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1、1第十三讲 反比例函数【基础知识回顾】一、 反比例函数的概念：一般地：互数 y （k 是常数，k0）叫做反比例函数【名师提醒：1、在反比例函数关系式中：k0、x0、y02、反比例函数的另一种表达式为 y= （k 是常数，k0）3、反比例函数解析式可写成 xy= k（k0）它表明反比例函数中自变量 x与其对应函数值 y 之积，总等于 】二、反比例函数的同象和性质：1、反比例函数 y=kx（k0）的同象是 它有两个分支，关于 对称2、反比例函数 y= （k0）当 k0 时它的同象位于 象限，在每一个象限内 y 随x 的增大而 当 k0 时，它的同象位于 象限，在每一个象限内， y 随 x 的增大而
2、 【名师提醒：1、在反比例函数 y=kx中，因为 x0，y0 所以双曲线与坐标轴无限接近，但永不与 x 轴 y 轴 2、在反比例函数 y 随 x 的变化情况中一定注明在每一个象限内】3、反比例函数中比例系数 k 的几何意义：反曲线 y=kx（ k0）上任意一点向两坐标轴作垂线 两线与坐标轴围成的形面积 ，即如图： AOBP= SAOP= 【名师提醒：k 的几何意义往常与前边提示中所谈到的 xy=k联系起来理解和应用】三、反比例函数解析式的确定因为反比例函数 y=kx（k0）中只有一个被定系数 所以求反比例函数关系式只需知道一组对应的 x、y 值或一个点的坐标即可，步骤同一次函数解析式的求法一、
3、 反比例函数的应用二、 解反比例函数的实际问题时，先确定函数解析式，再利用同象找出解决问题的方案，这里要特别注意自变量的 【重点考点例析】考点一：反比例函数的同象和性质例 1 （2012张家界）当 a0 时，函数 y=ax+1 与函数 ayx 在同一坐标系中的图象可2能是（）A BC D思路分析：分 a0 和 a0 两种情况讨论 ，分析出两函数图象所在象限，再在四个选项中找到正确图象解：当 a0 时，y=ax+1 过一、二、三象限，y= ayx过一、三象限；当 a0 时，y=ax+1 过一、二、四象限，y= 过二、四象限；故选 C点评：本题考查了一次函数与二次 函数的图象和性质，解题的关键是明
4、确在同一 a 值的前提下图象能共存例 2 （2012佳木斯）在平面直角坐标系中，反比例函数2ayx图象的两个分支分别在（）A第一、三象限 B第二、四象限 C第一、二象限 D第三、四象限 思路分析：把 a2-a+2 配方并根据非负数的性质判断出是恒大于 0 的代数式，再根据反比例函数的性质解答解：a 2-a+2，=a2-a+ 14- +2，=（a- ） 2+7 4 ，（a- ）20，（a- 12） 2+7 4 0，反比例函数图象的两个分支分别位于第一、三象限故选 A3点评：本题考查了反比例函数图象的性质，先判断出 a2-a+2 的正负情况是解题的关键，对于反比例函数 kyx（k0）：（1）k0，
5、反比例函数图象在一、三象限；（2）k0，反比例函数图象在第二、四象限内例 3 （2012台州）点（-1，y 1） ， （2，y 2） ， （3，y 3）均在函数 6yx的图象上，则y1，y 2，y 3的大小关系是（）Ay 3y 2y 1 By 2y 3y 1 Cy 1y 2y 3 Dy 1y 3y 2 思路分析：先根据反比例函数的解析式判断出此函数图象所在的象限，再根据各点的坐标判断出各点所在的象限，根据函数图象在各象限内点的坐标特点解答解：函数 6x中 k=60，此函数的图象在一、三象限，且在每一象限内 y 随 x 的增大而减小，-10，点（-1，y 1）在第三象限，y 10，023，（2，
6、y 2） ， （3，y 3）在第一象限，y 2y 30，y 2y 3y 1故选 D点评：本题考查的是反比例函数图象上点的坐标特 点，根据题意判断出函数图象所在象限是解答此题的关键对应训练1 （2012毕节地区）一次函数 y=x+m（m0）与反比例函数 myx的图象在同一平面直角坐标系中是（）A B C D1C2 （2012内江）函数 1yx的图象在（）A第一象限 B第一、三象限 C第二象限 D第二、四象限 42A2解： x中 x0， 1中 x0，故 x0，此时 y0，则函数在第一象限故选 A3 （2012佛山）若 A（x 1，y 1）和 B（x 2，y 2）在反比例函数 2yx的图象上，且0x
7、 1x 2，则 y1与 y2的大小关系是 y1 y23考点二：反比例函数解析式的确定例 4 （2012 哈尔滨）如果反比例函数 1kyx的图象经过点（-1，-2） ，则 k 的值是（）A2 B-2 C-3 D3 思路分析：根据反比例函数图象上点的坐标特征，将（-1，-2）代入已知反比例函数的解析式，列出关于系数 k 的方程，通过解方程即可求得 k 的值解答：解：根据题意，得-2= 1k，即 2=k-1，解得 k=3故选 D点评：此题考查的是用待定系数法求反比例函数的解析式，是中学阶段的重点解答此题时，借用了“反比例函数图象上点的坐标特征”这一知识点对应训练4 （2012广元）已知关于 x 的方
8、程（x+1） 2+（x-b） 2=2 有唯一的实数解，且反比例函数1byx的图象在每个象限内 y 随 x 的增大而增大，那么反比例函数的关系式为（）A 3 B 1 C D yx4D4分析：关于 x 的方程（x+1） 2+（x-b） 2=2 有唯一的实数解，则判别式等于 0，据此即可求得 b 的值，然后根据反比例函数 byx的图象在每个象限内 y 随 x 的增大而增大，则比例系数 1+b0，则 b 的值可以确定，从而确定函数的解析式解：关于 x 的方程（x+1） 2+（x-b） 2=2 化成一般形式是：2x 2+（2-2b）x+（b 2-1）=0，=（2-2b） 2-8（b 2-1）=-4（b+
9、3） （b-1）=0，解得：b=-3 或 1反比例函数 yx的图象在每个象限内 y 随 x 的增大而增大，1+b0b-1，5b=-3则反比例函数的解析式是：y= 13yx，即 2yx故选 D考点三：反比例函数 k 的几何意义例 5 （2012铁岭）如图，点 A 在双曲线 4yx上，点 B 在双曲线 yx（k0）上，ABx 轴，分别过点 A、B 向 x 轴作垂线，垂足分别为D、C，若矩形 ABCD 的面积是 8，则 k 的值为（）A12 B10 C8 D6 思路分析：先根据反比例函数的图象在第一象限判断出 k 的符号，再延长线段 BA，交 y 轴于点 E，由于 ABx 轴，所以 AEy 轴，故四
10、边形 AEOD 是矩形，由于点 A 在双曲线4yx上，所以 S 矩形 AEOD=4，同理可得 S 矩形 OCBE=k，由 S 矩形 ABCD=S 矩形 OCBE-S 矩形 AEOD即可得出 k 的值解：双曲线 kyx（k0）上在第一象限，k0，延长线段 BA，交 y 轴于点 E，ABx 轴，AEy 轴，四边形 AEOD 是矩形，点 A 在双曲线 4yx上，S 矩形 AEOD=4，同理 S 矩形 OCBE=k，S 矩形 ABCD=S 矩形 OCBE-S 矩形 AEOD=k-4=8，k=12故选 A点评：本题考查的是反比例函数系数 k 的几何意义，即反比例函数 kyx图象中任取一点，过这一个点向
11、x 轴和 y 轴分别作垂线，与坐标轴围成的矩形的面积是定值|k|6对应训练5 （ 2012株洲）如图，直线 x=t（t0）与反比例函数 21,yx的图象分别交于B、C 两点，A 为 y 轴上的任意一点，则ABC 的面积为（）A3 B 2t C D不能确定 5C5解：把 x=t 分别代入 1,yx，得 21,ytt，所以 B（t， 2） 、C（t， t） ，所以 BC= t-（ 1）= 3A 为 y 轴上的任意一点，点 A 到直线 BC 的距离为 t，ABC 的面积= 2故选 C考点四：反比例函数与一次函数的综合运用例 6 （2012 岳阳）如图，一次函数 y1=x+1 的图象与反比例函数 2y
12、x的图象交于 A、B两点，过点作 ACx 轴于点 C，过点 B 作 BDx 轴于点 D，连接 AO、BO，下列说法正确的是（）A点 A 和点 B 关于原点对称 B当 x1 时，y 1y 2 CS AOC =SBOD D当 x0 时，y 1、y 2都随 x 的增大而增大 思路分析：求出两函数式组成的方程组的解，即可得出 A、B 的坐标，即可判断 A；根据图象的特点即可判断 B；根据 A、B 的坐标和三角形的面积公式求出另三角形的面积，即可判断 C；根据图形的特点即可判断 D解：A、12yx，7把代入得：x+1= 2x，解得：x 1=-2，x 2=1，代入得：y 1=-1，y 2=2，B（-2，-
13、1） ，A（1，2） ，A、B 不关于原点对称，故本选项错误；B、当-2x0 或 x1 时，y 1y 2，故本选项错误；C、S AOC = 12=1，S BOD = |-2|-1|=1，S BOD =SAOC ，故本选项正确；D、当 x0 时，y 1随 x 的增大而增大，y 2随 x 的增大而减小，故本选项错误；故选 C点评：本题考查了一次函数与反比例函数的交点问题的应用，主要考查学生观察图象的能力，能把图象的特点和语言有机结合起来是解此题的关键，题目比较典型，是一道具有一定代表性的题目对应训练6 （2012达州）一次函数 y1=kx+b（k0）与反比例函数 y2= mx(m0)，在同一直角坐
14、标系中的图象如图所示，若 y1y 2，则 x 的取值范围是（）A-2x0 或 x1 Bx-2 或 0x1 Cx1 D-2x1 6A6解：由函数图象可知一次函数 y1=kx+b 与反比例函数 y2= mx (m0)的交点坐标为（1，4） ， （-2，-2） ，由函数图象可知，当-2x0 或 x1 时，y 1在 y2的上方，当 y1y 2时 x 的取值范围是-2x0 或 x1故选 A 8【聚焦山东中考】1 （2012青岛）点 A（x 1，y 1） ，B（x 2，y 2） ，C（x 3，y 3）都是反比例函数 3yx的图象上，若 x1x 20x 3，则 y1，y 2，y 3的大小关系是（）Ay 3y 1y 2 By 1y 2y 3 Cy 3y 2y 1 Dy 2y 1y 3 1A1解：反比例函数 y=-3 x 中，k=-30，此函数图象在二四象限，且在每一象限内 y 随 x 的增大而增大，x1x20x3，y30，y30y1y2，y3y1y2
