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1、学 海 无 涯高中数学概率大题（经典一）一解答题（共10小题）1在一次运动会上，某单位派出了有6名主力队员和5名替补队员组成的代表队参加比赛（1）如果随机抽派5名队员上场比赛，将主力队员参加比赛的人数记为X，求随机变量X的数学期望；（2）若主力队员中有2名队员在练习比赛中受轻伤，不宜同时上场；替补队员中有2名队员身材相对矮小，也不宜同时上场；那么为了场上参加比赛的5名队员中至少有3名主力队员，教练员有多少种组队方案？2某银行柜台设有一个服务窗口，假设顾客办理业务所需的时间互相独立，且都是整数分钟，对以往顾客办理业务所需的时间统计结果如表：办理业务所需的时间（分）12345频率0.10.40.3
2、0.10.1从第一个顾客开始办理业务时计时（1）估计第三个顾客恰好等待4分钟开始办理业务的概率；（2）X表示至第2分钟末已办理完业务的顾客人数，求X的分布列及数学期望3某单位举办2010年上海世博会知识宣传活动，进行现场抽奖盒中装有9张大小相同的精美卡片，卡片上分别印有“世博会会徽”或“海宝”（世博会吉祥物）图案；抽奖规则是：参加者从盒中抽取卡片两张，若抽到两张都是“海宝”卡即可获奖，否则，均为不获奖卡片用后放回盒子，下一位参加者继续重复进行（1）有三人参加抽奖，要使至少一人获奖的概率不低于，则“海宝”卡至少多少张？（2）现有甲乙丙丁四人依次抽奖，用表示获奖的人数，求的分布列及E的值4一袋中有
3、m（mN*）个红球，3个黑球和2个白球，现从中任取2个球（1）当m=4时，求取出的2个球颜色相同的概率；（2）当m=3时，设表示取出的2个球中黑球的个数，求的概率分布及数学期望；（3）如果取出的2个球颜色不相同的概率小于，求m的最小值5某商场为促销设计了一个抽奖模型，一定数额的消费可以获得一张抽奖券，每张抽奖券可以从一个装有大小相同的4个白球和2个红球的口袋中一次性摸出3个球，至少摸到一个红球则中奖（）求一次抽奖中奖的概率；（）若每次中奖可获得10元的奖金，一位顾客获得两张抽奖券，求两次抽奖所得的奖金额之和X（元）的概率分布和期望E（X）6将一枚硬币连续抛掷15次，每次抛掷互不影响记正面向上的
4、次数为奇数的概率为P1，正面向上的次数为偶数的概率为P2（）若该硬币均匀，试求P1与P2；（）若该硬币有暇疵，且每次正面向上的概率为，试比较P1与P2的大小7某地位于甲、乙两条河流的交汇处，根据统计资料预测，今年汛期甲河流发生洪水的概率为0.25，乙河流发生洪水的概率为0.18（假设两河流发生洪水与否互不影响）现有一台大型设备正在该地工作，为了保护设备，施工部门提出以下三种方案：方案1：运走设备，此时需花费4000元；方案2：建一保护围墙，需花费1000元，但围墙只能抵御一个河流发生的洪水，当两河流同时发生洪水时，设备仍将受损，损失约56000元；方案3：不采取措施，此时，当两河流都发生洪水时
5、损失达60000元，只有一条河流发生洪水时，损失为10000元（1）试求方案3中损失费（随机变量）的分布列；（2）试比较哪一种方案好82009年10月1日，为庆祝中华人们共和国成立60周年，来自北京大学和清华大学的共计6名大学生志愿服务者被随机平均分配到天安门广场运送矿泉水、清扫卫生、维持秩序这三个岗位服务，且运送矿泉水岗位至少有一名北京大学志愿者的概率是（1）求6名志愿者中来自北京大学、清华大学的各几人；（2）求清扫卫生岗位恰好北京大学、清华大学人各一人的概率；（3）设随机变量为在维持秩序岗位服务的北京大学志愿者的人数，求分布列及期望9在1，2，3，9这9个自然数中，任取3个不同的数（1）求
6、这3个数中至少有1个是偶数的概率；（2）求这3个数和为18的概率；（3）设为这3个数中两数相邻的组数（例如：若取出的数为1，2，3，则有两组相邻的数1，2和2，3，此时的值是2）求随机变量的分布列及其数学期望E10某单位组织4个部门的职工旅游，规定每个部门只能在韶山、衡山、张家界3个景区中任选一个，假设各部门选择每个景区是等可能的（）求3个景区都有部门选择的概率；（）求恰有2个景区有部门选择的概率参考答案与试题解析一解答题（共10小题）1（2016南通模拟）在一次运动会上，某单位派出了有6名主力队员和5名替补队员组成的代表队参加比赛（1）如果随机抽派5名队员上场比赛，将主力队员参加比赛的人数记
7、为X，求随机变量X的数学期望；（2）若主力队员中有2名队员在练习比赛中受轻伤，不宜同时上场；替补队员中有2名队员身材相对矮小，也不宜同时上场；那么为了场上参加比赛的5名队员中至少有3名主力队员，教练员有多少种组队方案？【解答】解：（1）由题意知随机变量X的取值是0、1、2、3、4、5，当X=0时，表示主力队员参加比赛的人数为0，以此类推，P（X=0）=；P（X=1）=；P（X=2）=；P（X=3）=；P（X=4）=；P（X=5）=随机变量X的概率分布如下表：E（X）=0+1+2+3+4+5=2.73（2）由题意知上场队员有3名主力，方案有：（C63C41）（C52C22）=144（种）上场队员
8、有4名主力，方案有：（C64C42）C51=45（种）上场队员有5名主力，方案有：（C65C43）C50=C44C21=2（种）教练员组队方案共有144+45+2=191种2（2012陕西）某银行柜台设有一个服务窗口，假设顾客办理业务所需的时间互相独立，且都是整数分钟，对以往顾客办理业务所需的时间统计结果如表：办理业务所需的时间（分）12345频率0.10.40.30.10.1从第一个顾客开始办理业务时计时（1）估计第三个顾客恰好等待4分钟开始办理业务的概率；（2）X表示至第2分钟末已办理完业务的顾客人数，求X的分布列及数学期望【解答】解：设Y表示顾客办理业务所需的时间，用频率估计概率，得Y的
9、分布如下：Y12345P0.10.40.30.10.1（1）A表示事件“第三个顾客恰好等待4分钟开始办理业务”，则时间A对应三种情形：第一个顾客办理业务所需时间为1分钟，且第二个顾客办理业务所需的时间为3分钟；第一个顾客办理业务所需的时间为3分钟，且第二个顾客办理业务所需的时间为1分钟；第一个和第二个顾客办理业务所需的时间均为2分钟所以 P（A）=0.10.3+0.30.1+0.40.4=0.22（2）X所有可能的取值为：0，1，2X=0对应第一个顾客办理业务所需的时间超过2分钟，所以P（X=0）=P（Y2）=0.5；X=1对应第一个顾客办理业务所需的时间为1分钟且第二个顾客办理业务所需时间超
10、过1分钟，或第一个顾客办理业务所需的时间为2分钟，所以P（X=1）=0.10.9+0.4=0.49；X=2对应两个顾客办理业务所需的时间均为1分钟，所以P（X=2）=0.10.1=0.01；所以X的分布列为X012P0.50.490.01EX=00.5+10.49+20.01=0.513（2012海安县校级模拟）某单位举办2010年上海世博会知识宣传活动，进行现场抽奖盒中装有9张大小相同的精美卡片，卡片上分别印有“世博会会徽”或“海宝”（世博会吉祥物）图案；抽奖规则是：参加者从盒中抽取卡片两张，若抽到两张都是“海宝”卡即可获奖，否则，均为不获奖卡片用后放回盒子，下一位参加者继续重复进行（1）有
11、三人参加抽奖，要使至少一人获奖的概率不低于，则“海宝”卡至少多少张？（2）现有甲乙丙丁四人依次抽奖，用表示获奖的人数，求的分布列及E的值【解答】解：（1）记至少一人获奖事件为A，则都不获奖的事件，设“海宝”卡n张，则任一人获奖的概率，由题意：，n7至少7张“海宝”卡，（2）的分布列为；，4（2011江苏模拟）一袋中有m（mN*）个红球，3个黑球和2个白球，现从中任取2个球（1）当m=4时，求取出的2个球颜色相同的概率；（2）当m=3时，设表示取出的2个球中黑球的个数，求的概率分布及数学期望；（3）如果取出的2个球颜色不相同的概率小于，求m的最小值【解答】解：（1）由题意知本题是一个等可能事件的
12、概率，试验发生包含的事件是从9个球中任取2个，共有C92=36种结果，满足条件的事件是取出的2个球的颜色相同，包括三种情况，共有C42+C32+C22=10设“取出的2个球颜色相同”为事件A，P（A）=（2）由题意知黑球的个数可能是0，1，2P（=0）=P（=1）=，P（=2）=的分布列是E=0+1+2=（3）由题意知本题是一个等可能事件的概率，事件发生所包含的事件数Cx+52，满足条件的事件是Cx1C31+Cx1C21+C31C21，设“取出的2个球中颜色不相同”为事件B，则P（B）=，x26x+20，x3+或x3，x的最小值为65（2010鼓楼区校级模拟）某商场为促销设计了一个抽奖模型，一
13、定数额的消费可以获得一张抽奖券，每张抽奖券可以从一个装有大小相同的4个白球和2个红球的口袋中一次性摸出3个球，至少摸到一个红球则中奖（）求一次抽奖中奖的概率；（）若每次中奖可获得10元的奖金，一位顾客获得两张抽奖券，求两次抽奖所得的奖金额之和X（元）的概率分布和期望E（X）【解答】解：（1）由题意知本题是一个等可能事件的概率，试验发生的所有事件是从6个球中取三个，共有C63种结果，而满足条件的事件是摸到一个红球或摸到两个红球，共有C21C42+C22C41设“一次抽奖中奖”为事件A，即一次抽奖中奖的概率为；（2）X可取0，10，20，P（X=0）=（0.2）2=0.04，P（X=10）=C21
14、0.80.2=0.32，P（X=20）=（0.8）2=0.64，X的概率分布列为E（X）=00.04+100.32+200.64=166（2010盐城三模）将一枚硬币连续抛掷15次，每次抛掷互不影响记正面向上的次数为奇数的概率为P1，正面向上的次数为偶数的概率为P2（）若该硬币均匀，试求P1与P2；（）若该硬币有暇疵，且每次正面向上的概率为，试比较P1与P2的大小【解答】解：（）抛硬币一次正面向上的概率为，正面向上的次数为奇数次的概率为P1=P15（1）+P15（3）+P15（15）=（）P1=C151p1（1p）14+C153p3（1p）12+C1515p15，P2=C150p0（1p）15+C152p2（1p）13+C1514p14（1p）1则P2P1=C150p0（1p）15C151p1（1p）14+C152p2（1p）13+C1514p14（1p）1C1515p15=（1p）p15=（12p）15，而，12p0，P2P17（2010南通模拟）某地位于甲、乙两条河流的交汇处，根据统计资料预测，今年汛期甲河流发生洪水的概率为0.25，乙河流发生洪水的概率为0.18（假设两河流
