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1、同济大学数学系 2009-3-22,第3章 矩阵的标准形,武汉理工大学理学院,3.1 一元多项式,定义.设 n 是一个非负整数，表达式,2,3,则称 f(x)与 g(x)相等，记作 f(x)= g(x)。,若其同次项的系数都相等，即,定义.,4,多项式加法,为了方便起见，设,5,运算规律:,6,数乘多项式,运算规律:,7,多项式乘法,其中k 次项的系数是,8,运算规律:,9,定理3.1.1（带余除法）设 f(x)和 g(x)是数域 F 上的多项式，,并且q(x)和 r(x)是唯一的，,带余除法,且 g(x) 0，则必存在多项式 q(x)和 r(x) ，使得,若r(x)=0，则称 g(x)是 f
2、(x)的因式， f(x)是 g(x)的倍式，,也称 g(x)能整除 f(x)，并记作 g(x)| f(x)。,10,例3.1.1设 f(x)和 g(x) 是有理数域 F上的两个多项式,11,12,3.2 因式分解定理,若h(x)既是 f(x)的因式，又是 g(x)的因式，,则称h(x)为 f(x)与 g (x)的一个公因式。,定义.,若h(x)既是 f(x)的倍式，又是 g(x)的倍式，,则称h(x)为 f(x)与 g (x)的一个公倍式。,则称 d(x)为 f(x)和 g(x) 的一个最大公因式。,则称 d(x)为 f(x)和 g(x) 的一个最小公倍式。,，并且满足:,，并且满足:,14,
3、不可约多项式,定义. 设 ，若 在数域F上只有平凡因式，,则称 为域 F上的不可约多项式，,否则，称 为域F上的可约多项式。,注意：(1) 一次多项式总是不可约多项式；,(2) 多项式的不可约性与其所在系数域密切相关。,例如，,15,因式分解唯一性定理,定理. 数域F上任一个次数不小于1的多项式 f(x)都可以,唯一地分解成数域F上有限个不可约多项式的乘积。,其唯一性是指，若有两个分解式,则 s = t , 并且经过对因式的适当排序后有,其中 为非零常数。,16,称为标准分解式。,分解式,其中a 是 f(x)的首项系数， 是首项系数为的,不可约多项式，而 是正整数,17,复系数多项式的因式分解
4、定理：,因式分解定理,次数不小于1的复系数多项式在复数域上,可唯一地分解成一次因式的乘积。,标准分解式为,其中 是正整数，且,18,实系数多项式的因式分解定理：,次数不小于1的实系数多项式在实数域上,可唯一地分解成一次因式和二次不可约因式的乘积。,标准分解式为,其中 和 是正整数，且,的标准分解式。,例 求,在实数域上的标准分解式:,在复数域上的标准分解式:,Problem： 矩阵A到底和一个多简单的矩阵相似？ Solution： 理想情况下：A为对角形 并非所有的矩阵都可以对角化 Jordan标准形理论。 Jordan标准形的应用: 微分方程组的解,3.3 矩阵的Jordan标准形,Jord
5、an 块: 形如,的 ni 阶矩阵称为 ni 阶Jordan 块。,分块对角阵,称为 Jordan标准形,Jordan标准形,定理：任何n阶复方阵A 都和一个Jordan标准形相似,即存在可逆阵P，和 Jordan标准形,使得,Jordan标准形基本理论,求矩阵的Jordan标准形的方法(I),求矩阵的Jordan标准形的方法(I),(1),行列式因子(Determinate divisor),(2),计算行列式因子的步骤：,Step1,Step2,Remark.,例,不变因子(Invariant divisor),(3),Remark.,例,30,(3)定义：设 A(l)的 各阶不变因子在复
6、数域的标准分解式,初等因子,称指数 为A(l)的初等因子。,Remark.来自不同的不变因子的一次因式的方幂不能合并.,例,的初等因子:,初级因子与Jordan块的关系,对于ni阶的Jordan块，我们有：,初级因子与Jordan块的关系,(4),例,例 设,求矩阵 A 的 Jordan标准形。,初等因子组:,36,3.4 l 阵的标准形,定义. 元素是 l 的多项式的矩阵称为l 矩阵，记作A(l ),例如,定义. 设l 矩阵 A(l), B(l) 满足,称 A(l )为可逆的l 矩阵，且B(l )为A(l )的逆。,显然， A(l )可逆,38,定义. l 矩阵的初等变换,39,定义: 若l
7、 矩阵 A(l) 经过若干次初等变换变为B(l)，,l 矩阵的等价,则称 A(l)与B(l) 等价，记作,40,定理：设 A(l) 为 mn 阶l 矩阵，则A(l)等价于分块 对角阵,称为 A(l) 等价标准形，其中,并且 首项系数为 1，,l 矩阵的等价标准形,例： 求l 矩阵的等价标准形,41,42,43,l 矩阵的秩,定义：l 矩阵A(l)的不恒为零的子式的最高阶数,显然，等价的 l 矩阵有相同的秩。,称为A(l)的秩。,事实上，l 矩阵的初等变换不会改变其子式恒为零与否,的状态，也就不会改变其不恒为零子式最高阶数。,的秩为 n 。,行列式因子,定义：l 矩阵A(l)的所有 k 阶子式的
8、首1最大公因式称为A(l)的 k 阶行列式因子，记作Dk(l),定理：等价的 l 矩阵有相同的各阶行列式因子。,事实上，初等变换不会改变 A(l)各阶子式的最大公因式,也就不会改变其各阶行列式因子。,46,例：求A(l)的等价标准形的各阶行列式因子。,依行列式因子的定义：,47,不变因子和初等因子,定义：设 为l 矩阵 A(l)的k 阶行列式因子，,定理：等价的 l 矩阵有相同的各阶不变因子。,称为A(l)的 k 阶不变因子。,定理：等价的 l 矩阵有相同的初等因子。,48,定理：l 矩阵的等价标准形是唯一的， 我们称之为Smith标准形.,注意到，A(l)的等价标准形中D(l)的对角元是A(
9、l)的,各阶不变因子。,求矩阵的Jordan标准形的方法（II）,50,例2 设,求矩阵 A 的并求Jordan标准形,解：,54,求矩阵的Jordan标准形J，并求可逆阵P, 使,例 设,（P.61例3.1.6）,55,解：A的Jordan标准形为,56,57,58,定义：设 A 为 n 阶方阵，若多项式,满足,则称 j (l) 为 A 的零化多项式。,3.5 矩阵的最小多项式,定理：( Hamilton-Cayley ),设 A 为 n 阶方阵，则 A 的特征多项式,为 A 的零化多项式。,哈密顿（Hamilton，William Rowan)爱尔兰人 哈密顿自幼聪明，被称为神童他3岁英语
10、已读得非常好，4岁时是不错的地理学者；5岁时能阅读和翻译拉丁语、希腊语和希伯来语，喜欢用希腊语朗诵荷马史诗；8岁掌握了意大利语和法院，觉得英语过于平庸，用拉丁文的六韵步诗体；10岁不到开始学习阿拉伯语、梵语、波斯语；同时学习马来语、孟加拉语、古叙利亚语.；他即将学习汉语，但是太难搞到书。14岁时，因在都柏林欢迎波斯大使宴会上用波斯语与大使交谈而出尽风头 主要贡献：力学、数学、光学,Hamilton， 1805-1865,定义：设 A 为 n 阶方阵，则称 A 的次数最低的,零化多项式为 A 的最小多项式，,记作,62,最小多项式的性质：设 A 为 n 阶方阵，则,例 设,，求矩阵 A 的最小多项式。,解： A 的特征多项式为,则 A 的最小多项式只可能是,由于(A-2E)(A-3E)=0，知A的最小多项式为,例 设,求矩阵 A 的Jordan标准形及最小多项式。,68,初等因子组:,
