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1、学 海 无 涯专题复习 分类讨论思想一、填空题:例1设集合Ax|x|4,Bx|x3|a,若,则实数a的取值范围是_例2已知实数a0,函数,若f(1a)f(1a),则a的值为_例3已知定义在闭区间0,3上的函数f(x)kx22kx的最大值为3,那么实数k的取值集合为_例4已知双曲线的渐近线方程为yx,则双曲线的离心率为 例5若函数f(x)a|xb|2在0,)上为增函数,则实数a、b的取值范围是_例6已知等比数列an的前n项和为Sn,若a3,S3,则a1的值为_例7若直线y2a与函数y|ax1|(a0且a1)的图象有两个公共点,则a的取值范围是_例8已知圆x2y24,则经过点P(2,4),且与圆相
2、切的直线方程为_ 例9若函数在其定义域内有极值点,则a的取值为 例10如图所示,有两个相同的直三棱柱,高为,底面三角形的三边长分别为3a、4a、5a(a0)用它们拼成一个三棱柱或四棱柱,在所有可能的情形中,全面积最小的是一个四棱柱,则a的取值范围是_例10例11若函数f(x)abcosxcsinx的图象经过点(0,1)和(,1)两点,且x0,时,|f(x)|2恒成立,则实数a的取值范围是_例12函数f(x)mx2(m3)x1的图象与x轴的交点至少有一个在原点的右侧,则实数m的取值范围是_例13设0b1a,若关于x的不等式(xb)2(ax)2的解集中的整数恰好有3个,则实数a的取值范围是_例14
3、数列的通项,其前n项和为Sn,则Sn_二、解答题:例15设Ax|2xa,By|y2x3,且xA,Cz|zx2,且xA,若CB,求实数a的取值范围例16已知函数,aR(1)当a0时,求证函数在(,)上是增函数;(2)当a3时,求函数在区间0,b(b0)上的最大值例17已知数列an满足a15,a25,若数列an+1an是等比数列(1)求数列an的通项公式;(2)求证:当k为奇数时,;(3)求证:例18已知,且.(1)当时,求在处的切线方程;(2)当时,设所对应的自变量取值区间的长度为(闭区间的长度定义为),试求的最大值;(3)是否存在这样的,使得当时,?若存在,求出的取值范围;若不存在,请说明理由
4、参考答案例1解析:当a0时,B,符合题意;当a0时,B,Bx|3ax3a,由得,解得0a1,综上所述a1 例2解析:a0时,1a1,1a1,则可得2(1a)a(1a)2a,解得a,与a0矛盾,舍去;a0时,1a1,1a1,则(1a)2a2(1a)a,解得a;所以a例3解析:f(x)kx22kxk(x1)2k,当k0时,二次函数开口向上,当x3时,f(x)有最大值,f(3)3k3,解得k1;当k0时,二次函数开口向下,当x1时,f(x)有最大值,f(1)k3,解得k3当k0时,显然不成立综上所述1,3例4解析:当双曲线焦点,在x轴上,e21,e2,e;当双曲线焦点在y轴上,e21,e2,e例5解
5、析:当a0时,需xb恒为非负数,即a0,b0,当a0时,需xb恒为非正数又x0,),不成立综上所述,由得a0且b0例6解析当q1时,S33a13a33,符合题意,所以a1;当q1时,S3a1(1qq2),又a3a1q2得a1,代入上式,得(1qq2),即20,解得2或1(舍去)因为q,所以a16,综上可得a1或6.例7解析 分0a1与a1两种情况讨论,画出图象,由图象知a应满足的条件是0a例8解析:当斜率存在时,设直线方程为y4k(x2),即kxy2k40,若直线与圆相切,则,解得k,所以切线方程是3x4y100;当斜率不存在时,易得切线方程是x2例9解析 即f(x)(a1)x2ax0有解,当
6、a10时,满足题意;当a10时,只需a2(a1)0,解得;综上所述,a的取值范围是或a1例10解析:先考查拼成三棱柱(如图(1)所示)全面积:S124a3a(3a4a5a)12a248;再考查拼成四棱柱(如图(2)所示)全面积: 例10 图若AC5a,AB4a,BC3a,则四棱柱的全面积S224a3a2(3a4a)24a228;若AC4a,AB3a,BC5a,则四棱柱的全面积S224a3a2(3a5a)24a232;若AC3a,AB5a,BC4a,则四棱柱的全面积S224a3a2(4a5a)24a236;又在所有可能的情形中,全面积最小的是一个四棱柱,从而知24a22812a24812a220
7、0a 综上所述,a的取值范围是例11解析:由f(0)ab1,f()ac1,得bc1a,f(x)a(1a)(sinxcosx)a(1a)sin(x),当a1时,1f(x)a(1a),|f(x)|2,只要a(1a)2解得a,a1;当a1时,a(1a)f(x)1,只要a(1a)2,解得a43, 1a43,综合,知实数a的取值范围为,43例12解析:当m0时,f(x)13x,其图象与x轴的交点为(,0),满足题意;当m0时,由题意得,解得0m1;当m0时,由题意得,解得m0;所以m的取值范围是m1例13解析:原不等式化为(1a)xb(1a)xb0,当a1时,易得不合题意;当a1时,x,由题意01,要使
8、不等式解集中恰好有3个整数,则32,整理得2a2b3a3,结合题意b1a,有2a21a,a3,从而有1a3例14解析:因为,所以是以3为周期的数列,因此,在数列求和时应分三类进行讨论:当,时,;当时,;当时, 综上所述,()例15解y2x3在2,a上是增函数,1y2a3,即By|1y2a3作出zx2的图象,该函数定义域右端点xa有三种不同的位置情况如下:当2a0时,a2z4,即Cz|a2z4,要使CB,由图1可知,则必须2a34,得a,这与2a0矛盾当0a2时,0z4,即Cz|0z4,要使CB,由图2可知,必须解得a2;当a2时,0za2,即Cz|0za2,要使CB,由图3可知,必须且只需解得
9、2a3;当a2时,A,此时BC,则CB成立综上所述,a的取值范围是(,2),3例16解:(1)a0,x2a0,f(x)x(x2a)x3ax,f (x)3x2a, f (x)0对xR成立,函数f(x)在(,)上是增函数 (2)解:当a3时,f(x)x|x23|(i)当x,或x时,f (x)3x233(x1)(x1)0(ii)当x时,f (x)33x23(x1)(x1)当1x1时,f(x)0;当x1,或1x时,f(x)0所以f(x)的单调递增区间是(,1,1,);f(x)的单调递减区间是,1,1, 由区间的定义可知,b0若0b1时,则0,b1,1,因此函数f(x)在0,b上是增函数,当xb时,f(
10、x)有最大值f(b) 3bb3 若1b时,f(x)3xx3在0,1上单调递增,在1,b上单调递减,因此,在x1时取到极大值f(1) 2,并且该极大值就是函数f(x)在区间0,b上的最大值当x1时,f(x)有最大值2若b时,当x0,时,f(x)3xx3在0,1上单调递增,在1,上单调递减,因此,在x1时取到极大值f(1)2,在x,b时,f(x)x33x在,b上单调递增,在xb时,f(x)有最大值f(b)b33b(i)当f(1)f(b),即2b33b,b3b2b20,b(b21)2(b1)0,(b1)2(b2)0,b2当b2时,在x1时,f(x)取到最大值f(1)2(ii)当f(1)f(b),解得
11、b2,当b2时,f(x)在xb时,取到最大值f(b)b33b综上所述,函数yf(x)在区间0,b上的最大值为ymax例17 解:(1)数列an+1an是等比数列,为常数,解得或当时,数列an+12an是首项为15,公比为3的等比数列,则,当时,数列an+13an是首项为10,公比为2的等比数列,则,得:;(2)当k为奇数时,,;(3)由(2)知k为奇数时,当n为偶数时,;当n为奇数时,;例18解:(1)当时,.因为当时,且,所以当时,且由于,所以,又,故所求切线方程为,即 (2)因为,所以,则 当时,因为,,所以由,解得,从而当时, 当时,因为,所以由,解得,从而当时,,当时,因为,从而 一定不成立,综上得,当且仅当时,故,从而当时,取得最大值为(3)“当时,”等价于“对恒成立”,即“(*)对恒成立” , 当时,则当时,,则(*)可化为,即,而当时,所以,从而适合题意 当时,.当时,(*)可化为,即,而,所以,此时要求;当时,(*)可化为,所以,此时只要求;当时,(*)可化为,即,而,所以,此时要求;由,得符合题意要求.综合知,满足题意的存在,且的取值范围是88