专题05统计——2020年高考数学（理）母题题源全揭秘（全国Ⅰ专用）（教师用）

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1、1 专题 05统计 【母题来源【母题来源一一】 【2020 年高考全国卷理数】某校一个课外学习小组为研究某作物种子的发 芽率 y 和温度 x（单位：C）的关系，在 20 个不同的温度条件下进行种子发芽实验，由实 验数据( ,)(1,2,20) ii x yi 得到下面的散点图： 由此散点图，在 10C 至 40C 之间，下面四个回归方程类型中最适宜作为发芽率 y 和温度 x 的回归方程类型的是 Ay abx B 2 yabx CexyabD lnyabx 【答案】D 【解析】由散点图分布可知，散点图分布在一个对数函数的图象附近， 因此，最适合作为发芽率y和温度x的回归方程类型的是lnyabx.

2、 故选 D. 【名师点睛】本题考查函数模型的选择，主要观察散点图的分布，属于基础题. 根据散点图 的分布可选择合适的函数模型. 【母题来源【母题来源二二】 【2018 年高考全国卷理数】某地区经过一年的新农村建设，农村的经济收 入增加了一倍，实现翻番为更好地了解该地区农村的经济收入变化情况，统计了该地区新 农村建设前后农村的经济收入构成比例，得到如下饼图： 2 建设前经济收入构成比例建设后经济收入构成比例 则下面结论中不正确的是 A新农村建设后，种植收入减少 B新农村建设后，其他收入增加了一倍以上 C新农村建设后，养殖收入增加了一倍 D新农村建设后，养殖收入与第三产业收入的总和超过了经济收入的

3、一半 【答案】A 【解析】设新农村建设前的收入为 M，而新农村建设后的收入为 2M，则新农村建设前种植 收入为 0.6M，而新农村建设后的种植收入为 0.74M，所以种植收入增加了，所以 A 项不正 确； 新农村建设前其他收入为 0.04M，新农村建设后其他收入为 0.1M，故增加了一倍以上，所 以 B 项正确； 新农村建设前，养殖收入为 0.3M，新农村建设后为 0.6M，所以增加了一倍，所以 C 项正确； 新农村建设后， 养殖收入与第三产业收入的综合占经济收入的 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?， 所 以超过了经济收入的一半，所以 D 正确. 故选 A 【命题意图】 会利用散点图认识

4、变量间的相关关系，了解回归分析的基本思想、方法及其简单应用. 【命题规律】 高考常考查知识点： （1）会作两个有关联变量的数据的散点图，会利用散点图认识变量间的相关关系. （2）了解最小二乘法的思想，能根据给出的线性回归方程系数公式建立线性回归方程. 3 （3）了解分布的意义和作用，会列频率分布表，会画频率分布直方图、频率折线图、茎叶 图，理解它们各自的特点.能从样本数据中提取基本的数字特征（如平均数、标准差） ，并给 出合理的解释. 【答题模板】 对某些特殊的非线性关系，可以通过变量转换，把非线性回归问题转化成线性回归问题，然 后用线性回归的方法进行研究 在大量的实际问题中，所研究的两个变量

5、不一定都呈线性相关关系，当两变量 y 与 x 不具有 线性相关关系时，要借助散点图，与已学过的函数(如指数函数、对数函数、幂函数等)的图 象相比较， 找到合适的函数模型， 利用变量代换转化为线性函数关系， 从而使问题得以解决 【方法总结】 1相关关系的判断 判定两个变量正、负相关性的方法： (1)画散点图：若点的分布从左下角到右上角，则两个变量正相关；若点的分布从左上角 到右下角，则两个变量负相关； (2)相关系数：r0 时，正相关；r0 时，负相关； (3)线性回归方程中： 0b 时，正相关； 0b 时，负相关 2求回归直线方程的一般步骤： （1）作出散点图，依据问题所给的数据在平面直角坐标

6、系中描点，观察点的分布是否呈 条状分布，即是否在一条直线附近，从而判断两变量是否具有线性相关关系 （2）当两变量具有线性相关关系时，求回归系数 a b、 ，写出回归直线方程 （3）根据方程进行估计. 3求非线性回归方程的步骤： （1）确定变量，作出散点图 （2）根据散点图，选择恰当的拟合函数 （3）变量置换，通过变量置换把非线性回归问题转化为线性回归问题，并求出线性回归 方程 （4）分析拟合效果：通过计算相关指数或画残差图来判断拟合效果 （5）根据相应的变换，写出非线性回归方程 4 4频率分布直方图 （1）画频率分布直方图的步骤 求极差(即一组数据中最大值与最小值的差)； 决定组距与组数； 将

7、数据分组； 列频率分布表； 画频率分布直方图(以横轴表示样本分组，纵轴表示频率与组距的比值). （2）频率分布直方图的性质 落在各小组内的频率用各小长方形的面积表示，且各小长方形的面积的和等于 1. 频率分布直方图与众数、中位数与平均数的关系 a.最高的小长方形底边中点的横坐标即是众数； b.中位数左边和右边的小长方形的面积和是相等的； c.平均数是频率分布直方图的“重心”， 等于频率分布直方图中每个小长方形的面积乘以小 长方形底边中点的横坐标的和 1 【2020 届全国 100 所名校高考模拟金典卷高三数学（十一）试题】已知某产品的销售额y 与广告费用x之间的关系如下表： x（单位：万元）

8、01234 y（单位：万元） 1015203035 若求得其线性回归方程为6.5 y xa， 则预计当广告费用为6万元时的销售额为 （） A42 万元B45 万元 C48 万元D51 万元 【答案】C 【解析】由题意，根据上表中的数据，可得2x ，22y ，即回归方程经过样本点中 心, x y， 又由线性回归方程为6.5 y xa，所以226.5 2a ，解得9a ， 5 所以6.59 y x，当6x 时，48y ，故选 C. 【名师点睛】本题主要考查了回归直线方程的应用问题，其中解答中熟记回归直线方程 的性质，求得回归直线的方程是解答的关键，着重考查了运算与求解能力，属于基础题. 根据表中的

9、数据，求得样本点中心, x y，代入回归直线的方程，求得a的值，得到回 归直线的方程，即可求解. 2 【云南省昆明市 2019 届高三 1 月复习诊断测试数学试题】某商家今年上半年各月的人均 销售额(单位：千元)与利润率统计表如下： 月份123456 人均销售额658347 利润率（%）12.610.418.53.08.116.3 根据表中数据，下列说法正确的是（） A利润率与人均销售额成正比例函数关系 B利润率与人均销售额成反比例函数关系 C利润率与人均销售额成正相关关系 D利润率与人均销售额成负相关关系 【答案】C 【解析】由表格中的数据显示，随着人均销售额的增加，利润率也随之增加，由变量

10、之 间的关系可得人均销售额和利润率成正相关关系. 故选 C. 【名师点睛】本题主要考查变量间的相关关系的定义，考查学生对基础知识的掌握，属 于基础题. 由表格中的数据和线性相关关系的定义即可得到. 3【湖北省恩施州 2019 届高三 2 月教学质量检测数学试题】 下列说法中正确的个数是 （） 相关系数r用来衡量两个变量之间线性关系的强弱，| |r越接近于 1，相关性越弱； 回归直线 ybxa 过样本点中心( , )x y； 相关指数 2 R 用来刻画回归的效果， 2 R 越小，说明模型的拟合效果越不好. A0B1 C2D3 6 【答案】C 【解析】线性相关关系r是衡量两个变量之间线性关系强弱的

11、量，r越接近于 1，这 两个变量线性相关关系越强，r越接近于 0，线性相关关系越弱，故错误； 回归直线ybxa过样本点中心, x y，故正确； 用相关指数 2 R 来刻画回归的效果， 2 R 越大，说明模型的拟合效果越好； 2 R 越小，说 明模型的拟合效果越不好，故正确. 综上，说法中正确的个数是 2.故选 C. 【名师点睛】本题主要考查回归分析，熟记相关系数、回归方程以及相关指数的特征即 可得出结果，属于基础题型.根据相关系数的特征判断；根据线性回归方程的特征判断 ；根据相关指数的特征判断. 4 【山东省泰安市 2019 届高三第二轮复习质量检测数学试题】根据如下样本数据： 得到的回归方程

12、为为 7.9ybxaa ,若，则x每增加一个单位，y就（） A增加 1.4 个单位B减少 1.4 个单位 C增加 1.2 个单位D减少 1.2 个单位 【答案】B 【解析】，回归直 线过，所以代入后，解得，故选 B. 5 【2020 届四川省成都市金堂中学高三一诊模拟数学试题】已知变量x与y线性相关，由 观测数据算得样本的平均数 3x ，4y ，线性回归方程y bxa 中的系数b，a满 足2ba，则线性回归方程为（） A 7yx B 13 22 yx C1yx $ D 31 22 yx 【答案】D 7 【解析】回归直线y bxa 过3,4， 34ba， 又2ba 解得 3 2 b ， 1 2

13、a 线性回归方程为 31 22 yx. 故选 D. 【名师点睛】本题考查线性回归方程.其中回归直线经过样本中心是解题的关键. 由最小 二乘法原理可知样本平均数(3,4)在线性回归方程上，将(3,4)代入回归方程，联立方程 组求出b，a的值，即可得出线性回归方程. 6 【黑龙江省哈尔滨市第三中学校 2020 届高三第三次模拟数学试题】 有一散点图如图所示， 在 5 个( , ) x y数据中去掉(3,10)D 后，下列说法正确的是（） A残差平方和变小 B相关系数r变小 C相关指数 2 R 变小 D解释变量x与预报变量y的相关性变弱 【答案】A 【解析】从散点图可分析得出：只有D点偏离直线远，去

14、掉D点，变量x与变量y的 线性相关性变强， 相关系数变大，相关指数变大，残差的平方和变小，故选 A. 【名师点睛】 该题考查的是有关三点图的问题， 涉及到的知识点有利用散点图分析数据， 判断相关系数，相关指数，残差的平方和的变化情况，属于简单题目. 由散点图可知， 去掉 (3,10)D 后，y与x的线性相关性加强，由相关系数r，相关指数 2 R 及残差平方和 8 与相关性的关系得出选项. 7 【2019 届陕西省渭南市高三第二次教学质量检测数学试题】 设某大学的女生体重 y （单位： kg）与身高 x（单位：cm）具有线性相关关系，根据一组样本数据（xi，yi） （i=1，2， n） ，用最小

15、二乘法建立的回归方程为y=0.85x-85.71，则下列结论中不正确的是（） Ay 与 x 具有正的线性相关关系 B回归直线过样本点的中心（x，y） C若该大学某女生身高增加 1cm，则其体重约增加 0.85kg D若该大学某女生身高为 170cm，则可断定其体重必为 58.79kg 【答案】D 【解析】根据 y 与 x 的线性回归方程为 y=0.85x?85.71，则 =0.850，y 与 x 具有正的线性相关关系，A 正确； 回归直线过样本点的中心（, x y） ，B 正确； 该大学某女生身高增加 1cm，预测其体重约增加 0.85kg，C 正确； 该大学某女生身高为 170cm，预测其体

16、重约为 0.85170?85.71=58.79kg，D 错误 故选 D 8 【2020 届内蒙古呼和浩特市高三第一次质量普查调研考试数学】如图是某学校研究性课 题什么样的活动最能促进同学们进行垃圾分类向题的统计图（每个受访者都只能在 问卷的 5 个活动中选择一个） ，以下结论错误的是（） A回答该问卷的总人数不可能是 100 个 B回答该问卷的受访者中，选择“设置分类明确的垃圾桶”的人数最多 C回答该问卷的受访者中，选择“学校团委会宣传”的人数最少 D回答该问卷的受访者中，选择“公益广告”的人数比选择“学校要求”的少 8 个 【答案】D 【解析】对于选项 A，若回答该问卷的总人数不可能是 100 个，则选择的同学人 9 数不为整数，故 A 正确， 对于选项 B，由统计图可知，选择“设置分类明确的垃圾桶”的人数最多，故 B 正确， 对于选项 C，由统计图可知，选择“学校团委会宣传”的人数最少，故 C 正确， 对于选项 D，由统计图可知，选择“公益广告”的人数比选择“学校要求”的少 8%，故 D 错误， 故选 D 【