第4章 概率基础.ppt

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1、第4章 概率基础,宁波大学商学院,数学定律不能百分之百确切地用在现实生活里；能百分之百确切地用数学定律描述的，就不是现实生活 Alber Einstein,统计名言,本章主要内容推断统计学的理论基础,1 概率的基本概念 2 随机变量及其概率分布 3 随机变量的数值特征和独立性 4 大数定律与中心极限定理,中奖的可能性有多大？,很多想在彩票市场上赚大钱，这可以理解，但赢得大奖的人总是少数。山东的一打工者为了碰运气，半个小时花去了1000元钱，买了500张即开型福利彩票，结果也没撞上大奖。有人曾做过统计，最赚钱的彩票，中彩的概率最高是500万分之一，有的达到1000万分之一甚至更低。 假定每张彩票

2、面值是2元，大奖的奖金额是500万元，中将概率是500万分之一，你花掉1000万元购买500万张彩票，即使中了500万的大奖，你仍然亏损500万。况且，从概率的意义上看，即使你购买500万张彩票，也不能肯定就中大奖。 法国人就有这样的俗语：“中彩的机会比空难还少。”对于多数人来说，彩票只是一种数字游戏，是社会筹集闲散资金的一种方式，而不是一种投资，更不是赌博。相信有了本章介绍的概率方面的知识，你就不会再跟彩票较劲。,1 概率的基本概念 随机事件与事件域 事件发生的频率 事件发生的概率 条件概率与事件的独立性,随机试验(Random experiment),为研究随机现象规律性，往往进行试验。例

3、如： 1. 抛一枚硬币，观察正面、反面出现的情况。 2. 将一枚硬币抛三次，观察出现正面的次数。 3. 抛一枚骰子，观察出现的点数。 4. 记录车站售票处一天内售出的车票数。 5. 在一批灯泡中任意抽取一只，测试它的寿命。 6. 记录某地一昼夜的最高温度和最低温度。,这些试验都具有以下的特点： 可重复性：可在相同条件下重复进行 可预知性：试验可能结果不止一个,但能确定 所有的可能结果结果不止一个，并且能事先明确试验的所有可能结果； 随机性：一次试验之前无法确定具体是哪种 结果出现。 在概率论中，我们将具有上述三个特点的试验称为随机试验(Random experiment)，表示为E,事件（Ev

4、ent),必然事件 ：某件事情在一次试验中一定发生 如：“在一副扑克牌中任摸14张，其中有两张花色是不同” 就是必然事件。 不可能事件 ：某件事情在一次试验中一定不发生 如：“在一副扑克牌中任摸14张，其中没有两张花色是不同的”就是不可能事件。 随机事件（A,B,C,) ：某件事情在一次试验中既可能发生，也可能不发生 如：“掷一枚硬币，出现正面朝上” “扔一枚骰子，出现6点”,“掷得1点” “掷得2点” “掷得3点” “掷得4点” “掷得5点” “掷得6点”,“掷得奇数” “掷得偶数”,基本事件（ ）：试验的每一个结果都是一个事件，这些事件不可能再分解成更简单的事件 一般的事件由基本事件复合而

5、成。 例如：考察掷一个骰子一次的试验，可能发生的结果有6种,基本事件,复合事件,例：对于试验E： 将一枚硬币连抛三次，考虑正反面出现的情况，若记“正面”为H， “反面”为T， 则基本事件有：HHH, HHT, HTH, THH，HTT，THT，TTH ， TTT 随机事件： A“至少出一个正面” HHH, HHT, HTH, THH，HTT，THT，TTH； B=“两次出现同一面”=HHH,TTT C=“恰好出现一次正面”=HTT，THT，TTH,样本空间,样本点：随机试验E的每一个可能结果 样本空间：样本点的全体，即随机试验E的所有可能结果组成的集合，记为 。 例：掷一枚硬币，考察出现向上的

6、面，试验的可能结果有：“正面向上”，“反面向上”两个，则样本空间为：,事件可以看作是样本空间的子集,事件间的关系与运算,（1）事件的包含与相等 若“A发生必导致B发生” 记为 若 ,则称事件A与B相等,记为A=B. （2）事件的和（并） “事件A与B至少有一个发生”,记作AB,（3）事件的积 事件A与B同时发生，记作 ABAB n个事件A1, A2, An同时发生，记作 A1A2An,（4）事件的差 事件A发生而B不发生,记为AB,（5）互斥事件 若事件A与B不能同时发生,即AB=,则 称事件A与B互斥,或互不相容,（6）逆事件 设A，B为两事件,若AB=且AB=,则称事件A与B互为逆事件或对

7、立事件. 记作 ，称为B是A的对立事件,事件的运算律,在进行事件的运算时，经常要用到下述定律，设A，B，C为事件，则有,（1）交换律：AB=BA，AB=BA （2）结合律：A(BC)=(AB)C=ABC A(BC)=(AB)C=ABC （3）分配律：A(BC)(AB)(AC) A(BC)(AB)(AC)= ABAC （4）摩根律：A B=AB、A B=A B,事件的频率(Frequency),定义：设E为任一随机试验，A为其中 任一事件，在相同条件下，把E独立的重复做n次，nA表示事件A在这n次试验中出现的次数(即频数)。 比值 称为事件A在这n次试验中出现的频率(Frequency).,频率

8、的性质,非负性：0 fn(A) 1； 规范性：fn()1， fn( )=0； 可加性：若AB，则 fn(AB) fn(A) fn(B). 稳定性：当试验次数n增大时，频率fn(A) 逐渐趋向一个稳定值。可将此稳定值记作P(A)， 作为事件A的概率.,实践证明：频率稳定于概率,（1）历史上曾有人做过试验，试图证明抛掷匀质硬币时，出现正反面的机会均等。,（2）男女性别比率稳定于0.51 一个孕妇生男生女偶然，但是就整个国家和大城市而言，从人口普查资料中看到，男性占全体人数的比例几乎年年不变，约为0.51。,概率(probability),设有随机试验，若当试验的次数充分大时，事件的发生频率稳定在某

9、数附近摆动，则称该数为事件的概率(Probability)，记为P(A)： 注：1 事件出现的概率是事件的一种属性。也就是说完全决定于事件本身的结果，是先于试验客观存在的。 2 概率的统计定义只是描述性的。 3 通常只能在充分大时，以事件出现的频率作为事件概率的近似值（monto calo方法的基本思想）,概率的性质,概率P(A)的取值范围,1) 必然事件B一定发生, 则 P(B)=1 2) 不可能事件C一定不发生, 则P(C)=0 3) 随机事件A发生的概率为 0P(A) 1 4) 若A B, 则 P(A) P(B),概率的运算: 1.互补事件的概率,如果今天下雨的概率是10，则今天不下雨的

10、概率就是90。 如果你中奖的概率是0.0001，那么不中奖的概率就是10.0001=0.9999。 这种如果一个不出现，则另一个肯定出现的两个事件称为互补事件（complementary events，或者互余事件或对立事件）。,概率的运算: 1.互补事件的概率,按照集合的记号，如果一个事件记为A，那么另一个记为A（称为A的余集或补集）。 显然互补事件的概率之和为1，即P(A)+P(A)=1，或者P(A)1P(A)。 在西方赌博时常常爱用优势或赔率（odds）来形容输赢的可能。 它是互补事件概率之比，即P(A)/P(A)P(A)/1-P(A)来表示。,概率的运算: 2.概率的加法,如果两个事件

11、不可能同时发生，那么至少其中之一发生的概率为这两个概率的和。 比如“掷一次骰子得到1或者2点”的概率是“得到1点”的概率与“得到2点”的概率之和，即1/6+1/6=1/3。,概率的加法公式 ( 互斥事件时同时发生的概率),当事件A与B互斥时, AB发生的概率为 P(AB)=P(A)+P(B),P(C)=p(AB)=p(A)+p(B)=1/6+1/6=1/3,概率的运算: 2.概率的加法,再假定掷骰子时，一个事件A为“得到偶数点”（有3种可能：2、4、6点），另一个事件B为“得到大于或等于3点”（有4种可能：3、4、5、6点）； 这样，事件A的概率显然等于3/6=1/2，即P(A)=1/2。而事

12、件B的概率为P(B)=4/6=2/3。 但是，“得到大于或等于3点或者偶数点”的事件的概率就不是P(A)+P(B)=1/2+2/3=7/6了；,概率的运算: 2.概率的加法,这显然多出来了。概率怎么能够大于1呢？ 按照中学时关于集合的记号，该事件称为A和B的并，记为AB。刚才多出来的部分就是A和B的共同部分AB（称为A和B的交）的概率（这个概率算了两遍）； 它为“得到既是偶数，又大于等于3”的部分，即4和6两点。出现事件4或者6的概率为1/6+1/6=1/3。,概率的运算: 2.概率的加法,于是应该把算重了的概率减去。这样“得到大于或等于3点或者偶数点”的事件AB的概率就是P(AB)P(A)+

13、P(B)-P(AB)= 1/2+2/3-1/35/6。 这种P(AB)P(A)+P(B)-P(AB)的公式也适用于两个不可能同时发生的事件；但因为那时P(AB)=0，所以只剩下P(AB)P(A)+P(B)了。 这种交等于空集（AB=F，这里F表示空集或空事件）的事件为两个不可能同时发生的事件，称为互不相容事件（mutually exclusive events）。,概率的运算: 3.概率的乘法,如果你有一个固定电话和一个手机，假定固定电话出毛病的概率为0.01，而手机出问题的概率为0.05，那么，两个电话同时出毛病的概率是多少呢？ 0.010.05=0.0005 但是这种乘法法则，即P(AB)

14、P(A)P(B)，仅仅在两个事件独立(independent)时才成立。,概率的运算: 3.概率的乘法,如果事件不独立则需要引进条件概率(conditional probability)。 比如三个人抽签，而只有一个人能够抽中，因此每个人抽中的机会是1/3。 假定用A1、A2和A3分别代表这三个人抽中的事件，那么，P(A1)=P(A2)=P(A3)=1/3。,概率的运算: 3.概率的乘法,但是由于一个人抽中，其他人就不可能抽中， 所以，这三个事件不独立。刚才的乘法规则不成立； 这时，P(A1A3)P(A1A2)P(A2A3)0；如错误照搬乘法规则会得到错误的(1/3)2=1/9。,概率的运算:

15、 3.概率的乘法,但是可以计算条件概率，比如第一个人抽到（事件A1），则在这个条件下其他两个人抽到的概率都为0；记为P(A2|A1)=P(A3|A1)=0。 如第一个人没有抽到（事件A1），那么其他两人抽到的概率均为1/2，记为P(A2|A1)=P(A3|A1)=1/2。,概率的运算: 3.概率的乘法,一般地，在一个事件B已经发生的情况下，事件A发生的条件概率定义为（贝叶斯公式）,概率计算的实例（1）,如果从不包括大小王的52张扑克牌中随机抽取一张,那么取到红心(事件A)的概率是1/4, 取到方片(事件B)的概率为1/4. 问: (1) 取到红色牌(事件C)的概率是多少? (2) 取到黑色牌(

16、事件D)的概率是多少?,解: (1) 因为C=AB ，且A与B不会同时发生， 所以A与B是互斥事件。 根据概率的加法公式，得 P(C)=P(A)+P(B)=1/2 （2）同理C与D也是互斥事件，又C D为必然 事件，故C与D为对立事件。所以， P(D)=1- P(C)=1/2,概率计算的实例（2）,从字母a,b,c,d,e中任意取出两个不同字母， （1）试列出所有可能的情况？ （2）同时取到a, b的概率有多大？,解（1）所有可能的情况有： a,b, a,c, a,d, a,e, b,c, b,d, b,e, c,d, c, e d,e 共有10种 （2）所有情况是等可能的, 都是1/10， 故取到a,b的概率为1/10,概率计算的实例（3）,在110这10个自然数中任取一数，求 （1）取到的数能被2或3整除的概率， （2）取到的数即不能被2也不能被3整除的概率，