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1、基本要求： 领会变形体虚功方程。 掌握实功与虚功、广义力与广义位移确 定，掌握互等定理；支座移动和温 度改变引起的位移计算。 熟练掌握荷载产生的位移计算、用图乘 法求位移。,第四章 虚功原理和结构的位移计算,虚功及虚功原理理 结构位移计算的一般公式 图乘法及举例 温度改变产生的位移计算 支座移动产生的位移计算 线弹性体互等定理,41 位移计算概述,a）验算结构的刚度； b）为超静定结构的内力分析 打基础；,不产生内力，产 生变形产生位移,b）温度改变和材料胀缩；,c）支座沉降和制造误差,不产生内力和变 形产生刚体移动,位移是几何量，自然可用几何法来求，,但最好的方法是虚功法。其理论基础是虚功原
2、理。,a）荷载作用；,2、产生位移的主要原因：,计算位移时，常假定：1）=E；2）小变形。即：线弹性体系。荷载与位移成正比，计算位移可用叠加原理。,1、计算位移目的：,42刚体虚功原理及应用,荷载由零增大到P1，其作用点的位移也由零增大到11，对线弹性体系P与成正比。,元功 dT=Pd,P2在自身引起的位移22上作的功：,在12过程中，P1的值不变，,12与P1无关,1、静力加载过程,一、刚体虚功原理,2、实功与虚功,实功：是力在自身引起的位移上所作的功。 如 T11，T22。实功恒为正。 虚功：是力在其它原因产生的位移上作的功。 如力与位移同向，虚功为正， 如力与位移反向，虚功为负,kj,位
3、移发生的位置,产生位移的原因,3、广义力与广义位移 作功的两方面因素：力、位移。与力有关因素，称为广义力 S；与位有关的因素，称为广义位移。广义力与广义位移的关 系是：它们的乘积是功的量纲。即：T=S,广义力,广义位移,单个力,力作用点沿力作用方向上的线位移,单个力偶,力偶作用截面的转角,等值反向共线的一对力,两力作用点间距的改变，即两力作用点的相对位移,一对等值反向的力偶,两力偶作用截面的相对转角,T=PA+PB,=P（ A+B）,=P,T=mA+mB,=m（ A+ B）,=m,二、虚功原理的应用,1）虚设位移求未知力（虚位移原理） 2）虚设力系求位移（虚力原理）,刚体在外力作用下处于平衡的
4、充分必要条件是，对于任意微小的虚位移，外力所作的虚功之和等于零。,4、刚体虚功原理,1、需设位移求静定结构的未知力（虚位移原理）,X =1，P=b/a,W=0,虚设位移求未知力（虚位移原理） 1）由虚位移原理建立的虚功方程，实质上是平衡方程。 2）虚位移与实际力系是彼此独立无关的，为了方便，可 以随意虚设，如设X=1。 3）虚功法求未知力的特点是采用几何的方法求解静力平 衡问题。,作出机构可能发生的刚体虚 位移图；,应用虚功原理求静定结构的某一约束力X的步骤： 1）撤除与X相应的约束，使静定结构变成具有一个自由度 的机构，,使原来的约束力X变成主动力。,2）沿X方向虚设单位虚位移。,利用几何关
5、系求出其它主动力对应的虚位移。,3）建立虚功方程，求未知力。,+qa0.25,qa20.25/a,q(12a/2+0.5 a/2 )0,QC=1.25qa,虚功方程为: QC1,2、虚设力系求位移（虚力原理、单位荷载法）,建立虚功方程：P+Rac=0,（）,1）由虚力原理建立的虚功方程，实质上是几何方程。 2）虚荷载与实际位移是彼此独立无关的，为了方便，可以 随意虚设，如设P=1。故称单位荷载法。 3）虚功法求位移的特点是采用平衡的方法求解几何问题。,状态 1 是满足平衡条件的力状态，状态2是满足变形连续条件的位移状态，状态1的外力在状态2的位移上作的外虚功等于状态1的各微段的内力在状态2 各
6、微段的变形上作的内虚功之和,T12 0,即：T12=,d2=2ds,微段的变形可分为2ds，,2ds，,2ds,=N12ds+Q12ds+M12ds,43变形体虚功原理及其应用,一、变形体虚功原理,虚拟力状态 1,需首先虚拟力状态,在欲求位移处沿所求位移方向加上相应的广义单位力P=1.,该式是结构位移计算的一般公式, 1) 适用于静定结构和超静定结构。 2) 适用于不同的材料、产生位移的各 种原因、不同的变形类型。 3) 该式右边四项乘积，当力与变形 的方向一致时，乘积取正。,二、变形体虚功原理的应用,44荷载作用下的位移计算,NP QP MP,真实 位移 状态,注:（1）EI、EA、GA是杆
7、件截面刚度； k是截面形状系数k矩=1.2， k圆=10/9。 （2）NP、QP、MP实际荷载引起的内力， 虚设单位荷载引起的内力是 正负号规定： 轴力 NP 、 拉力为正；剪力：QP、 ， 顺时针转动为正；弯矩：MP、 ，同侧纤维受拉取正,（5）桁架 =,（6）桁梁混合结构,（7）拱常只考虑弯曲变形的影响； 对扁平拱需考虑轴向变形。,+,=,（3）公式右边各项分别是轴向、剪切、弯曲变形产生的位移。 （4）梁和刚架,=,=,一、荷载作用下的位移计算的一般公式与简化公式,（8）该公式适用于静定和超静定结构，但必须是弹性体系。,（9）虚拟力状态：在拟求位移处沿着拟求位移的方向，虚设 相应的广义单位
8、荷载。,位移方向未知时无法直接虚拟单位荷载！,例：图示屋架的压杆采用钢筋混凝土杆，拉杆采用钢杆。求C的竖向位移。,解：1)将q化为结点荷载P=ql/4,-4.74P,-4.42P,4.5P,3.0P,2)求,3)求NP,继续,继续,二、荷载作用下的位移计算举例,1.50,1.50,-1.58,-1.58,0,0,2)求,4)求C,0.263l,0.263l,0.088l,0.278l,0.278l,0.222l,Ab,Ab,0.75Ab,Ag,3Ag,2Ag,1.97Pl/AbEb,1.84Pl/AbEb,0,0,0.63Pl/AgEg,0.5Pl/AgEg,C=Pl(3.81/AbEb+,1
9、.13/AgEg)2,3)求NP,继续,例：求图示1/4圆弧曲杆顶点的竖向位移。,解：1）虚拟单位荷载,虚拟荷载,3）,ds=Rd,钢筋混凝土结构G0.4E 矩形截面,k=1.2,I/A=h2/12,可见剪切变形和轴向变 形引起的位移与弯曲变形 引起的位移相比可以忽略 不计。但对于深梁剪切变 形引起的位移不可忽略.,2）实际荷载,例：求图示等截面梁B端转角。 解：1）虚拟单位荷载,MP（x）=Px/2 0 xl/2 MP（x）=P（lx）/2 l/2 xl,0 xl,积分常可用图形相乘来代替,2）MP须分段写,Mi=xtg,注：,表示对各杆和各杆段分别图乘再相加。 图乘法的应用条件：a）EI=
10、常数；b）直杆；c）两个弯矩图 至少有一个是直线。 竖标y0取在直线图形中，对应另一图形的形心处。 面积A与竖标y0在杆的同侧， A y0 取正号，否则取负号。,y0=x0tg,45 图乘法计算位移,几种常见图形的面积和形心的位置：,A=hl/2,二次抛物线A=2hl/3,二次抛物线A=hl/3,二次抛物线A=2hl/3,三次抛物线A=hl/4,n次抛物线A=hl/(n+1),顶点,顶点,顶点,顶点,顶点,ql2/2,例:求梁B段转角。,例:求梁B点竖向位移。,例：求图示梁中点的挠度。,3a/4,例：求图示梁C点的挠度。,？,？,温故而知新,图乘法位移计算举例,表示对各杆和各杆段分别图乘而后相
11、加。 图乘法的应用条件： 竖标y0 面积与竖标y0在杆的同侧， y0 取正号，否则取负号。,几种常见图形的面积和形心的位置：,a）EI=常数；b）直杆；c）两个弯矩图 至少有一个是直线。,取在直线图形中，对应另一图形的形心处。,非标准图形乘直线形 a）直线形乘直线形,各种直线形乘直线形，都可以用该公式处理。如竖标在基 线同侧乘积取正，否则取负。,=111,b)非标准抛物线成直线形,EI=3.6465 104Nm2,P=1,0.8,A2,求C点竖向位移。,求AB两点的相对水平位移。,6,3,),EI=常数,求B点的竖向位移。,？,ql2/8,l/2,？,上式中的两项积分都是标准图形相乘。,如l1
12、=l/2，EI2=2EI1,，则,+,=,静定结构由于支座移动不会产生内力和变形，所以e=0， k=0，g=0。代入,得到：,仅用于静定结构,46 支座移动而产生的位移计算,1）温度改变对静定结构不产生内力，材料的自由胀、缩。 2）假设：温度沿截面高度为线性分布。,t0,t0=（h1t2+h2t1）/h t=t2-t1,3）微段的变形,k=d/ds =a（t2-t1）ds/hds = at/h =0,该公式仅适用于静定结构,e=at0,47 温度改变、制造误差而产生的位移计算,制造 误差,温度 改变,例8-11求图示刚架C点的竖向位移。各杆截面为矩形。,1,a,应用条件:1)P ; 2)小变形
13、。 即:线弹性变形体系。,N1 M1 Q1,N2 M2 Q2,1、功的互等定理,功的互等定理：在任一线性变形体系中，状态的外力在状 态的位移上作的功W12等于状态的外力在状态的位移上 作的功W21。 即： W12= W21,48互等定理,2、位移互等定理,位移互等定理：由单位荷载P1=1所引起的与荷载P2相应的位移21等于由单位荷载P2=1所引起的与荷载P1相应的位移12 。,等于Pj=1所引起的与Pi相应的位移。,注意:1）这里荷载可以是广义荷载,位移是相应的广义位移。 2）12与21不仅数值相等，量纲也相同。,3、反力互等定理,等于cj=1所引起的与ci相应的反力。,反力互等定理： r12=r21，在任一线性变形体系中，由单位位移C1=1所引起的与位移C2相应的反力r21等于由单位位移C2=1所引起的与位移C1相应的反力r12 。,注意:1）这里支座位移可以是广义位移,反力是相应的广义力。 2）反力互等定理仅用与超静定结构。,由两个状态应用功的互等定理，则有, 主功力与反力的功相反 相差一负号, （由1=1引起21 ）, （由P2 =1引起k12）,这个定理同样是功的互等定理的一种特殊情况。,4、反力位移互等定理,反力位移互等定理,反力位移互等定理： 单位载荷引起某支座的反力，等于因该支座发生单位位移时所引起的单位载荷作用处相应的位移，但符号相反.,
