《高考数学（全国甲卷通用理科）知识 方法篇 专题3 函数与导数 第11练 含答案》由会员分享，可在线阅读，更多相关《高考数学（全国甲卷通用理科）知识 方法篇 专题3 函数与导数 第11练 含答案（13页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、第11练研创新以函数为背景的创新题型题型分析高考展望在近几年的高考命题中，以函数为背景的创新题型时有出现.主要以新定义、新运算或新规定等形式给出问题，通过判断、运算解决新问题.这种题难度一般为中档，多出现在选择题、填空题中，考查频率虽然不是很高，但失分率较高.通过研究命题特点及应对策略，可以做到有备无患.体验高考1.(2015湖北)已知符号函数sgn xf(x)是R上的增函数，g(x)f(x)f(ax)(a1)，则()A.sgng(x)sgn xB.sgng(x)sgnf(x)C.sgng(x)sgn xD.sgng(x)sgnf(x)答案C解析因为f(x)是R上的增函数，令f(x)x，所以g
2、(x)(1a)x，因为a1，所以g(x)是在R上的减函数.由符号函数sgn x知，sgng(x)所以sgng(x)sgn x.2.(2016山东)若函数yf(x)的图象上存在两点，使得函数的图象在这两点处的切线互相垂直，则称yf(x)具有T性质.下列函数中具有T性质的是()A.ysin x B.yln xC.yex D.yx3答案A解析对函数ysin x求导，得ycos x，当x0时，该点处切线l1的斜率k11，当x时，该点处切线l2的斜率k21，k1k21，l1l2；对函数yln x求导，得y恒大于0，斜率之积不可能为1；对函数yex求导，得yex恒大于0，斜率之积不可能为1；对函数yx3求
3、导，得y2x2恒大于等于0，斜率之积不可能为1.故选A.3.(2015四川)已知函数f(x)2x，g(x)x2ax(其中aR).对于不相等的实数x1，x2，设 m，n，现有如下命题：对于任意不相等的实数x1，x2，都有m0；对于任意的a及任意不相等的实数x1，x2，都有n0；对于任意的a，存在不相等的实数x1，x2，使得mn；对于任意的a，存在不相等的实数x1，x2，使得mn.其中的真命题有_(写出所有真命题的序号).答案解析设A(x1，f(x1)，B(x2，f(x2)，C(x1，g(x1)，D(x2，g(x2).对于，从y2x的图象可看出，mkAB0恒成立，故正确；对于，直线CD的斜率可为负
4、，即n0，故不正确；对于，由mn得f(x1)f(x2)g(x1)g(x2)，即f(x1)g(x1)f(x2)g(x2)，令h(x)f(x)g(x)2xx2ax，则h(x)2xln 22xa.由h(x)0，得2xln 22xa，(*)结合图象知，当a很小时，方程(*)无解，函数h(x)不一定有极值点，就不一定存在x1，x2使f(x1)g(x1)f(x2)g(x2)，不一定存在x1，x2使得mn，故不正确；对于，由mn，得f(x1)f(x2)g(x2)g(x1)，即f(x1)g(x1)f(x2)g(x2)，令F(x)f(x)g(x)2xx2ax，则F(x)2xln 22xa.由F(x)0，得2xl
5、n 22xa，结合如图所示图象可知，该方程有解，即F(x)必有极值点，存在x1，x2，使F(x1)F(x2)，使mn，故正确.故正确.4.(2015福建)一个二元码是由0和1组成的数字串x1x2xn(nN*)，其中xk(k1，2，n)称为第k位码元.二元码是通信中常用的码，但在通信过程中有时会发生码元错误(即码元由0变为1，或者由1变为0).已知某种二元码x1x2x7的码元满足如下校验方程组：其中运算定义为000，011，101，110.现已知一个这种二元码在通信过程中仅在第k位发生码元错误后变成了1101101，那么利用上述校验方程组可判定k等于_.答案5解析(1)x4x5x6x711011
6、，(2)x2x3x6x710010；(3)x1x3x5x710111.由(1)(3)知x5，x7有一个错误，(2)中没有错误，x5错误，故k等于5.5.(2016四川)在平面直角坐标系中，当P(x，y)不是原点时，定义P的“伴随点”为P；当P是原点时，定义P的“伴随点”为它自身，平面曲线C上所有点的“伴随点”所构成的曲线C定义为曲线C的“伴随曲线”.现有下列命题：若点A的“伴随点”是点A，则点A的“伴随点”是点A；单位圆的“伴随曲线”是它自身；若曲线C关于x轴对称，则其“伴随曲线”C关于y轴对称；一条直线的“伴随曲线”是一条直线.其中的真命题是_(写出所有真命题的序号).答案解析设A的坐标为(
7、x，y)，则其“伴随点”为A，A的“伴随点”横坐标为x，同理可得纵坐标为y，故A(x，y)，错误；设单位圆上的点P的坐标为(cos ，sin )，则P的“伴随点”的坐标为P(sin ，cos )，则有sin2(cos )21，所以P也在单位圆上，即单位圆的“伴随曲线”是它自身，正确；设曲线C上点A的坐标为(x，y)，其关于x轴的对称点A1(x，y)也在曲线C上，所以点A的“伴随点”A，点A1的“伴随点”A1，A与A1关于y轴对称，正确；反例：例如y1这条直线，则A(0，1)，B(1，1)，C(2，1)，这三个点的“伴随点”分别是A(1，0)，B，C，而这三个点不在同一直线上，下面给出严格证明：
8、设点P(x，y)在直线l：AxByC0上，P点的“伴随点”为P(x0，y0)，则解得代入直线方程可知，ABC0，化简得Ay0Bx0C(xy)0.当C0时，C(xy)是一个常数，点P的轨迹是一条直线；当C0时，C(xy)不是一个常数，点P的轨迹不是一条直线.所以，一条直线的“伴随曲线”不一定是一条直线，错误.综上，真命题是.高考必会题型题型一与新定义有关的创新题型例1已知函数yf(x)(xR).对函数yg(x)(xI)，定义g(x)关于f(x)的“对称函数”为函数yh(x)(xI)，yh(x)满足：对任意xI，两个点(x，h(x)，(x，g(x)关于点(x，f(x)对称.若h(x)是g(x)关于
9、f(x)3xb的“对称函数”，且h(x)g(x)恒成立，则实数b的取值范围是_.答案(2，)解析由已知得3xb，所以h(x)6x2b.h(x)g(x)恒成立，即6x2b，3xb恒成立.在同一坐标系内，画出直线y3xb及半圆y(如图所示)，可得2，即b2，故答案为(2，).点评解答这类题目关键在于解读新定义，利用定义的规定去判断和求解是这类题目的主要解法.变式训练1若函数yf(x)在定义域内给定区间a，b上存在x0(ax0b)，满足f(x0)，则称函数yf(x)是a，b上的“平均值函数”，x0是它的一个均值点.例如y|x|是2，2上的“平均值函数”，0就是它的均值点.若函数f(x)x2mx1是1
10、，1上的“平均值函数”，则实数m的取值范围是_.答案(0，2)解析因为函数f(x)x2mx1是1，1上的“平均值函数”，所以关于x的方程x2mx1在区间(1，1)内有实数根，即x2mx1m在区间(1，1)内有实数根，即x2mxm10，解得xm1或x1.又1不属于(1，1)，所以xm1必为均值点，即1m11，即0m2，所以实数m的取值范围是(0，2).题型二综合型函数创新题例2以A表示值域为R的函数组成的集合，B表示具有如下性质的函数(x)组成的集合：对于函数(x)，存在一个正数M，使得函数(x)的值域包含于区间M，M.例如，当1(x)x3，2(x)sin x时，1(x)A，2(x)B.现有如下
11、命题：设函数f(x)的定义域为D，则“f(x)A”的充要条件是“bR，aD，f(a)b”；函数f(x)B的充要条件是f(x)有最大值和最小值；若函数f(x)，g(x)的定义域相同，且f(x)A，g(x)B，则f(x)g(x)B；若函数f(x)aln(x2)(x2，aR)有最大值，则f(x)B.其中的真命题是_.(写出所有真命题的序号)答案解析因为f(x)A，所以函数f(x)的值域是R，所以满足bR，aD，f(a)b，同时若bR，aD，f(a)b，则说明函数f(x)的值域是R，则f(x)A，所以正确；令f(x)，x(1，2，取M1，则f(x)1，1，但是f(x)没有最大值，所以错误；因为f(x)
12、A，g(x)B且它们的定义域相同(设为m，n)，所以存在区间a，bm，n，使得f(x)在区间a，b上的值域与g(x)的值域相同，所以存在x0a，b，使得f(x0)的值接近无穷，所以f(x)g(x)B，所以正确；因为当x2时，函数yln(x2)的值域是R，所以函数f(x)若有最大值，则a0，此时f(x).因为对xR，x212|x|，所以.即f(x)，故f(x)B，所以正确.点评此类题目包含了与函数有关的较多的概念、性质及对基本问题的处理方法.解答这类题目，一是要细心，读题看清要求；二是要熟练掌握函数的基本性质及其判断应用的方法，掌握基本函数的图象与性质等.变式训练2如果yf(x)的定义域为R，对
13、于定义域内的任意x，存在实数a使得f(xa)f(x)成立，则称此函数具有“P(a)性质”.给出下列命题：函数ysin x具有“P(a)性质”；若奇函数yf(x)具有“P(2)性质”，且f(1)1，则f(2 015)1；若函数yf(x)具有“P(4)性质”，图象关于点(1，0)成中心对称，且在(1，0)上单调递减，则yf(x)在(2，1)上单调递减，在(1，2)上单调递增；若不恒为零的函数yf(x)同时具有“P(0)性质”和“P(3)性质”，则函数yf(x)是周期函数.其中正确的是_(写出所有正确命题的编号).答案解析因为sin (x)sin xsin (x)，所以函数ysin x具有“P(a)性质”，所以正确；因为奇函数yf(x)具有“P(2)性质”，所以f(x2)f(x)f(x)，所以f(x4)f(x)，周期为4，因为f(1)1，所以f(2 015)f(3)f(1)1.所以不正确；因为函数yf(x)具有“P(4)性质”，所以f(x4)f(x)，所以f(x)的图象关于直线x2对称，即f(2x)f(2x)，因为图象关于点(1，0)成中心对称，所以f(2x)f(x)，即f(2x)f(x)，所以得出f(x)f(x)，f(x)为偶函数，因为图象关于点(1，0)成中心对称，且在(1，0)
