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1、第7章 有限脉冲响应数字滤波器的设计,IIR数字滤波器的优点： 可以利用模拟滤波器的设计结果 IIR数字滤波器的缺点： 非线性相位 若需线性相位，要采用全通网络进行相位校正,FIR数字滤波器的优点： 1）可以做到严格线性相位 2）可以具有任意的幅度特性 3）对一个信号滤波，相当于 可以用FFT计算 4）总可以用一个因果系统来实现 5） 无反馈运算，运算误差小。,FIR数字滤波器的缺点 1）不能用模拟滤波器的设计方法，无解析设计公式，要借助计算机辅助设计； 2）由于没有极点，同样幅频特性，要获得较好的过渡带特性，需较高的阶数做为代价。,FIR滤波器的设计方法,设计方法： 窗函数法 频率采样法 切
2、比雪夫等波纹逼近法,设计任务：选择有限长度的脉冲响应h(n)，得到系统函数H(z)，使幅频特性满足技术指标，同时使相频特性达到线性相位。,7.1 线性相位FIR数字滤波器的特性,本节主要介绍FIR滤波器具有线性相位的条件及幅度特性以及零点、网络结构的特点。,FIR滤波器的单位冲激响应：,系统函数：,在 z 平面有N 1 个零点,在 z = 0 处是N 1 阶极点,7.1.1. 线性相位的定义,FIR滤波器的频率响应函数,线性相位是指()是的线性函数,满足,第一类线性相位,第二类线性相位,群延时为常数,7.1.2. 线性相位的条件,证明（第一类线性相位条件）：,充分性,FIR滤波器的系统函数,证
3、明（第一类线性相位条件）：,z=e j,证明（第一类线性相位条件）：,幅度函数,相位函数,严格的线性相位,0,证明（第一类线性相位条件）：,证明（第一类线性相位条件）：,必要性,实部、虚部分别相等,两式相除,关于 奇对称,h(n)关于 偶对称,证明（第一类线性相位条件）：,通过类似的推导，可以得到满足第二类线性相位条件的系统函数,频率响应函数函数,幅度函数,相位函数,广义的线性相位,0,结论,、第一类线性相位,、第二类线性相位,7.1.3 线性相位FIR滤波器幅度特性,1、h(n)为偶对称，N为奇数,关于 偶对称,关于 偶对称,以(N-1)/2为中心，把两两相等的项进行合并,2、h(n)为偶对
4、称，N为偶数,n=1,2, 3, , N/2,=时， ， H()对=呈奇对称,不适合设计高通滤波器、带阻滤波器,3、h(n)为奇对称，N为奇数,=0,不适合低通滤波器、高通滤波器、带阻滤波器,4、h(n)为奇对称，N为偶数,不适合于低通滤波器、带阻滤波器,h(n)为奇对称时，有90o相移，适用于微分器和90o移相器，而选频滤波器采用h(n)为偶对称,结论：P267表7.1.1,偶对称： N为奇数时， 对 呈偶对称。 N为偶数时， 对 呈偶对称。 奇 奇对称： N为奇数时， 对 呈奇对称。 N为偶数时， 对 呈奇对称。 偶,在 处，两者完全一样 在 处，当N为奇数，两者完全一样；偶数相反,对称性
5、与 在 处对称性的比较,7.1.4. 线性相位FIR滤波器的零点分布,1、零点的分布原则,若z=zi 是H(z)的零点，则,也是H(z)的零点,h(n)为实序列时,线性相位滤波器的零点是互为倒数的共轭对即共轭成对且镜像成对,4种零点,2、零点的位置,1）零点zi既不在实轴上，也不在单位圆上,4个零点成对出现,2）零点zi不在实轴上，在单位圆上,2个零点成对出现,存在共轭对，但倒数是其本身,3）零点zi在实轴上，不在单位圆上,2个零点成对出现,存在倒数，但共轭是其本身,4）零点zi在既实轴上，又在单位圆上,4个互为倒数、共轭的零点合为1点,N为偶数时的偶对称,N为偶数时的奇对称,N为奇数时的奇对
6、称,（1）四种FIR数字滤波器的相位特性只取决于 h(n)的对称性，而与h(n)的值无关；,（2）幅度特性取决于h(n)的取值；,（3）设计线性相位FIR滤波器时，在保证h(n) 对称的条件下 ，只要完成幅度特性的逼近即可。,7.2 窗函数设计法,频域给出指标,给出理想滤波器的频率响应,设计FIR滤波器，求其频率响应,逼近,设计在时域进行,hd(n)无限长，非因果,设计h(n) ，有限长，因果,逼近,7.2.1 设计方法（以低通滤波器设计为例）,理想低通滤波器的频响,1,0,0,为群延时,单位抽样响应,相位,hd(n)偶对称，对称中心,hd(n)无限长的非因果序列,设计可实现FIR滤波器的单位
7、脉冲响应,窗函数,先选取最简单的窗函数,按第一类线性相位条件，得,7.2.2 加窗处理对频谱性能的影响,理想低通滤波器的频响,矩形窗的频响,主瓣宽度,线性相位,幅度函数,窗函数的频率特性WR(ej) 决定了H(ej)对Hd(ej)的逼近程度。,幅度函数,相位函数,一般情况,正肩峰,负肩峰,加窗函数的影响：,形成过渡带,Hd(ej)在截止频率处有陡峭的边沿,H()在截止频率处连续曲线,边沿加宽，形成过渡带,窗频谱的主瓣越宽，过渡带也越宽。,过渡带：正肩峰与负肩峰的间隔,过渡带宽=窗频谱WR(ej)主瓣宽度,正、负肩峰位置,截止频率两侧,窗谱函数旁瓣多,起伏振荡多,窗谱函数旁瓣相对幅度大,起伏振荡
8、幅度大,H()形成正、负肩峰，肩峰两侧形成起伏振荡,改变N只能改变窗谱的主瓣宽度，但不能改变主瓣与旁瓣的相对比例。其相对比例由窗函数形状决定。,主瓣幅度增加，旁瓣幅度也增加,在矩形窗情况下，最大相对肩峰为8.95%，N 增加时， 减小，故起伏变密，而最大相对肩峰却总是8.95%，这种现象称为吉布斯效应。,肩峰值的大小，直接影响通带特性和阻带衰减。,h(n)代替 hd(n) 引起的误差，在频域上表现为,图7.2.4 增大,增大N对矩形窗幅度特的影响,引出原因：,矩形窗阻带最小衰减,在工程上，衰减量不够,要加大阻带衰减，需要改善窗口函数形状,改善窗口函数形状的标准,窗函数不仅起到截断作用，还能起到
9、平滑作用。,7.2.3 几种典型的窗函数,窗函数的要求： （1）窗谱主瓣尽可能窄以获得较陡的过渡带 （2）尽量减少窗谱最大旁瓣的相对幅度，以减小肩峰和波纹,（1）最大旁瓣峰值 （dB）。 （2）主瓣宽度 ，窗函数频谱的主瓣宽度。 （3）过度带宽 ，窗函数设计得到FIR滤波器的过度带宽，即通带截止频率与阻带截止频率之差。 （4）阻带最小衰减 （dB）。窗函数设计得到FIR滤波器的阻带最小衰减。,窗函数参数：,1. 矩形窗(Rectangle Window),傅里叶变换 幅度函数,主瓣宽度最窄：,旁瓣幅度大,矩形窗及加窗处理后波器波形,频率响应,2. 三角形窗(Bartlett Window),主
10、瓣宽度宽：,旁瓣幅度较小,利用欧拉公式,3. 汉宁(Hanning)窗升余弦窗,利用DTFT的频移特性,幅度函数,三部分矩形窗频谱相加，使旁瓣互相抵消，能量集中在主瓣，旁瓣大大减小，主瓣宽度增加1倍。,主瓣宽度宽：,旁瓣幅度小,4. 汉明(Hamming)窗改进的升余弦窗,幅度函数,主瓣宽度宽：,旁瓣幅度更小,5. 布莱克曼(Blackman)窗,在升余弦窗的定义式中再加上一个二次谐波的余弦分量得到的，故又称二阶升余弦窗。可进一步抑制旁瓣的效果,幅度函数,主瓣宽度最宽：,旁瓣幅度最小,6. 凯塞贝塞尔窗(Kaiser-Basel Window),前面介绍的窗函数统都是固定窗，即用每种窗函数设计
11、的滤波器的阻带最小衰减是固定不变的，而且都是以牺牲主瓣宽度来换取对旁瓣的抑制的，这两个指标不能同时兼顾。而凯塞窗是一种可调整的窗函数，可以实现以同一种窗函数类型来满足不同性能需求的目的。在相同的性能指标下，通过调整控制参数可以达到不同的阻带最小衰减，同时可以保证最小的主瓣宽度，即有最陡峭的过渡带，实现在主瓣宽度和旁瓣峰值之间的平衡。反之，给定指标，凯塞窗可以使滤波器的阶数最小。因此，凯塞窗是一种近似最佳的窗函数。,参数可以控制窗的形状。一般加大，主瓣加宽，旁瓣幅度减小，典型数据为4 9。当 =5.44时，窗函数接近哈明窗。 =7.865时，窗函数接近布莱克曼窗。,图7.2.13 凯塞窗波形（N
12、=21）,图7.2.14 参数变化时凯塞窗的傅里叶变换,表7.2.1 对滤波器性能的影响,若阻带最小衰减表示为st，的确定可采用下述经验公式,7.2.4 窗函数设计法总结,(1)确定所希望设计滤波器的hd(n),一般以理想线性相位滤波器作为逼近函数来求hd(n)，即设Hd(ej)为理想线性相位滤波器，那么单位取样响应用下式求出：,求解过程中涉及Hd(ej)的截止频率,(2)根据对过渡带及阻带衰减的要求，选择窗函数的形式，并估计窗口长度N。一般原则是在满足阻带最小衰减的要求下，尽量选择主瓣窄的窗函数。,(3) 计算滤波器的单位取样响应h(n)， h(n) =hd(n)w(n) (4)验算技术指标
13、是否满足要求。,低通滤波器的设计,例7.3.1 利用窗函数法设计一个FIR低通滤波器，要求：通带截止频率p=0.3，阻带截止频率st=0.5，阻带最小衰减st50dB。,解：（1）以理想线性相位低通滤波器作为逼近滤波器，即,单位抽样响应为,理想低通滤波器的截止频率c为,为了保证线性相位,（2）依据阻带最小衰减指标选择窗函数类型。因为要求st50dB ，查表7.2.1可以看出汉明窗、布莱克曼窗等都满足要求。但由于汉明窗的主瓣最窄，因而我们选择汉明窗，其表达式为,由过渡带宽确定窗的长度N。设计所要求的过渡带宽为,汉明窗的带宽为,（3）确定所设计滤波器 h(n)。依据所选窗函数，得到单位抽样响应为,
14、（4）由h(n) 求出H(ej) ，以便验证设计结果是否满足要求。,例7.3.2 利用窗函数法设计一个FIR低通滤波器，所希望的频率响应函数为,若长度N=21，观察加不同窗函数后滤波器幅度特性的变化。,解：,若选择矩形窗函数，则有,若选择汉宁窗函数，则有,矩形窗设计的FIR滤波器幅度特性；,汉宁窗设计的FIR滤波器幅度特性,例7.3.3 利用凯塞窗设计一个FIR低通滤波器，要求：通带截止频率p=0.4，阻带截止频率st=0.6，阻带最小衰减st60dB。,解：（1）确定凯塞窗的参数和N。,取N=38,（2）确定理想低通滤波器的截止频率c,（3）求解hd(n)。,（4）确定所设计滤波器h(n)。
15、,例2 设计一个线性相位FIR低通滤波器， 给定抽样频率为 通带截止频率为 阻带起始频率为 阻带衰减不小于-50dB。 解：1）求数字频率,2）求hd(n),3）选择窗函数：由 确定汉明窗,4）确定N 值,5）确定FIR滤波器的h(n),6）求 ，验证,若不满足，则改变N或窗形状重新设计,1、线性相位FIR高通滤波器的设计,理想线性相位高通滤波器的频率响应函数为,单位抽样响应为,高通滤波器的长度N只能取奇数,例7.3.4 利用汉明窗设计一个FIR高通滤波器，所希望的频率响应函数为 取长度N=31。 解：,选择汉明窗函数，则,2、线性相位FIR带通滤波器的设计,理想带通的频响,其单位抽样响应：,
16、例7.3.5 利用汉宁窗设计一个FIR带通滤波器，所希望的频率响应函数为 取长度N=31。 解：,所设计带通滤波器的单位抽样响应为,3、线性相位FIR带阻滤波器的设计,理想带阻的频响：,其单位抽样响应：,例7.3.6 利用矩形窗设计一个FIR带阻滤波器，所希望的频率响应函数为 取长度N=31。 解：,所设计带阻滤波器的单位抽样响应为,7.4 频率抽样设计法,频率抽样设计法则是在频域内，以有限个频率响应抽样，去近似所希望的理想频率响应Hd(ej)的设计方法。,窗函数设计法：,对于一个长度为N的序列h(n)，若知道其频域的N个抽样值H(k)，则h(n)就可以由H(k) 唯一地确定。同时，也就可以获得其系统函数H(z)或频率响应函数H(ej) 。 设所希望
