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1、高等数学,绪论,高等数学发展简史 微积分的基本思想和方法 学习方法,初等数学时期（公元前3世纪17世纪）,初等数学的主要研究对象： 匀速的运动（速度不变）； 匀加速运动（速度均匀变化）； 直边图形（不弯曲）； 圆弧形图形（均匀弯曲）； 有限次四则运算。,xi,微积分的基本思想和方法,速度问题,面积问题,瞬时速度,曲边图形的面积,？,？,一、高等数学与初等数学的 初等数学研究的常量与固定图形，即常量数学,区别,思维.它的方法是孤立 的静止的，属形式逻辑。,高等数学 研究变量和变化的图形，即变量数学。它的方法是运动 的联系的，辩证的，属辩证逻辑。,求物体在任意时刻的瞬时速度、加速度。 求曲线在一点
2、的切线（光线穿过凸透镜 的一系列问题） 求最大值、最小值（炮弹的最大射程、行星 离开太阳的最远、最近距离等） 求面积、体积、物体的重心等,这四个问题引起了当时大多数科学家的注意，他们在研究这些问题的过程中所产生的数学思想、方法就是微积分的萌芽。微积分问题至少被十七世纪十几个大数学家和几十个小的数学家探索过，位于他们全部贡献的顶峰是牛顿、莱布尼兹。,牛顿,牛顿对微积分的研究偏重物理方向。,伟大英国数学家、物理学家、天文学家和自然哲学家。,莱布尼兹是哲学博士、 外交官、法学家、历史学 家 、语言学家、地质学家 、逻辑学家。并在力学、光学、流体力学、气体力学、航海学、计算机方面也做了重要工作。莱布尼
3、兹对微积分的研究偏重于哲学方向。,莱布尼兹,有人说: 牛顿和莱布尼兹是微积分的创始人，实际上这样说是不准确的。因为在数学和科学的巨大进展中，几乎总是建立在几百年中作出过一点一滴贡献的许多人的工作之上，需要有一个人走那最高和最后的一步。这个人要能够敏锐地从这些纷乱的猜测和说明中清理出前人有价值的想法，有足够的想象力把这些碎片重新组织起来，这个人就是牛顿。,而莱布尼兹富于想象，是大胆的，喜欢推广，关心符号、法则、公式广泛意义下的微积分。侧重点不同，但可以互补。 十七世纪的微积分是不严密的。他们都满足于计算，只要结果有用就行，包括都没有把微积分的基本概念弄清楚，更不用说精确了。他们不能正确解释这些概
4、念，而是依靠成果的彼此一致和方法的多产，没有严密地向前推进。,十八世纪也是糊里糊涂。,十九世纪以后，由于数学自身的发展，才有一些数学家作了这方面的工作，以至成了现在的有严谨理论体系的微积分。,教学内容决定教学方法，因此我们有意识地在教材的处理上做一些尝试，准备多种教法并用。,高等数学（上册）各章的知识结构和联系,极限与连续,函数,目的,掌握高等数学的基本知识，基本理论，基本计算方法，提高数学素养。 培养抽象思维和逻辑推理的能力、辩证的思想方法。 培养空间想象能力。 培养分析问题和解决问题的能力。 为学生进一步学习数学打下一定的基础，为学习专业的后继课程准备必要的数学基础。,学习方法,课前课堂课
5、后 华罗庚讲：学习数学，若不做习题，如入宝山而空返。,第一章 函数与极限,第一节 函 数,常量与变量用什么符号不是绝对的，但应尊重数 学的习惯。,还有一些量在过程中是变化着的，也就是可以取 不同的数值，这种量叫做变量。常用字母为x，y，z， u，v，w，s，t 等。,在观察自然现象或技术过程时，常会遇到各种不同的量，其中有的量在过程中不起变化始终只取同一数值，这种量叫做常量。常用字母为 a，b，c，d，e，h，i，k，l，m，n等。,常量与变量,区间和邻域,几个数集: N表示所有自然数构成的集合, 称为自然数集. N0, 1, 2, , n, . N1, 2, , n, . R表示所有实数构成
6、的集合, 称为实数集. Z表示所有整数构成的集合, 称为整数集. Z , n, , 2, 1, 0, 1, 2, , n, . Q表示所有有理数构成的集合, 称为有理数集.,有限区间: 设ab, 称数集x|axb为开区间, 记为(a, b), 即 (a, b)x|axb. 类似地有 a, b x | a xb 称为闭区间, a, b) x | axb 、(a, b x | axb 称为半开区间. 其中a和b称为区间(a, b)、a, b、a, b)、(a, b的端点, ba称为区间的长度. 无限区间: a, ) x | ax , (, b x | x b , (, )x | | x | . 区
7、间在数轴上的表示:,邻域: 以点 a 为中心的任何开区间称为点 a 的邻域，记作U(a)。 设0，则称区间(a-, a+)为点a 的邻域，记作U(a, )，即 U(a, ) =x|a-xa+ =x| |x-a|。 其中点 a 称为邻域的中心, 称为邻域的半径。,去心邻域:,(a,) =x |0| x-a |。,：All，任意一个，或任意，所有； ：Exist，存在，能找到。,函数举例,例1. 圆的面积的计算公式为A=pr2，半径r可取(0, +)内的任意值。,设 x 和 y 是两个变量，D 是一个给定的数集。如果对于每个数xD，变量 y 按照一定法则总有确定的数值和它对应，则称 y 是 x 的
8、函数，记作y=f(x)。 定义中，数集D叫做这个函数的定义域， x叫做自变量，y叫做因变量。,函数符号: 函数y=f(x)中表示对应关系的记号f 也可改用其它字母，例如j 、F 等。此时函数就记作y=j(x)，y=F(x)。,1.1.1. 函数的定义,值域：Vf=f(X)=y | y=f(x)，xD。,定义域： 在数学中，有时不考虑函数的实际意义，而抽象地研究用算式表达的函数。这时约定函数的定义域就是自变量所能取的使算式有意义的一切实数值。,函数值： 当 x取数值 x0D时，与 x0对应的 y的数值称为函数 y=f(x)在点 x0处的函数值，记为 f(x0)。,函数概念,应注意的问题: 记号f
9、和f(x)的含义是有区别的, 前者表示自变量x和因变量y之间的对应法则, 而后者表示与自变量x对应的函数值. 但为了叙述方便, 习惯上常用记号“f(x), xD”或“y=f(x), xD”来表示定义在D上的函数, 这时应理解为由它所确定的函数f . 函数符号: 函数yf(x)中表示对应关系的记号f也可改用其它字母, 例如“F”, “”等. 此时函数就记作 y (x), yF(x).,函数的两要素,函数是从实数集到实数集的映射, 其值域总在R内, 因此构成函数的要素是定义域D及对应法则f . 如果两个函数的定义域相同, 对应法则也相同, 那么这两个函数就是相同的, 否则就是不同的.,注意,确定值
10、域：根据定义域和对应法则 确定定义域： 1. 有实际意义的：根据实际问题有意义来确定 2. 无实际意义的：自变量所能取得的使y=f(x)成立的一切数值,例如: y=arcsin(X2+2),例：下列各函数对中，（）中的两个函数相等,，,，,(A),(B),(C),(D),题型一：判断函数的等价性,解题方法：利用两个函数当且仅当它们的定义域和对应法则完全一致时，才表示同一函数，否则它们就是两个函数。,例：若函数的定义域是0，1，则函数 的定义域是(),题型二：求函数的定义域,解题方法： （1）对于一般函数.， （2）对于复杂函数.， （3）直接代入， （4）对于复合函数f(x)，可用已知的y=f
11、(x)的定义域，令t= (x)，解出x的变化范围即可。,例题： 设 ， ，且 求 定义域。,题型三：求函数f(x)的表达式,解题方法：利用变量代换法和变量无关性。,例题： 设f（x）满足方程 其中a、b、c为常数，且 求f（x）。,函数的定义域为D=(-, +)。 函数的值域为W=0, + )。,称为绝对值函数。,例3. 函数,函数的定义域为D=(-, +)。 函数的值域为W=-1, 0, 1。,例5.函数y=x称为取整函数。,函数的定义域为D=(-, +)， 函数的值域为W =Z,函数的定义域为 D=0, 1(0, +)=0, +)。,f (3) = 1+3 = 4。,在自变量的不同变化范围
12、，对应法则用不同的式子来表示的函数，成为分段函数。,1.1.2. 函数的几种特性,图形特点： y=f(x)的图形在 直线y=K1的下方。,y=K1,y=f(x),1. 函数的有界性 设函数f(x)在数集X上有定义。如果存在数K1，使对任一xX，有f(x)K1，则称函数f(x)在X上有上界，而称K1为函数 f(x)在X上的一个上界。,如果存在数K2，使对任一xX，有f(x)K2，则称函数f(x)在X上有下界，而称K2为函数f(x)在X上的一个下界。,图形特点：函数 y=f(x) 的图形在直线 y=K2 的上方,有界函数的图形特点： 函数y = f(x)的图形在直线y = - M和y = M的之间
13、。,如果存在数 M0，使对任一 xX，有 | f(x) |M，则称函数f(x)在X上有界； 如果这样的M不存在，则称函数f(x)在X上是无界函数，就是说对任何M（无论M多么大），总存在 x1X，使|f(x)|M。,函数的有界性举例：,例1. f(x) = sin x在(-, +)上是有界的： 即| sin x | 1。,例2.,函数f(x)=1/x在开区间(0,1)内是无界的。,无界函数举例：,函数f(x) =1/x在(0, 1)内有下界，无上界。 这是因为，任取M1，总有0M，所以函数无上界。,但此函数在(1, 2)内是有 界的。,注意： 若函数f(x)在区间I上有界 函数f(x)在区间I上
14、既有上界，又有下界,题型：函数的有界性解题思路,定义法：利用定义，对函数取绝对值，再对不等式进行缩放。 利用极限（后面章节讲） 利用闭区间上连续函数的有界性（后面章节讲） 利用导数（后面章节讲） 例如：判断 在定义域(-,+)内的有界性,2. 函数的单调性,如果对于区间I上任意两点x1及x2，当 x1x2时，恒有,则称函数f(x)在区间I上是单调减少的。,f(x1) f(x2)，,单调增加和单调减少的函数统称为单调函数。,函数单调性举例,函数y=x2.,题型：判别函数的单调性,利用定义 利用导数法（后面章节讲述）,设函数f(x)的定义域D关于原点对称(或称函数在关于原点对称的区间上)。如果对于
15、任意的xD，有f(-x)= f(x)，则称f(x)为偶函数。,3. 函数的奇偶性,偶函数举例： y=x2， y=cos x 都是偶函数,偶函数的图形关于y轴对称。,奇偶函数举例： y=x3， y=sin x 都是奇函数。,如果对于任意的xD，有 f(-x)=-f(x)，则称f(x)为奇函数。奇函数的图形关于原点对称。,函数奇偶性的判别,利用定义 利用奇偶函数的运算性质： 1.奇函数的代数和， 2.偶函数的代数和.； 3.偶函数之积.； 4.奇函数和偶函数之积； 5.f(x)+f(-x); f(x)-f(-x); f(x)+f(-x)=0时，f(x)是函数。 函数的奇偶性是相对于对称区间而言，否
16、则 例如,设函数f(x)的定义域为D。如果存在一个不为零的数 l ，使得对于任一xD有(xl)D，且 f(x+l) = f(x)，则称f(x)为周期函数，l 称为f(x)的周期。 周期函数的图形特点：,4. 函数的周期性,1.1.3. 反函数与复合函数,对于任一数值 yV，D上至少可以确定一个数值 x 与 y 对应，这个数值 x 适合关系 f(x)=y。,如果把 y看作自变量，x 看作因变量，按照函数的定义就得到一个新的函数，这个新函数称为函数y=f(x)的反函数，记作 x= f -1(y)= j(y)。,1. 反函数 设函数y=f(x)的定义域为D，值域为V。,单调函数的反函数是单值函数,什么样的函数存在单值的反函数？
