专题05统计——2020年高考数学（文）母题题源全揭秘（全国Ⅰ专用）（教师用）

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1、1 专题 05统计 【母题来源【母题来源一一】 【2020 年高考全国卷文数】某校一个课外学习小组为研究某作物种子的发 芽率 y 和温度 x（单位：C）的关系，在 20 个不同的温度条件下进行种子发芽实验，由实 验数据( ,)(1,2,20) ii x yi 得到下面的散点图： 由此散点图，在 10C 至 40C 之间，下面四个回归方程类型中最适宜作为发芽率 y 和温度 x 的回归方程类型的是 Ay abx B 2 yabx CexyabD lnyabx 【答案】D 【解析】由散点图分布可知，散点图分布在一个对数函数的图象附近， 因此，最适合作为发芽率y和温度x的回归方程类型的是lnyabx.

2、 故选 D. 【名师点睛】本题考查函数模型的选择，主要观察散点图的分布，属于基础题. 根据散点图 的分布可选择合适的函数模型. 【母题来源【母题来源二二】 【2019 年高考全国卷文数】某学校为了解 1 000 名新生的身体素质，将这 些学生编号为 1，2，1 000，从这些新生中用系统抽样方法等距抽取 100 名学生进行体 质测验若 46 号学生被抽到，则下面 4 名学生中被抽到的是 2 A8 号学生B200 号学生 C616 号学生D815 号学生 【答案】C 【解析】由已知将 1000 名学生分成 100 个组，每组 10 名学生，用系统抽样，46 号学生被 抽到，所以第一组抽到 6 号

3、，且每组抽到的学生号构成等差数列 n a，公差10d ，所以 6 10 n an()n N，若86 10n，解得 1 5 n ，不合题意；若2006 10n，解得 19.4n ， 不合题意； 若6166 10n， 则61n ， 符合题意； 若8156 10n， 则80.9n ， 不合题意故选 C 【母题来源【母题来源三三】 【2018 年高考全国卷文数】某地区经过一年的新农村建设，农村的经济收 入增加了一倍，实现翻番为更好地了解该地区农村的经济收入变化情况，统计了该地区新 农村建设前后农村的经济收入构成比例，得到如下饼图： 建设前经济收入构成比例建设后经济收入构成比例 则下面结论中不正确的是

4、A新农村建设后，种植收入减少 B新农村建设后，其他收入增加了一倍以上 C新农村建设后，养殖收入增加了一倍 D新农村建设后，养殖收入与第三产业收入的总和超过了经济收入的一半 【答案】A 【解析】设新农村建设前的收入为 M，而新农村建设后的收入为 2M，则新农村建设前种植 收入为 0.6M，而新农村建设后的种植收入为 0.74M，所以种植收入增加了，所以 A 项不正 确； 新农村建设前其他收入为 0.04M，新农村建设后其他收入为 0.1M，故增加了一倍以上，所 以 B 项正确； 新农村建设前，养殖收入为 0.3M，新农村建设后为 0.6M，所以增加了一倍，所以 C 项正确； 3 新农村建设后，

5、养殖收入与第三产业收入的综合占经济收入的 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?， 所 以超过了经济收入的一半，所以 D 正确. 故选 A 【命题意图】 2020 年高考试题对统计的考查主要是会利用散点图认识变量间的相关关系，了解回归分析 的基本思想、方法及其简单应用. 【命题规律】 高考常考查知识点： （1）会作两个有关联变量的数据的散点图，会利用散点图认识变量间的相关关系. （2）了解最小二乘法的思想，能根据给出的线性回归方程系数公式建立线性回归方程. （3）了解分布的意义和作用，会列频率分布表，会画频率分布直方图、频率折线图、茎叶 图，理解它们各自的特点.能从样本数据中提取基本的数字特征

6、（如平均数、标准差） ，并给 出合理的解释. （4）会用简单随机抽样方法从总体中抽取样本；了解分层抽样和系统抽样方法 【答题模板】 对某些特殊的非线性关系，可以通过变量转换，把非线性回归问题转化成线性回归问题，然 后用线性回归的方法进行研究 在大量的实际问题中，所研究的两个变量不一定都呈线性相关关系，当两变量 y 与 x 不具有 线性相关关系时，要借助散点图，与已学过的函数(如指数函数、对数函数、幂函数等)的图 象相比较， 找到合适的函数模型， 利用变量代换转化为线性函数关系， 从而使问题得以解决 【方法总结】 1相关关系的判断 判定两个变量正、负相关性的方法： (1)画散点图：若点的分布从左

7、下角到右上角，则两个变量正相关；若点的分布从左上角 到右下角，则两个变量负相关； (2)相关系数：r0 时，正相关；r0 时，负相关； 4 (3)线性回归方程中： 0b 时，正相关； 0b 时，负相关 2求回归直线方程的一般步骤： （1）作出散点图，依据问题所给的数据在平面直角坐标系中描点，观察点的分布是否呈 条状分布，即是否在一条直线附近，从而判断两变量是否具有线性相关关系 （2）当两变量具有线性相关关系时，求回归系数 a b、 ，写出回归直线方程 （3）根据方程进行估计. 3求非线性回归方程的步骤： （1）确定变量，作出散点图 （2）根据散点图，选择恰当的拟合函数 （3）变量置换，通过变量

8、置换把非线性回归问题转化为线性回归问题，并求出线性回归 方程 （4）分析拟合效果：通过计算相关指数或画残差图来判断拟合效果 （5）根据相应的变换，写出非线性回归方程 4频率分布直方图 （1）画频率分布直方图的步骤 求极差(即一组数据中最大值与最小值的差)； 决定组距与组数； 将数据分组； 列频率分布表； 画频率分布直方图(以横轴表示样本分组，纵轴表示频率与组距的比值). （2）频率分布直方图的性质 落在各小组内的频率用各小长方形的面积表示，且各小长方形的面积的和等于 1. 频率分布直方图与众数、中位数与平均数的关系 a.最高的小长方形底边中点的横坐标即是众数； b.中位数左边和右边的小长方形的

9、面积和是相等的； c.平均数是频率分布直方图的“重心”， 等于频率分布直方图中每个小长方形的面积乘以小 长方形底边中点的横坐标的和 5在使用随机数表时，如遇到三位数或四位数时，可从选择的随机数表中的某行某列的数 字计起，每三个或四个作为一个单位，自左向右选取，有超过总体号码或出现重复号码 5 的数字舍去 6用系统抽样法抽取样本，当 N n 不为整数时，取 N k n ，即先从总体中用简单随机抽样 的方法剔除(Nnk)个个体，且剔除多余的个体不影响抽样的公平性 系统抽样的操作步骤： 第一步编号：先将总体的 N 个个体编号； 第二步分段： 确定分段间隔 k， 对编号进行分段， 当 N n (n 是

10、样本容量)是整数时， 取 k= N n ； 第三步确定首个个体：在第 1 段用简单随机抽样确定第一个个体编号 l(lk)； 第四步获取样本：按照一定的规则抽取样本，通常是将 l 加上间隔 k 得到第 2 个个体编 号lk，再加 k 得到第 3 个个体编号2lk，依次进行下去，直到获取整个样本 7与分层抽样有关问题的常见类型及解题策略： （1）求某一层的样本数或总体个数可依据题意求出抽样比，再由某层总体个数(或样 本数)确定该层的样本(或总体)数 （2）求各层的样本数可依据题意，求出各层的抽样比，再求出各层样本数 8三种抽样方法的比较 类别共同点各自特点相互联系适用范围 简单随 机抽样 是不放回

11、 抽样，抽样 过程中，每 个个体被 抽到的机 会(概率)相 等 从总体中逐个抽取 总体中的个 数较少 系统 抽样 将总体均分成几部分，按 事先确定的规则，在各部 分抽取 在起始部分抽样时， 采用简单随机抽样 总体中的个 数比较多 将总体分成几层，分层进 行抽取 各层抽样时，采用简 单随机抽样或者系 统抽样 总体由差异 明显的几部 分组成 分层抽样 6 1 【2020 届全国 100 所名校高考模拟金典卷高三数学（十一）试题】已知某产品的销售额y 与广告费用x之间的关系如下表： x（单位：万元） 01234 y（单位：万元） 1015203035 若求得其线性回归方程为6.5 y xa， 则预计

12、当广告费用为6万元时的销售额为 （） A42 万元B45 万元 C48 万元D51 万元 【答案】C 【解析】由题意，根据上表中的数据，可得2x ，22y ，即回归方程经过样本点中 心, x y， 又由线性回归方程为6.5 y xa，所以226.5 2a ，解得9a ， 所以6.59 y x，当6x 时，48y ，故选 C. 【名师点睛】本题主要考查了回归直线方程的应用问题，其中解答中熟记回归直线方程 的性质，求得回归直线的方程是解答的关键，着重考查了运算与求解能力，属于基础题. 根据表中的数据，求得样本点中心, x y，代入回归直线的方程，求得a的值，得到回 归直线的方程，即可求解. 2 【

13、云南省昆明市 2019 届高三 1 月复习诊断测试数学试题】某商家今年上半年各月的人均 销售额(单位：千元)与利润率统计表如下： 月份123456 人均销售额658347 利润率（%）12.610.418.53.08.116.3 根据表中数据，下列说法正确的是（） A利润率与人均销售额成正比例函数关系 B利润率与人均销售额成反比例函数关系 C利润率与人均销售额成正相关关系 D利润率与人均销售额成负相关关系 7 【答案】C 【解析】由表格中的数据显示，随着人均销售额的增加，利润率也随之增加，由变量之 间的关系可得人均销售额和利润率成正相关关系. 故选 C. 【名师点睛】本题主要考查变量间的相关关

14、系的定义，考查学生对基础知识的掌握，属 于基础题. 由表格中的数据和线性相关关系的定义即可得到. 3【湖北省恩施州 2019 届高三 2 月教学质量检测数学试题】 下列说法中正确的个数是 （ ） 相关系数r用来衡量两个变量之间线性关系的强弱，| |r越接近于 1，相关性越弱； 回归直线 ybxa 过样本点中心( , )x y； 相关指数 2 R 用来刻画回归的效果， 2 R 越小，说明模型的拟合效果越不好. A0B1 C2D3 【答案】C 【解析】线性相关关系r是衡量两个变量之间线性关系强弱的量，r越接近于 1，这 两个变量线性相关关系越强，r越接近于 0，线性相关关系越弱，故错误； 回归直线

15、ybxa过样本点中心, x y，故正确； 用相关指数 2 R 来刻画回归的效果， 2 R 越大，说明模型的拟合效果越好； 2 R 越小，说 明模型的拟合效果越不好，故正确. 综上，说法中正确的个数是 2.故选 C. 【名师点睛】本题主要考查回归分析，熟记相关系数、回归方程以及相关指数的特征即 可得出结果，属于基础题型.根据相关系数的特征判断；根据线性回归方程的特征判断 ；根据相关指数的特征判断. 4 【山东省泰安市 2019 届高三第二轮复习质量检测数学试题】根据如下样本数据： 得到的回归方程为为 7.9ybxaa ,若，则x每增加一个单位，y就（） A增加 1.4 个单位B减少 1.4 个单

16、位 8 C增加 1.2 个单位D减少 1.2 个单位 【答案】B 【解析】，回归直 线过，所以代入后，解得，故选 B. 5 【2020 届四川省成都市金堂中学高三一诊模拟数学试题】已知变量x与y线性相关，由 观测数据算得样本的平均数 3x ，4y ，线性回归方程y bxa 中的系数b，a满 足2ba，则线性回归方程为（） A 7yx B 13 22 yx C1yx $ D 31 22 yx 【答案】D 【解析】回归直线y bxa 过3,4， 34ba， 又2ba 解得 3 2 b ， 1 2 a 线性回归方程为 31 22 yx. 故选 D. 【名师点睛】本题考查线性回归方程.其中回归直线经过样本中心是解题的关键. 由最小 二乘法原理可知样本平均数(3,4)在线性回归方程上，将(3,4)代入回归方程，联立方程 组求出b，a的值，即可得出线性回归方程. 6 【黑龙江省哈尔滨市第三中学校 2020 届高三第三次模拟数学试题】 有一散点图如图所示， 在 5 个( , ) x y数据中去掉(3,10)D 后，下列说法正