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1、22.1.4 用待定系数法求二次函数的解析式,学习目标: 1、通过对用待定系数法求二次函数解析式的探究,掌握求解析式的方法。 2、能灵活地根据条件恰当地选取解析式,体会二次函数解析式之间的转化。 学习重点:用待定系数法求二次函数解析式。 学习难点:灵活地根据条件恰当地选取解析式。,回顾:用待定系数法求解析式,已知一次函数经过点(1,3)和(-2,-12),求这个一次函数的解析式。 解:设这个一次函数的解析式为y=kx+b(k0), 因为一次函数经过点(1,3)和(-2,-12), 所以,k+b=3,-2k+b=-12,解得 k=3,b=-6,一次函数的解析式为y=3x-6.,设出函数的解析式,
2、根据所给条件,将已知点坐标代入函数解析式中,得到关于解析式中待定系数的方程(组),解此方程或方程组,求待定系数,将求出的待定系数还原到解析式中,思考,二次函数解析式有哪几种表达式?,一般式:y=ax2+bx+c,顶点式:y=a(x-h)2+k,交点式:y=a(x-x1)(x-x2),求二次函数y=ax2+bx+c的解析式,关键是求出待定系数a,b,c的值。 由已知条件(如二次函数图像上三个点的坐标)列出关于a,b,c的方程组,并求出a,b,c,就可以写出二次函数的解析式。,一般式y=ax2+bx+c(a,b,c为常数,a0),思考: 二次函数y=ax2+bx+c的解析式中有几个待定系数?需要图
3、象上的几个点才能求出来?,例1 已知一个二次函数的图象过点(1,10)、(1,4)、(2,7)三点,求这个函数的解析式,解:设所求的二次函数为y=ax2+bx+c(a0),由条件得:,a-b+c=10 a+b+c=4 4a+2b+c=7,解方程组得:,a=2, b=-3, c=5,因此:所求二次函数是: y=2x2-3x+5,变式1:已知关于x的二次函数,当x=1时,函数值为10,当x=1时,函数值为4,当x=2时,函数值为7,求这个二次函数的解析试.,设,代,解,还原,顶点式y=a(x-h)2+k(a、h、k为常数,a0).,若已知抛物线的顶点坐标和抛物线上的另一个点的坐标时,通过设函数的解
4、析式为顶点式y=a(x-h)2+k. 特别地,当抛物线的顶点为原点时,h=0,k=0,可设函数的解析式为 当抛物线的对称轴为y轴时,h=0,可设函数的解析式为 当抛物线的顶点在x轴上时,k=0,可设函数的解析式为,思考: 二次函数y=a(x-h)2+k的解析式中有几个待定系数?需要知道图象上的几个点才能求出来?如果知道图象上的顶点坐标为A(1,-1)和点B(2,1),两个点能求出它的解析式吗?,y=ax2.,y=ax2+k.,y=a(x-h)2.,例2:已知抛物线的顶点是(1,2)且过点(2,3),求出对应的二次函数解析式,变式2:已知二次函数的图象经过点(4,3),并且当x=3时有最大值4,
5、求出对应的二次函数解析式;,又过点(2,3) a(2-1)2+2=3,a=1,解:设所求的二次函数为y=a(x-h)2+k(a0),顶点是(1,2) y=a(x-1)2+2,, y=(x-1)2+2,即y=x2-2x+3,已知抛物线的顶点与 抛物线上另一点时, 通常设为顶点式,已知条件中的当x=3时有最大值4 也就是抛物线的顶点坐标为(3,4), 所以设为顶点式较方便,y=-7(x-3)2+4 即y=-7x2+42x-59,解:,设所求的二次函数为,已知一个二次函数的图象过点(0,-3) (4,5) 对称轴为直线x=1,求这个函数的解析式?,变式:3,y=a(x-1)2+k,思考:怎样设二次函
6、数关系式,交点式y=a(x-x1)(x-x2).(a、x1、x2为常数a0),当抛物线与x轴有两个交点为(x1,0),(x2,0)时,二次函数y=ax2+bx+c可以转化为交点式y=a(x-x1)(x-x2).因此当抛物线与x轴有两个交点为(x1,0),(x2,0)时,可设函数的解析式为y=a(x-x1)(x-x2),再把另一个点的坐标代入其中,即可解得a,求出抛物线的解析式。,例3:已知抛物线与x轴两交点横坐标为1,3且图像过(0,-3),求出对应的二次函数解析式。,解:设所求的二次函数为y=a(x-x1)(x-x2),已知抛物线与x轴的交点 或交点横坐标时,通常 设为交点式(两根式),由抛
7、物线与x轴两交点横坐标为1,3,,y=a(x-1)(x-3),又过(0,-3),, a(0-1)(0-3)=-3,a=-1, y=-(x-1)(x-3),即y=-x2+4x-3,练习:已知二次函数yax2bxc的图象过A(0,5),B(5,0)两点,它的对称轴为直线x2,那么这个二次函数的解析式是_ _。,分析:因为抛物线与x轴的两个交点关于抛物线的对称轴对称,又B(5,0)关于直线x2的对称点坐标为(-1,0),所以可以设为交点式,类似例3求解,当然也可以按一般式求解。,y=(x-5)(x+1),即y=x2-4x-5,课堂小结,求二次函数解析式的一般方法:,已知图象上三点或三组对应值, 通常
8、选择,已知图象的顶点坐标或对称轴或最值 通常选择,已知图象与x轴的两个交点的横坐标x1、x2,或与X轴的一交点坐标与对称轴 通常选择,y,x,确定二次函数的解析式时,应该根据条件的特点,恰当地选用一种函数表达式,,一般式y=ax2+bx+c;,顶点式y=a(x-h)2+k,,交点式(两根式)y=a(x-x1)(x-x2) 。,1、求经过有三点A(-2,-3),B(1,0),C(2,5)的二次函数的解析式.,2、已知抛物线的顶点为D(-1,-4),又经过点C(2,5),求其解析式。,顶点式:,交点式:,3、已知抛物线与x轴的两个交点为A(-3,0)、B(1,0),又经过点C(2,5),求其解析式
9、。,一般式:,二次函数图象如图所示, 直接写出点的坐标;(2)求这个二次函数的解析式,变式4,C,A,B,4、已知抛物线对称轴为x=2,且经过点(1,4) 和(5,0),求该二次函数解析式。,5、已知抛物线的顶点为A(-1,-4),又知它与x 轴的两个交点B、C间的距离为4,求其解析式。,充分利用条件 合理选用以上三式,6、抛物线与x轴的一个交点坐标是 (-1,0),且当x= 1时,函数有最大值为 4,求此函数解析式。 7、抛物线与x轴的一个交点坐标是 (-1,0),对称轴为直线x=1,抛物线顶点到x轴的距离为4,求此函数解析式。,14:30,一、 一般式 1.已知一个二次函数图象经过(-1,
10、10)、(2,7)和(1,4)三点,那么这个函数的解析式是_。,2.已知一个二次函数的图象经过(1,8),(1,2),(2,5)三点。求这个函数的解析式,二、顶点式 1. 已知抛物线y=ax2+bx+c的顶点是A(-1,4)且经过点(1,2)求其解析式。,2、已知抛物线的顶点为( 2,3), 且过点(1,4),求这个函数的解析式。,应 用,例4 有一个抛物线形的立交桥拱,这个桥拱的最大高度为16m,跨度为40m现把它的图形放在坐标系里(如图所示),求抛物线的解析式,解:设抛物线的解析式为y=ax2bxc,,根据题意可知 抛物线经过(0,0),(20,16)和(40,0)三点,可得方程组,通过利
11、用给定的条件 列出a、b、c的三元 一次方程组,求出a、 b、c的值,从而确定 函数的解析式 过程较繁杂,,评价,设抛物线为y=a(x-20)216,解:,根据题意可知 点(0,0)在抛物线上,,通过利用条件中的顶点和过原点选用顶点式求解, 方法比较灵活,评价, 所求抛物线解析式为,例4 有一个抛物线形的立交桥拱,这个桥拱的最大高度为16m,跨度为40m现把它的图形放在坐标系里(如图所示),求抛物线的解析式,应 用,设抛物线为y=ax(x-40 ),解:,根据题意可知 点(20,16)在抛物线上,,选用两根式求解,方法灵活巧妙,过程也较简捷,评价,例4 有一个抛物线形的立交桥拱,这个桥拱的最大高度为16m,跨度为40m现把它的图形放在坐标系里(如图所示),求抛物线的解析式,应 用,课堂练习,课堂小结,求二次函数解析式的一般方法:,已知图象上三点或三组对应值, 通常选择一般式,已知图象的顶点坐标、对称轴、最值和另一个点的坐标 通常选择顶点式,已知图象与x轴的两个交点的横x1、x2和另一个点的坐标 通常选择交点式,确定二次函数的解析式时,应该根据条件的特点,恰当地选用一种函数表达式,,作业:,课本P15 习题26.1 第9题(1)、第10题。,