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1、实验设计,DOE Design of Experiments,第5章 正交设计,5.1 正交表与正交设计 5.1.1 正交表 5.1.2 用正交表安排实验 5.2 分析实验结果 5.2.1 实验结果的直观分析 5.2.2 实验结果的方差分析 5.3 有交互作用的正交设计 5.3.1 表头设计 5.3.2 分析实验结果 5.4 水平不等的正交设计 5.4.1 用混合水平正交表安排实验 5.4.2 改造正交表,5.5 独立重复实验 5.6 筛选实验 5.7 正交设计与区组设计 5.7.1 拉丁方设计 5.7.2 其他区组设计 思考与练习,第5章 正交设计,正交设计是多因素的优化实验设计方法，也称为
2、正交试验设计。它是从全面实验的样本点中挑选出部分有代表性的样本点做实验，这些代表点具有正交性。其作用是只用较少的实验次数就可以找出因素水平间的最优搭配或由实验结果通过计算推断出最优搭配。,5.1 正交表与正交设计,5.1 正交表与正交设计,5.1 正交表与正交设计,5.1 正交表与正交设计,5.1 正交表与正交设计,5.1 正交表与正交设计,田口玄一博士在多年研究和实践的基础上，创造性地提出了关于质量的定义：“所谓质量，是指产品上市后给社会带来的损失。但是功能本身所产生的损失除外。” 田口把产品质量与给社会带来的损失联系在一起，他认为，质量好的产品就是上市后给社会带来损失小的产品。这个定义保存
3、了满足社会需要的中心内容，在本质上它与 ISO 9000 ： 2000 给出的质量定义是一致的，但是，田口的质量定义强调了质量的经济效果和设计的目的性。,5.1 正交表与正交设计,田口博士还进一步提出了以质量损失来评价质量水平的概念和减少质量损失的方法，在此基础上，引发了以减少质量波动、提高产品健壮性为目标的设计思想的重大变革，产生了极具创造性的以参数设计、容差设计方法为主的线外质量管理方法、和以对质量特性、过程反馈控制，对过程诊断、调节等方法为主的线内质量管理问世，田口的线内外质量管理方法在欧美统称为“田口方法”。田口先生关于质量的定义最有价值之处是引入了质量损失的概念，开辟了定量研究质量的
4、道路。日本的众多企业就是用田口的质量管理方法进行质量管理。,5.1 正交表与正交设计5.1.1 正交表,定义5.1 正交试验设计就是使用正交表（Orthogonal Array）来安排实验的方法。 定义5.2 正交表是按正交性排列好的用于安排多因素实验的表格。,5.1 正交表与正交设计5.1.1 正交表,正交表的一般记法为Ln（a p），其中p是表的列数，n是表的行数，表中的数字都由1到a这a个整数构成。字母L表示正交表，实际上是引用了拉丁方（Latin）的名称。 常见的正交表有L4（23）、L8（27）、L16（215）、 L9（34）、 L27（313）、L16（45）、L25（56），
5、以及混合水平L18（2137）等正交表。 用正交表安排实验就是把实验的因素（包括区组因素）安排到正交表的列，允许有空白列，把因素水平安排到正交表的行。具体来说，正交表的列用来安排因素，正交表中的数字表示因素的水平，用Ln（a p）正交表最多可以安排p个水平数目为a的因素，需要做n 次实验（含有n个处理）。,5.1 正交表与正交设计5.1.1 正交表,2 正交性 正交表的列之间具有正交性，正交性可以保证每两个因素的水平在统计学上是不相关的。正交性具体表现在两个方面，分别是： （1）均匀分散性。在正交表的每一列中，不同数字出现的次数相等。例如L9（34）正交表中，数字1, 2, 3在每列中各出现3
6、次。 （2）整齐可比性。对于正交表的任意两列，将同一行的两个数字看作有序数对，每种数对出现的次数是相等的，例如L9（34）表，有序数对共有9个，（1,1），（1,2），（1,3），（2,1），（2,2），（2,3），（3,1），（3,2），（3,3），它们各出现一次。,5.1 正交表与正交设计5.1.1 正交表,在得到一张正交表后，我们可以通过三个初等变换得到一系列与它等价的正交表 （1）正交表的任意两列之间可以相互交换，这使得因素可以自由安排在正交表的各列上。 （2）正交表的任意两行之间可以相互交换，这使得实验的顺序可以自由选择。 （3）正交表的每一列中不同数字之间可以任意交换，称为水平置换
7、。这使得因素的水平可以自由安排。,5.1 正交表与正交设计5.1.1 正交表,3 正交性的直观解释 以L9（34）正交表为例，9个实验点在三维空间中的分布见图5.1。图中正方体的全部27个交叉点代表全面实验的27个实验点，用正交表确定的9个实验点均匀散布在其中。具体来说，从任一方向将正方体分为3个平面，每个平面含有9个交叉点，其中都是恰有3个是正交表安排的实验点。再将每一平面的中间位置各添加一条行线段和一条列线段，这样每个平面各有三条等间隔的行线段和列线段，则在每一行上恰有一个实验点，每一列上也恰有一个实验点。可见这9个实验点在三维空间的分布是均匀分散的。,图5.1 L9（34）正交表9个实验
8、点的分布,5.1.2 用正交表安排实验,用正交表安排实验首先看因素的水平，选取与因素水平相同的正交表，然后看因素的数目，因数的个数不能超过正交表的列数，允许有空白列。 1 正交试验的设计 【例5.1】 某化工厂生产一种化工产品，采收率低并且不稳定，一般在60%80%之间波动。现在希望通过实验设计，找出好的生产方案，提高采收率。 本例中的实验指标是采收率。根据专业技术人员的分析，影响采收率的3个主要因素是反应温度、加碱量、催化剂种类。每个因素分别取3个水平做实验，得因素与水平表见表5.2。,5.1.2 用正交表安排实验,对于以上这3 个因素3 个水平的实验，如要做全面实验，要做33=27次实验。
9、厂方希望能用少量的实验找出最优生产方案，而正交实验设计正是解决这种问题的常用方法。实验的设计见表5.3。,5.1.2 用正交表安排实验,表5.3 用L9（34）正交表安排实验,5.1.2 用正交表安排实验,2 正交实验的实施 通过以上用L9（34）正交表安排实验可以看到，全部的实验是同时设计好的，属于整体设计。 这里需要强调一个问题，做实验的顺序要依照随机化原则，其目的是尽量避免实验因素外的其他因素对实验的影响。例如操作人员、仪器设备、实验环境等因素的影响。假如实验员在实验过程中对这项实验逐渐熟悉，实验的效果越来越好，后面的实验采收率就有提高的趋势。如果不按随机化原则安排实验顺序，实验结果就会
10、低估A因素的1水平（前3号实验），高估A因素的3水平（后3号实验）。这样操作人员就成为实验中不得不考虑的区组因素。,5.1.2 用正交表安排实验,2 正交实验的实施 在实验中要尽量保持实验因素以外的其他因素固定，在不能避免的场合可以增加一个区组因素，也安排在正交表的一个列上。在分析实验数据时区组因素也作为一个因素处理，可以避免对实验结果的系统影响。比如实验由3个人进行，则可以把人也看成一个因素，3个人便是3个水平，将其放在正交表的空白列上，那么该列的1，2，3水平对应的实验分别由第一、第二、第三个人去做，这样就避免了因人员变动所造成的系统误差。,5.2 分析实验结果,分析正交实验结果有两种方法
11、: 一、直观分析法 二、方差分析法。,5.2.1 实验结果的直观分析,表5.4 实验结果直观分析表,5.2.1 实验结果的直观分析 （1）直接看的好条件,实验结果的直观分析。 （1）直接看的好条件。从表中的9 次实验结果看出，第8号实验A3B2C1的采收率最高，为85%。但第8 号实验方案不一定是最优方案，还应该通过进一步的分析寻找出可能的更好方案。,5.2.1 实验结果的直观分析（2）算一算的好条件,（2）算一算的好条件。 表中T1、T2和T3这三行数据分别是各因素同一水平结果之和。例如，T1行A因素列的数据180是A因素3个1水平实验值的和，而A因素3个1水平分别在第1、2、3号实验，所以
12、 T1A= y1+y2+y3 = 51+71+58=180 注意到，在上述计算中，B因素的3个水平各参加了一次计算，C因素 的3个水平也各参加了一次计算。 其他的求和数据计算方式与上述方式相似，例如T2行C因素的求和数据237是C因素3个二水平实验值的和，而C因素3个二水平分别在第2、4、9号实验，所以 T2C = y2+y4+y9 = 71+82+84=237 同样，在上述计算中A因素的3个水平各参加了一次计算，B因素的3个水平也各参加了一次计算。,5.2.1 实验结果的直观分析（3）分析极差,（3）分析极差 确定各因素的重要程度。表5.4中的最后一行R是极差，它是、和各列三个数据的极差，即
13、最大数减去最小数 例如A因素的极差RA=8260=22。 从表中看到： A因素的极差RA=22最大，表明A因素对采收率的影响程度最大。 B因素的极差RB=8最小，说明B因素对采收率影响程度不大。 C因素的极差RC=14大小居中，说明C因素对采收率有一定的影响，但是影响程度不大。,5.2.1 实验结果的直观分析（4）画趋势图,（4）画趋势图。,图5.2 因素水平趋势图,5.2.1 实验结果的直观分析（5）成本分析,（5）成本分析。前面的分析说明选取加碱量B2=48 kg是合适的，但是由于加碱量对采收率影响不大，如果考虑生产成本的话，选B1=35 kg可能会更好。因为B1虽然平均采收率低5%，但少
14、投入13 kg碱。这就需要进一步进行经济核算，少投入13 kg碱和减少5%的采收率相比哪一样更有利。,5.2.1 实验结果的直观分析（6）综合分析与撒细网,（6）综合分析与撒细网。前面的分析表明，A3B2C2是理论上的最优方案，还可以考虑把反应温度A的水平进一步提高，加碱量B适当减少。这需要安排进一步的补充实验，可以在A3B2C2附近安排一轮2水平小批量的实验，其中催化剂固定为乙种，因素A再取一个比90更高的水平，因素B再取一个比48 kg略低的水平做实验，称为撒细网。如果实验者对现有的实验结果已经满意，也可以不做撒细网实验。,5.2.1 实验结果的直观分析（7）验证实验,（7）验证实验。 不
15、论是否做进一步的撒细网实验，都需要对理论最优方案做验证实验。需要注意的是，最优搭配A3B2C2或者A3B1C2只是理论上的最优方案，还需要用实际的实验做验证。对这两个方案各做两次验证实验，实验所得A3B2C2的两次采收率分别为87%、88%。实验A3B1C2的两次采收率分别为87%、85%。两者相差很小，从节约成本角度看最优搭配A3B1C2是可行的。,5.2.2 实验结果的方差分析,在前面的直观分析中，通过极差的大小来评价各因素对实验指标影响的程度，其中极差的大小并没有一个客观的评价标准，为了解决这一问题，需要对数据进行方差分析。正交设计是多因素实验设计，一般包含3个以上的因素，其方差分析方法
16、是双因素实验设计方差分析的推广，仍然是通过离差平方和分解，构造F统计量，生成方差分析表，对因素效应和交互效应的显著性做检验。,5.2.2 实验结果的方差分析 1 计算离差平方和,5.2.2 实验结果的方差分析 1 计算离差平方和,（2）因素的离差平方和。因素A的离差平方和为：,（5.2）,其中a = 3是A因素的水平数，ni 是在第i水平下所做实验的次数，也就是计算 时所用到的数据个数。 本例ni = n / a = 9 / 3 = 3，A因素在每一个水平下都是做了3次实验。 是在前面的直观分析方法中计算出的A因素的每一水平下的实验平均值。 按照与上面相同的公式可以计算出SSB和SSC，只是把 分别作为B因素和C因素每一水平下的实验平均值。,5.2.2 实验结果的方差分析 1 计算离差平方和,（3）误差平方和SSE。有两种计算方法： 方法一：用空白列计算。 对空白列也按照上面计算因素离差平方和的公式计算出相应的离差平方和，就是误差平方和SSE。如果空白列不止1列，就分别计算出每个空白列的离差平方和，这些空白列的离差平方
