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1、,一、引言,即可能发生也可能不发生，这类现象在自然界和日常生活中十分普遍，比如，抛一枚硬币，可能出现有国徽的一面，也可能出现有数字的一面；掷一颗骰子，可能会出现1点，也可能不出现1点而出现其它点数；随便走到一个有交通灯的十字路口，可能会遇到红灯，也可能会遇到绿灯或黄灯. 但人们长期观测发现这类现象在大量重复实验和观察下却呈现出某种规律型即统计规律性 概率论和数理统计就是研究和揭示随机现象统计规律性的一门学科,1.1 随机事件,二、随机事件的概念 为进一步明确随机现象的含义我们随验谈起.什么是“随机试验”呢?在概率论中，一个试验（或观察)如果满足以下条件： （1）试验在相同条件下可重复进行； （
2、2）试验的所有可能基本结果事先明确且不止一个； （3）每次试验究竟出现哪个结果不能事先肯定， 则称其为一个随机试验，简称试验，常用字母E表示. 要研究随机现象，就要研究随机试验.在概率论中，把随机试验的每个可能的基本结果称为样本点(Sample Point)，用表示；把样本点的全体称为该试验的样本空间(Sample Space)，用 表示.,我们看到，在随机试验中每个样本点都可能出现，也可能不出现，至于究竟出现与否只有等试验有了结果才能知道. 一般地，把随机试验中那些可能出现、也可能不出现的结果称为“随机事件”(Random Event)，用大写字母A、B、C, 表示.特别地，每个样本点都是随
3、机事件，称之为基本事件.除基本事件外，在一个随机试验上还可定义很多其它随机事件 . 一般而言，任何随机事件都是随机试验的可能结果，而样本空间已包含了所有可能的基本结果（样本点），因此，随机事件总是可用一部分样本点或样本空间的子集来描述的.这样，我们有以下定义： 称随机试验的样本空间的子集为随机事件，以后简称事件. 当事件子集中任何一个样本点在试验中出现时，就称该事件发生，即，事件A发生的充要条件是试验结果出现的样本点 .,三、事件间的关系 首先声明，下面的讨论均在同一个样本空间中进行 1事件的包含与相等 如果事件A发生必然导致事件B发生，即A的每个样本点都是B的样本点，则称B包含A，记作 从事
4、件的集合表示看，事件B包含事件A就是样本空间的子集B包含子集A，如图1.1（a） 所示.显然，对任何事件A，总有 如果 ，同时 ，则称事件A和事件B相等，记为A=B，即，A与B含有相同的样本点,2事件的互斥,如果事件A和B不可能同时发生，即A与B没有公共样本点，则称A与B是互斥的（Mutually Exclusive）或互不相容的，换句话说，两个事件A与B互斥就是样本空间两个子集A与B不相交，如图1.1（b）所示. 如果一组事件中任意两个事件都互斥，则称该组事件两两互斥，或简称该组事件互斥.由定义可知，任意两个不同基本事件都是互斥的,3事件的互逆,如果事件A和B中必有一个发生但又不可能同时发生
5、，则称A与B是互逆（Mutually Inverse）或对立的，称B为A的逆事件（或对立事件），记作 两个事件A与B互逆就是样本空间两个子集A与B互补，A的逆事件 就是A的补集，如图1.1（c）所示.,可以看出，事件A与 一定互斥，但互斥的事件却不一定互逆.例如，在例1.3中，事件A与B是互逆的，即 ， ，而事件A与A2虽互斥，但不互逆.,四、事件间的运算,1和事件 对事件A和B，定义它们的和事件为 =“A发生或B发生”=“A和B中至少有一个发生”, 即，只要A与B中的一个发生了，就算和事件 发生了，如果A与B都没发生，当然和事件 也就不发生. 作为样本空间的子集，和事件 是由事件A和B中的所
6、有样本点组成的新事件，是样本空间子集A与B的并集, 如图1.2 (a),如图1.2 (a)所示.类似地，可定义 =“ 中至少有一个发生”. 注意，当A与B互斥时，通常将 记为 ； 事件组 互斥时，将它们的和事件 记为 . 利用集合的运算关系，容易验证和事件满足关系： ， ， ；当 时，还有 .,2积事件,定义事件与的积事件为 AB =“A和B同时发生”, 换句话说，积事件AB是由A与B的所有公共样本点组成的新事件，是样本空间子集A与B的交集，如图1.2 (b) 所示. 类似地，可定义 =“ 同时发生”. 同样可验证积事件满足关系： ， ；当 时，,3差事件,定义事件A与B的差事件为 “A-B=
7、A发生且B不发生”=“A与 同时发生”， 即，差事件 A-B 是由在A中但不在B中的所有样本点组成的新事件，是子集A与B的差集,如图1.2(c)所示. 由定义或借助于集合观点易知，差事件满足关系： （1） ， （2） ， （3） .,注意其中(AB)的和(A-B)都是一个整体记号，分别代表一个积事件和一个差事件，不能对它们做算术运算，比如，不能推出： .由于事件是样本空间的子集，我们在给出事件间关系和运算的概念时，也从集合的观点对它们进行了解释和说明，而且采用了与集合对应关系相一致的记号，便于读者用集合的观点解释、论证事件间的关系和运算，但是，以后还必须学会直接用本节的概率论语言来思考，这对后续的学习十分有益,最后，我们列出事件满足的基本运算规律： （1）交换律 ， （2）结合律 ， （3）分配律 ， （4）德莫根(De Morgan)公式 ， 注意，一般地， ， .,
