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1、学 海 无 涯专题08 动点类题目旋转问题探究题型一:旋转问题中三点共线问题例1(2019绍兴)如图1是实验室中的一种摆动装置,BC在地面上,支架ABC是底边为BC的等腰直角三角形,摆动臂AD可绕点A旋转,摆动臂DM可绕点D旋转,AD=30,DM=10. (1)在旋转过程中,当A、D、M三点在同一直线上时,求AM的长.当A、D、M三点为同一直角三角形的顶点时,求AM的长.(2)若摆动臂AD顺时针旋转90,点D的位置由ABC外的点D1转到其内的点D2处,连接D1D2,如图2,此时AD2C=135,CD2=60,求BD2的长.题型二:旋转与全等及直角三角形存在性问题例2(2019金华) 如图,在等
2、腰RtABC中,ACB=90,AB=.点D,E分别在边AB,BC上,将线段ED绕点E按逆时针方向旋转90得到EF.(1)如图1,若AD=BD,点E与点C重合,AF与DC相交于点O,求证:BD=2DO.(2)已知点G为AF的中点.如图2,若AD=BD,CE=2,求DG的长.若AD=6BD,是否存在点E,使得DEG是直角三角形?若存在,求CE的长;若不存在,试说明理由. 图1 图2 图3题型三:旋转问题中线段比值是否变化问题例3(2019德州)(1)如图1,菱形AEGH的顶点E、H在菱形ABCD的边上,且BAD=60,请直接写出HD:GC:EB的值;(2)将图1中的菱形AEGH绕点A旋转一定角度,
3、如图2,求HD:GC:EB;(3)把图2的菱形都换成矩形,如图3,且AD:AB=AH:AE=1:2,此时HD:GC:EB的结果与(2)小题的结果相比有变化吗?如果有变化,直接写出变化后的结果;若无变化,说明理由. 图1 图2 图3题型四:旋转问题中落点规律性问题例4(2019台州)如图,正方形ABCD的边长为2,E为AB的中点,P是BA延长线上的一点,连接PC交AD于点F,AP=FD.(1)求的值;(2)如图1,连接EC,在线段EC上取一点M,使EM=EB,连接MF,求证:MF=PF;(3)如图2,过点E作ENCD于点N,在线段EN上取一点Q,使AQ=AP,连接BQ、BN,将AQB绕点A旋转,
4、使点Q旋转后的对应点Q落在边AD上. 请判断旋转后B的对应点B是否落在线段BN上,请说明理由. 题型五:旋转问题中函数及落点问题例5(2019连云港)如图,在平面直角坐标系xOy中,函数yx+b的图象与函数y(x0)的图象相交于点A(1,6),并与x轴交于点C点D是线段AC上一点,ODC与OAC的面积比为2:3(1)k ,b ;(2)求点D的坐标;(3)若将ODC绕点O逆时针旋转,得到ODC,其中点D落在x轴负半轴上,判断点C是否落在函数y(x0)的图象上,并说明理由题型六:几何图形旋转中的类比探究例6(2019自贡)(1)如图1,E是正方形ABCD边AB上的一点,连接BD、DE,将BDE绕点
5、D逆时针旋转90,旋转后角的两边分别与射线BC交于点F和点G.线段DB和DG之间的数量关系是 ;写出线段BE,BF和DB之间的数量关系.(2)当四边形ABCD为菱形,ADC=60,点E是菱形ABCD边AB所在直线上的一点,连接BD、DE,将BDE绕点D逆时针旋转120,旋转后角的两边分别与射线BC交于点F和点G.如图2,点E在线段AB上时,请探究线段BE、BF和BD之间的数量关系,写出结论并给出证明;如图3,点E在线段AB的延长线上时,DE交射线BC于点M,若BE=1,AB=2,直接写出线段GM的长度.图1 图2 图3题型六:几何图形旋转中的计算题目例7(2019潍坊)如图1,菱形ABCD的顶
6、点A、D在直线上,BAD=60,以点A为旋转中心将菱形ABCD顺时针旋转(030),得到菱形ABCD. BC交对角线AC于点M,CD交直线l于点N,连接MN.(1)当MNBD时,求的大小.(2)如图2,对角线BD交AC于点H,交直线l于点G,延长CB交AB于点E,连接EH. 当HEB的周长为2时,求菱形ABCD的周长. 答案与解析题型一:旋转问题中三点共线问题例1(2019绍兴)如图1是实验室中的一种摆动装置,BC在地面上,支架ABC是底边为BC的等腰直角三角形,摆动臂AD可绕点A旋转,摆动臂DM可绕点D旋转,AD=30,DM=10. (1)在旋转过程中,当A、D、M三点在同一直线上时,求AM
7、的长.当A、D、M三点为同一直角三角形的顶点时,求AM的长.(2)若摆动臂AD顺时针旋转90,点D的位置由ABC外的点D1转到其内的点D2处,连接D1D2,如图2,此时AD2C=135,CD2=60,求BD2的长.【分析】(1)根据点D及M的运动轨迹为圆,根据位置关系判断出点A、D、M三点在同一直线上时有两种情况,点D在A与M之间或点M在A与D之间;由题意知D、M均可能为直角顶点,分类讨论求解;(2)由题意知AD1D2是等腰直角三角形,连接CD1,ABD2ACD1,由D1D2C=90,利用勾股定理求得CD1的值,即为BD2的值.【答案】见解析.【解析】解:(1)点D在A与M之间时,AM=AD+
8、DM=30+10=40. 点M在A与D之间时,AM=ADDM=3010=20.当ADM=90时, 由勾股定理得AM=;当AMD=90时, 由勾股定理得AM=;(2)摆动臂AD顺时针旋转90,点D的位置由ABC外的点D1转到其内的点D2处,AD1=AD2,D1AD2=90,AD1D2=AD2D1=45,D1D2=AD2C=135,D1D2C=90,连接D1C,如下图所示, BAD2+D2AC=CAD1+D2AC=90,BAD2=CAD1AB=AC,AD2=AD1,ABD2ACD1BD2= CD1在RtD1D2C中,由勾股定理得:D1C=.题型二:旋转与全等及直角三角形存在性问题例2(2019金华
9、)如图,在等腰RtABC中,ACB=90,AB=.点D,E分别在边AB,BC上,将线段ED绕点E按逆时针方向旋转90得到EF.(1)如图1,若AD=BD,点E与点C重合,AF与DC相交于点O,求证:BD=2DO.(2)已知点G为AF的中点.如图2,若AD=BD,CE=2,求DG的长.若AD=6BD,是否存在点E,使得DEG是直角三角形?若存在,求CE的长;若不存在,试说明理由. 图1 图2 图3【分析】(1)如图1中,首先证明CDBDAD,再证明四边形ADFC是平行四边形即可解决问题(2)作DTBC于点T,FHBC于H证明DG是ABF的中位线,想办法求出BF即可解决问题分三种情形情形:如图31
10、中,当DEG90时,F,E,G,A共线,作DTBC于点T,FHBC于H设ECx构建方程解决问题即可如图32中,当EDG90时,取AB的中点O,连接OG作EHAB于H构建方程解决问题即可如图33中,当DGE90时,构造相似三角形,利用相似三角形的性质构建方程解决问题即可【解答】(1)证明:如图1中,CACB,ACB90,BDAD,CDAB,CDADBD,CDCF,ADCF,ADCDCF90,ADCF,四边形ADFC是平行四边形,ODOC,BD2OD(2)解:如图2中,作DTBC于点T,FHBC于H由题意:BDADCD7,BCBD14,DTBC,BTTC7,EC2,TE5,DTEEHFDEF90,
11、DET+TDE90,DET+FEH90,TDEFEH,EDEF,DTEEHF(AAS),FHET5,DBEDFE45,B,D,E,F四点共圆,DBF+DEF90,DBF90,DBE45,FBH45,BHF90,HBFHFB45,BHFH5,BF5,ADCABF90,DGBF,ADDB,AGGF,DGBF解:如图31中,当DEG90时,F,E,G,A共线,作DTBC于点T,FHBC于H设ECxAD6BD,BDAB2,DTBC,DBT45,DTBT2,DTEEHF,EHDT2,BHFH12x,FHAC,整理得:x212x+280,解得x62如图32中,当EDG90时,取AB的中点O,连接OG作EH
12、AB于H设ECx,由2可知BF(12x),OGBF(12x),EHDEDGDOG90,ODG+OGD90,ODG+EDH90,DGOHDE,EHDDOG,整理得:x236x+2680,解得x182或18+2(舍弃),如图33中,当DGE90时,取AB的中点O,连接OG,CG,作DTBC于T,FHBC于H,EKCG于K设ECxDBEDFE45,D,B,F,E四点共圆,DBF+DEF180,DEF90,DBF90,AOOB,AGGF,OGBF,AOGABF90,OGAB,OG垂直平分线段AB,CACB,O,G,C共线,由DTEEHF,可得EHDTBT2,ETFH12x,BF(12x),OGBF(12x),CKEKx,GK7(12x)x,由OGDKEG,可得,解得x2,综上所述,满足条件的EC的值为62或182或2【点评】本题属于几何变换综合题,考查了等腰直角三角形的性质,平行四边形的判定和性质,全等三角形的判定和性质,相似三角形的判定和性质等知识,解题的关键是学会添加常用辅助线,构造全等三角形或相似三角形解决问题,属于中考压轴题题型三:旋转问题中线段比值是否变化问题例3(2019德州)(1)如图1,菱形AEGH的顶点E、H在菱形ABCD的边上,且BAD=60,请直接写出HD:GC:EB的值;(2)将图1中的菱形AEGH绕点A旋转一定角度,如图2,求HD:GC:EB