工.已知生产这种产品每件还需成本费 40 元，经过市场调研 发现:该产品的销售单价定在 100 元到 00 元之间较为合理.当销售单价定为 100 元时， 年销售 量为 20 万件;当销售单价超过 100 元， 但不超过 200 元时， 每件产品的销售价格每增加 10 元， 年销售量将减少 0.8 万件;当销售单价超过 200 元， 但不超过 300 元时， 每件产品的销售价格 每增加 10 元
6、，年销售量将减少 1 万件.设销售单价为 x(元)，年销售量为 y(万件)，年获利为 w(万元). (1)直接写出 y 与 x 之间的函数关系式. (2)求第一年的年获利 w 与 x 之间的函数关系式，并说明投资的第一年，该公司是赢利还是 亏损?若赢利，最大利润是多少?若亏损，最少亏损是多少? (3)该公司希望到第二年底，两年的总赢利不低于 1 842 万元，请你确定此时销售单价的范围. 在此情况下，要使产品销售量最大，销售单价应定为多少元? 12. (16 分)已知二次函数 y=x2+2mx-n2. (1)若此二次函数的图像经过点(1，1)，且记 m，n+4 两数中较大者为 P，试求 P 的
7、最小值; (2)若 m、n 变化时，这些函数的图像是不同的抛物线，如果每条抛物线与坐标轴都有三个不 同的交点，则过这三个交点作圆，证明:这些圆都经过同一定点，并求出该定点的坐标. 13. (16 分)实数 x、y、z、w 满足 xyzw0，且 5x+4y+3z+6w=100.求 x+y+z+w 的最大 值和最小值. 参考答案 1. A. 两边平方得 3+2 +=x+y+z+2+2+2.36xyyzxz 根据有理数 x、y、z 的对称性,可考虑方程组 x+y+z=3,2= 2,2=,2= .xyyz3xz6 解得 x=1,y=12,z=32.此时,xyz=3/4. 2. D. 根据题意，依次枚举
8、答对 20 道题、19 道题、的各种可能发现: (1)小强与小刚可能都答对 17 题、答错 1 题、未答其余 2 题同得 83 分; (2)小刚与小强可能同得 53 分， 不过一人答对 13 题、 答错 6 题、 1 题未答， 另一人答对 11 题、 答错 1 题、其余各题未答; (3)小刚与小强也可能同得 23 分，其中一人答对 9 题，其余各题答错，另一人答对 5 题、答 错 1 题、其余各题未答. 3. D. 如图4， AC平分BD， ACBD， AC也平分A和C，故可排除选项 (A)、 (C). 而选项(B)的条件只能推出四边形 ABCD 是平行四边形，故排除选项(B). 4. C.
9、由 y=ax2+bx+c,y=k(x-1)-k2/4 得 ax2+(b-k)x+c+k+k2/4=0. 由 题 设 知 ,方 程 有 两 个 相 等 的 实 根 ,则 =(b-k)2-4a( c+k+k2/4)=0,即 (1-a)k2- 2(2a+b)k+b2-4ac=0. 因为 k 为任意实数,所以,抛物线的解析式为 y=x2-2x+1. 5. C. 设 BD=x，AB=y，则 DE=2x，EC=3x. 由 BD/DC=AB/AC，得 AC=5y.又 AB2+BC2=AC2，即 y2+(6x)2=(5y)2. 所以，x2=2y2/3，sinBAC=6x/5y=2 /5.6 6. C. 设点
10、P 的坐标为(x0，y0)，矩形 OMPN 的面积为 S.则 x00，y00，S=x0y0. 因为点 P(x0，y0)在 y=2kx+3-4k 上，所以，y0=2kx0+3-4k. 故 S=x0(2kx0+3-4k)=2kx20+(3-4k)x0. 因此，S最大=，即 16k2-(24-8S最大)k+9=0. 2k4 4k)-(3-02k4 2 因为 k 为实数，则有 =-(24-8S最大)2-41690.故|24-8S最大|24. 解得 S最大6 或 S最大0(舍去). 当 S最大=6 时，k=-3/4. 7. 15 /8.2 因为 PE+PC=PE+PA，所以，当 A、P、E 三点共线时，
11、PE+PA 最小. 如图，建立直角坐标系，设 B 为坐标原点，BA 为 x 轴.则 lBD:y=x， lAE:3x+5y=15.所以，P(15/8，15/8).故 PB=15/8.2 8. 3 750. 设每个新轮胎报废时的总磨损量为 k，则安装在前轮的轮胎每行驶 1 km 的磨损量为 k/5 000，安装在后轮的轮胎每行驶 1 km 的磨损量为 k/3 000.又设一对新轮胎交换位置前走了 xkm，交换位置后走了 ykm.分别以一个轮胎的总磨损量为等量关系列方程，有 .两式相加得 x+y=3 750 (km k kykx k kykx 50003000 30005000 9. .-7. 令
12、A=，B=2+2. 33 33 由已知有+=-1，=-1. 故 B=(+)2-2=1+2=3. A+B=)=(3+3)(1/+1/)=-4. 由式、得 A=-4-3=-7. 10. 20. 如图，以点 O 为圆心、10 cm 为半径作O.过 M 作 MNl 于点 N， 过O作l的垂线交O于点Q1、Q2.联结PQ1.则MNOQ1，M=MOQ1. 又因 OM=OQ1， MN=OP， 所以， OMNQ1OP.故OPQ1=ONM=90 . 因此，点 P 在以 OQ1为直径的圆上. 同理，点 P 在以 OQ2为直径的圆上. 从而， 蚂蚁 P 在 1 分钟的时间内被秒针 OM 携带的过程中移动的轨迹 就是
13、分别以 OQ1、 OQ2为直径的两个圆.移动的路程为 210=20. 11、(1)y=-x+28， 100 x200; 25 2 y=- x+32， 200x300. 10 1 (2)当 100 x200 时，w=xy-40y-(1 520+480). 将 y=-x+28 代入式得 w=x(-x+28)-40(-x+28)-2 000. 25 2 25 2 25 2 整理得 w=- (x-195)2-78. 25 2 当 200x300 时，同理可得 w=- (x-180)2-40. 10 1 故 w=- (x-195)2-78， 100 x200; 25 2 w=- (x-180)2-40，
14、 200x300. 10 1 若 100 x200，当 x=195 时，wmax=-78; 若 200x300 时，wmax-80.故投资的第一年公司是亏损的，最少亏损为 78 万元. (3)依题意可知，第二年 w 与 x 之间的函数关系式为 w=(-x+28)(x-40)， 100 x200; 25 2 w= (-x+32)(x-40)， 200x300. 10 1 当两年总利润刚好为 1 842 万元时，依题意得(-x+28)(x-40)-78=1 842， 25 2 100 x200 或 (-110 x+32)(x-40)-78=1 842，200x300. 解得 x1=190，x2=2
15、00. 故当 190 x200 时，总利润不低于 1 842 万元. 由 y=-x+28(100 x200)可知，当销售单价定为 190 元时，销售量最大. 25 2 12 (1)由二次函数过点(1，1)得 m=n2/2. 注意到 m-(n+4)= n2/2-(n+4) = (n2-2n-8)= (n-4)(n+2)， 2 1 2 1 所以，P= n2/2， n-2 或 n4; P=n+4， -2n4. 再利用函数图像可知，当 n=-2 时，Pmin=2. (2)图像与坐标轴有三个不同的交点，可设交点坐标为 A(x1，0)、B(x2，0)、C(0，-n2). 又 x1x2=-n2，若 n=0，
16、则与三个交点不符，故 x1x2=-n20.所以，x1、x2分在原点左右两侧. 又|x1x2|=n21，所以，存在点 P0(0，1)使得|OA|OB|=|OP0|OC|. 故 A、B、C、P0 四点共圆，即这些圆必过定点 P0(0，1). 13. 设 z=w+a，y=w+a+b，x=w+a+b+c.则 a、b、c0，且 x+y+z+w=4w+3a+2b+c. 故 100=5(w+a+b+c)+4(w+a+b)+3(w+a)+6w=18w+12a+9b+5c=4(4w+3a+2b+c)+(2w+b+c) 4(x+y+z+w). 因此，x+y+z+w25. 当 x=y=z=25/3，w=0 时，上式等号成立.故 x+y+z+w 的最大值为 25. 又 100=18w+12a+9b+5c=
