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1、学 海 无 涯专题复习 分类讨论思想一、填空题：例1设集合Ax|x|4，Bx|x3|a，若，则实数a的取值范围是_例2已知实数a0，函数，若f(1a)f(1a)，则a的值为_例3已知定义在闭区间0,3上的函数f(x)kx22kx的最大值为3，那么实数k的取值集合为_例4已知双曲线的渐近线方程为yx，则双曲线的离心率为 例5若函数f(x)a|xb|2在0，)上为增函数，则实数a、b的取值范围是_例6已知等比数列an的前n项和为Sn，若a3，S3，则a1的值为_例7若直线y2a与函数y|ax1|(a0且a1)的图象有两个公共点，则a的取值范围是_例8已知圆x2y24，则经过点P(2,4)，且与圆相
2、切的直线方程为_ 例9若函数在其定义域内有极值点，则a的取值为 例10如图所示，有两个相同的直三棱柱，高为，底面三角形的三边长分别为3a、4a、5a(a0)用它们拼成一个三棱柱或四棱柱，在所有可能的情形中，全面积最小的是一个四棱柱，则a的取值范围是_例10例11若函数f(x)abcosxcsinx的图象经过点(0,1)和(,1)两点，且x0,时，|f(x)|2恒成立，则实数a的取值范围是_例12函数f(x)mx2(m3)x1的图象与x轴的交点至少有一个在原点的右侧，则实数m的取值范围是_例13设0b1a，若关于x的不等式(xb)2(ax)2的解集中的整数恰好有3个，则实数a的取值范围是_例14
3、数列的通项，其前n项和为Sn，则Sn_二、解答题：例15设Ax|2xa，By|y2x3，且xA，Cz|zx2，且xA，若CB，求实数a的取值范围例16已知函数，aR（1）当a0时，求证函数在(,)上是增函数；（2）当a3时，求函数在区间0,b(b0)上的最大值例17已知数列an满足a15，a25，若数列an+1an是等比数列（1）求数列an的通项公式；（2）求证：当k为奇数时，；（3）求证：例18已知,且.（1）当时,求在处的切线方程；（2）当时,设所对应的自变量取值区间的长度为(闭区间的长度定义为)，试求的最大值；（3）是否存在这样的，使得当时,?若存在,求出的取值范围；若不存在，请说明理由
4、参考答案例1解析：当a0时，B，符合题意；当a0时，B，Bx|3ax3a，由得，解得0a1，综上所述a1 例2解析：a0时，1a1，1a1，则可得2(1a)a(1a)2a，解得a，与a0矛盾，舍去；a0时，1a1，1a1，则(1a)2a2(1a)a，解得a；所以a例3解析：f(x)kx22kxk(x1)2k，当k0时，二次函数开口向上，当x3时，f(x)有最大值，f(3)3k3，解得k1；当k0时，二次函数开口向下，当x1时，f(x)有最大值，f(1)k3，解得k3当k0时，显然不成立综上所述1，3例4解析：当双曲线焦点，在x轴上，e21，e2，e；当双曲线焦点在y轴上，e21，e2，e例5解
5、析：当a0时，需xb恒为非负数，即a0，b0，当a0时，需xb恒为非正数又x0，)，不成立综上所述，由得a0且b0例6解析当q1时，S33a13a33，符合题意，所以a1；当q1时，S3a1(1qq2)，又a3a1q2得a1，代入上式，得(1qq2)，即20，解得2或1(舍去)因为q，所以a16，综上可得a1或6.例7解析 分0a1与a1两种情况讨论，画出图象，由图象知a应满足的条件是0a例8解析：当斜率存在时，设直线方程为y4k(x2)，即kxy2k40，若直线与圆相切，则，解得k，所以切线方程是3x4y100；当斜率不存在时，易得切线方程是x2例9解析 即f(x)(a1)x2ax0有解，当
6、a10时，满足题意；当a10时，只需a2(a1)0，解得；综上所述，a的取值范围是或a1例10解析：先考查拼成三棱柱(如图(1)所示)全面积：S124a3a(3a4a5a)12a248；再考查拼成四棱柱(如图(2)所示)全面积： 例10 图若AC5a，AB4a，BC3a，则四棱柱的全面积S224a3a2(3a4a)24a228；若AC4a，AB3a，BC5a，则四棱柱的全面积S224a3a2(3a5a)24a232；若AC3a，AB5a，BC4a，则四棱柱的全面积S224a3a2(4a5a)24a236；又在所有可能的情形中，全面积最小的是一个四棱柱，从而知24a22812a24812a220
7、0a 综上所述，a的取值范围是例11解析：由f(0)ab1，f()ac1，得bc1a，f(x)a(1a)(sinxcosx)a(1a)sin(x)，当a1时，1f(x)a(1a)，|f(x)|2，只要a(1a)2解得a，a1；当a1时，a(1a)f(x)1，只要a(1a)2，解得a43, 1a43，综合,知实数a的取值范围为，43例12解析：当m0时，f(x)13x，其图象与x轴的交点为(,0)，满足题意；当m0时，由题意得，解得0m1；当m0时，由题意得，解得m0；所以m的取值范围是m1例13解析：原不等式化为(1a)xb(1a)xb0，当a1时，易得不合题意；当a1时，x，由题意01，要使
8、不等式解集中恰好有3个整数，则32，整理得2a2b3a3，结合题意b1a，有2a21a，a3，从而有1a3例14解析：因为，所以是以3为周期的数列，因此，在数列求和时应分三类进行讨论：当，时，；当时，；当时， 综上所述，()例15解y2x3在2，a上是增函数，1y2a3，即By|1y2a3作出zx2的图象，该函数定义域右端点xa有三种不同的位置情况如下：当2a0时，a2z4，即Cz|a2z4，要使CB，由图1可知，则必须2a34，得a，这与2a0矛盾当0a2时，0z4，即Cz|0z4，要使CB，由图2可知，必须解得a2；当a2时，0za2，即Cz|0za2，要使CB，由图3可知，必须且只需解得
9、2a3；当a2时，A，此时BC，则CB成立综上所述，a的取值范围是(，2)，3例16解：（1）a0，x2a0，f(x)x(x2a)x3ax，f (x)3x2a， f (x)0对xR成立，函数f(x)在(，)上是增函数 （2）解：当a3时，f(x)x|x23|（i）当x，或x时，f (x)3x233(x1)(x1)0（ii）当x时，f (x)33x23(x1)(x1)当1x1时，f(x)0；当x1，或1x时，f(x)0所以f(x)的单调递增区间是(，1，1，)；f(x)的单调递减区间是，1，1， 由区间的定义可知，b0若0b1时，则0，b1，1，因此函数f(x)在0，b上是增函数，当xb时，f(
10、x)有最大值f(b) 3bb3 若1b时，f(x)3xx3在0，1上单调递增，在1，b上单调递减，因此，在x1时取到极大值f(1) 2，并且该极大值就是函数f(x)在区间0，b上的最大值当x1时，f(x)有最大值2若b时，当x0，时，f(x)3xx3在0，1上单调递增，在1，上单调递减，因此，在x1时取到极大值f(1)2，在x，b时，f(x)x33x在，b上单调递增，在xb时，f(x)有最大值f(b)b33b（i）当f(1)f(b)，即2b33b，b3b2b20，b(b21)2(b1)0，(b1)2(b2)0，b2当b2时，在x1时，f(x)取到最大值f(1)2（ii）当f(1)f(b)，解得
11、b2，当b2时，f(x)在xb时，取到最大值f(b)b33b综上所述，函数yf(x)在区间0，b上的最大值为ymax例17 解：（1）数列an+1an是等比数列，为常数，解得或当时，数列an+12an是首项为15，公比为3的等比数列，则，当时，数列an+13an是首项为10，公比为2的等比数列，则，得：；（2）当k为奇数时，,；（3）由（2）知k为奇数时，当n为偶数时，；当n为奇数时，；例18解:（1）当时,.因为当时,且,所以当时,且由于,所以,又,故所求切线方程为,即 （2）因为，所以，则 当时,因为,，所以由，解得，从而当时, 当时,因为，所以由，解得，从而当时,，当时，因为,从而 一定不成立，综上得,当且仅当时，故，从而当时,取得最大值为（3）“当时,”等价于“对恒成立”,即“(*)对恒成立” ， 当时，则当时,，则(*)可化为，即，而当时，所以，从而适合题意 当时,.当时，(*)可化为，即,而，所以，此时要求；当时，(*)可化为,所以，此时只要求；当时，(*)可化为,即，而，所以，此时要求；由，得符合题意要求.综合知,满足题意的存在,且的取值范围是88
