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1、2020年9月2日,理论力学CAI,1,第六章 刚体的基本运动和点的复合运动,刚 体的运动形式:, 一般运动刚体最一般的运动。,4.定点运动 刚体运动过程中，其上某一点始终保持不动。,3.平面运动 刚体运动过程中，其上各点到某 一固定平面的距离始终保持不变。,2.定轴转动 刚体运动过程中，有一直线始终保持不动。,1.平 移 刚体运动过程中，其上之任意直线始终平 行于这一直线的初始位置。,5.一般运动 刚体最一般的运动。,2020年9月2日,理论力学CAI,2,6.1 刚体的平移和定轴转动,2020年9月2日,理论力学CAI,3,2020年9月2日,理论力学CAI,4,2020年9月2日,理论力
2、学CAI,5,平移 刚体运动过程中，其上任意直线始终平 行于这一直线的初始位置。,2020年9月2日,理论力学CAI,6,2020年9月2日,理论力学CAI,7,2020年9月2日,理论力学CAI,8,2020年9月2日,理论力学CAI,9,刚体平移: 刚体在运动中,其上任意两点的连线始终保持方向不变。 由A,B 两点的运动方程式: 而,AB在运动中方向和大小始终不变 它的轨迹,可以是直线 可以是曲线,2020年9月2日,理论力学CAI,10,结论:,刚体平移的特点: 平移刚体在任一瞬时各点的运动轨迹形状,速度,加速度都一样。 即:平移刚体的运动可以简化为一个点的运动。,2020年9月2日,理
3、论力学CAI,11,荡木用两条等长的钢索平行吊起，如图所示。钢索长为长l，度单位为m。当荡木摆动时钢索的摆动规律为 ，其中 t 为时间，单位为s；转角0的单位为rad，试求当t=0和t=2 s时，荡木的中点M的速度和加速度。,2020年9月2日,理论力学CAI,12,由于两条钢索O1A和O2B的长度相等，并且相互平行，于是荡木AB在运动中始终平行于直线O1O2，故荡木作平移。,为求中点M 的速度和加速度，只需求出A点（或B点）的速度和加速度即可。点A在圆弧上运动，圆弧的半径为l。如以最低点O为起点，规定弧坐标s向右为正，则A点的运动方程为,将上式对时间求导，得A点的速度,解：,2020年9月2
4、日,理论力学CAI,13,再求一次导，得A点的切向加速度,代入t = 0和t = 2，就可求得这两瞬时A点的速度和加速度，亦即点M在这两瞬时的速度和加速度。计算结果列表如下：,A点的法向加速度,2020年9月2日,理论力学CAI,14,2.定轴转动 刚体运动过程中，有一直线始终保持不动。,2020年9月2日,理论力学CAI,15,2020年9月2日,理论力学CAI,16,一条不变的线称为转轴,其余各点都在垂直于转轴的 平面上做圆周运动。, = (t)-为转动方程 方向规定: 从z 轴正向看去,逆时针为正 顺时针为负,2020年9月2日,理论力学CAI,17,3.刚体的角速度和角加速度,工程中常
5、用单位： n = 转/分(r / min),则n与w的关系为:,单位 rad/s,若已知转动方程,2020年9月2日,理论力学CAI,18,角加速度: 设当t 时刻为 , t +t 时刻为+, 与 方向一致为加速转动, 与 方向相反为减速转动,单位:rad/s2,2020年9月2日,理论力学CAI,19, 、 , 对整个刚体而言都一样； v、a 对刚体中某个点而言(各点不一样)。,4.定轴转动刚体内点的速度和加速度,2020年9月2日,理论力学CAI,20,2020年9月2日,理论力学CAI,21,已知：圆轮O由静止开始作等加速转动，OM0.4m， 在 某瞬时测得,求： 转动方程; t5s时，
6、点的速度和 向心加速度的大小。,解：,2020年9月2日,理论力学CAI,22,角速度和角加速度的矢量表示,按右手定则规定 ， 的方向。,2020年9月2日,理论力学CAI,23,刚体内点的速度和加速度的矢积表示,2020年9月2日,理论力学CAI,24,齿轮传动,因为是做纯滚动(即没有相对滑动),定义齿轮传动比,1.内啮合,2020年9月2日,理论力学CAI,25,由于转速n与w 有如下关系：,2.外啮合,2020年9月2日,理论力学CAI,26,减速箱由四个齿轮构成，如图所示。齿轮和安装在同一轴上，与轴一起转动。各齿轮的齿数分别为z1=36，z2=112 ，z3=32和z4=128 ，如主
7、动轴的转速n1=1 450 rmin1，试求从动轮的转速n4。,2020年9月2日,理论力学CAI,27,解：用n1， n2 ， n3和n4分别表示各齿轮的转速，且有,应用齿轮的传动比公式，得,将两式相乘，得,因为n2= n3，于是从动轮到齿轮的传动比为,由图可见，从动轮和主动轮的转向相同。,最后，求得从动轮的转速为,2020年9月2日,理论力学CAI,28,例试画出图中刚体上两点在图示位置时的速度和 加速度。,2020年9月2日,理论力学CAI,29,6.2 点在平移参考系中运动的合成,为此，引入动点，动系，定系。并研究同一动点相对 于两个不同参考系的运动之间的关系。,前面我们研究点的运动时
8、，都是相对于某一个参考系（定系）而言。但在有些问题中，往往需要同时在两个不 同的参考系中来描述同一点的运动，而其中一个参考系 相对于另一参考系也在运动。,2020年9月2日,理论力学CAI,30,军舰以20节（knot，1节=1.852 kmh-1）的速度前进，直升飞机以每小时18 km的速度垂直降落。求直升飞机相对于军舰的速度。,2020年9月2日,理论力学CAI,31,2020年9月2日,理论力学CAI,32,y,y,x,x,O,O,y,x,M,MO,u,振动仪中纪录振动的笔尖 M 沿铅直固定轴 Oy 作间谐振动y=asin(kt+)。纸带以水平匀速u向左运动，求笔尖在纸带上所描绘出的轨迹
9、。,2020年9月2日,理论力学CAI,33,车刀以匀速横向走刀，卡盘匀角速度转动，求刀尖相对工件的轨迹。,2020年9月2日,理论力学CAI,34,绝对运动： 动点相对于定系的运动称为绝对运动。 动点在绝对运动中的轨迹，速度，加速度，称为动点的绝对轨迹，绝对速度，绝对加速度。,相对运动： 动点相对于动系的运动称为相对运动。 动点在相对运动中的轨迹，速度，加速度称为动点的 相对轨迹，相对速度，相对加速度。,1. 点的绝对运动和相对运动,2020年9月2日,理论力学CAI,35,牵连运动： 动系相对于定系的运动称为牵连运动。 牵连就是当动系运动时，把动点带动的意思。因此 在某瞬时，动系上与动点相
10、重合的一点称为动点在此瞬时 的牵连点，牵连点的速度和加速度称为动点在该瞬时的 牵连速度和牵连加速度。,2020年9月2日,理论力学CAI,36,定系,动系,2020年9月2日,理论力学CAI,37,观察: 动 点 A 的 运 动,绝对运动 在定系上看A点的运动,相对运动 在动系上看A点的运动,2020年9月2日,理论力学CAI,38,牵连运动 动系相对于定系的运动称为牵连运动。,注意：牵连运动为刚体运动，因为动系固结于刚体上 随刚体一起运动，所以 动系可能作平移，定轴转动或其它较复杂的运动。,2020年9月2日,理论力学CAI,39,圆盘上的A点为动点，带滑槽的摆杆为动系。,绝对运动： A点作
11、圆周运动 相对运动： A点作直线运动 牵连运动： 动系摆杆作定轴转动,2020年9月2日,理论力学CAI,40,相 对 运 动,绝 对 运 动,定系,牵 连 运 动,动系,点的复合运动： 绝对运动 = 相对运动 + 牵连运动,以上分析，我们可以看到 点的绝对运动可由相对 运动和牵连运动来复合。反之，点的绝对运动也可分解 为相对运动和牵连运动。,动点,2020年9月2日,理论力学CAI,41,定系 00 x0 y0 z0,动系 O x y z,绝对位矢 r (t),相对位矢 (t),P点的位置,2020年9月2日,理论力学CAI,42,2020年9月2日,理论力学CAI,43,x,y1,o1,x
12、1,o,xo1,yo1,M,X1,Y1,Y,X,OXY为定系，O1X1Y1为动系,y,x,y1,o1,x1,o,xo1,yo1,M,X1,Y1,Y,X,设动点 M 在平面中运动,牵连运动方程： x01 = x 01（t） y01 = y 01 （t） j = j ( t ),相对运动方程： x1= x1 （t） y1= y1（t）,绝对运动方程,x = x （t） y = y （t）,2020年9月2日,理论力学CAI,44,据此式，可以由给定的牵连运动方程和动点的相对运动方程求出动点的绝对运动方程。或由给定的牵连运动方程和动点的绝对运动方程求出动点的相对运动方程。,利用动系与定系之间的坐标变
13、换关系可得,上式称为坐标变换公式，体现了动点的绝对运动方程 和相对运动方程及动系的牵连运动方程之间的关系。,2020年9月2日,理论力学CAI,45,用铣刀切削工件的直径端面，刀尖M 沿水平轴x作往复运动，如图所示。设Oxy为定坐标系，刀尖的运动方程为x =bsin t。工件以匀角速度逆时针转向转动。求车刀在工件圆端面上切出的痕迹。,2020年9月2日,理论力学CAI,46,解：,1. 选择动点，动系与定系。,动系O x y，固连于工件上。,2. 运动分析。,相对运动平面曲线。,牵连运动绕O 轴的定轴转动。,动点刀尖上的M点。,定系固连于机座。,2020年9月2日,理论力学CAI,47,3.
14、求刀尖 M 相对于工件的运动轨迹方程。,动点 M 在动系O x y 和定系Ox y 中的坐标关系为：,将 M 点的绝对运动方程代入上式得：,消去时间 t，得刀尖相对轨迹方程,2020年9月2日,理论力学CAI,48,相 对 运 动 轨 迹,2020年9月2日,理论力学CAI,49,y,y,x,x,O,O,y,x,M,MO,u,振动仪中纪录振动的笔尖 M 沿铅直固定轴 Oy 作间谐振动y=asin(kt+)。纸带以水平匀速u向左运动，求笔尖在纸带上所描绘出的轨迹。,2020年9月2日,理论力学CAI,50,),sin(,a,+,=,=,=,kt,a,y,OM,ut,O,O,).,sin(,a,+
15、,=,=,=,=,kt,a,OM,y,ut,O,O,x,所以，笔尖 M 的相对运动方程:,消去时间t 得笔尖在纸带上所描绘出的轨迹:,y,y,x,x,O,O,y,x,M,MO,u,解：,动系Ox y，固连于纸带上。,动点笔尖M 。,定系固连于机座。,因为,2020年9月2日,理论力学CAI,51,2. 平移参考系中点的速度和加速度合成,（1）,（2）,2020年9月2日,理论力学CAI,52,任一瞬时动点的绝对速度等于其牵连速度与相对速度 的矢量和，这就是点的速度合成定理。,牵连运动为平移时点的加速度合成定理,一般式可写为：,2020年9月2日,理论力学CAI,53,a,v,解：取AB杆上的A点为动点， 凸轮为动系。 进行运动分析，作出速度图。,例： 半径为 r 的半圆柱形凸轮顶杆机构中，已知凸轮向右平移的速度V，试求AB杆的速度。,VA = Vr + Ve,2020年9月2日,理论力学CAI,54,VA = Vctga,例：,已知三矢量方向及 Ve =V 四个 元素，可以求出另外两个元素。,a,V,o,Vr,Ve,B,VA,Y,X,A,分析法： 建立AXY坐标系 Y： VA sina = Vcosa VA = Vctga,几何法：,2020年9月
