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1、第四节,一、立体体积,二、曲面的面积,三、物体的质心,四、物体的转动惯量,五、物体的引力,重积分的应用,第九章,一、立体体积,设有空间有界立体区域 ，均匀分割后，有任意性的取小立体,. 它对应的体积元素为,，则其体积为,例1.,是椭球体,，求体积,解：,则体积为,利用“先二后一”计算.,解,而,例1续,二、曲面的面积,设光滑曲面,则面积 S 可看成曲面上各点,处小切平面的面积 d S 无限积累而成.,设它在 D 上的投影为 d ,(称为面积元素),则,故有曲面面积公式,即,若光滑曲面方程为,则有,若光滑曲面方程为,则有,例2.求球面,含在柱面,中的那部分面积.,解：,为所截曲面,的面积，,为,
2、在第一卦限部分的曲面,的面积.,在 面上的投影为：,即,由对称性得,三、物体的质心,设空间有n个质点,其质量分别,由力学知, 该质点系的质心坐标,设物体占有空间域 ,有连续密度函数,则,公式 ,分别位于,为,为,即:,采用 “大化小, 常代变, 近似和, 取极限” 可导出其质心,将 分成 n 小块,将第 k 块看作质量集中于点,例如,令各小区域的最大直径,系的质心坐标就近似该物体的质心坐标.,的质点,即得,此质点,在第 k 块上任取一点,同理可得,则得形心坐标：,若物体为占有xoy 面上区域 D 的平面薄片,(A 为 D 的面积),得D 的形心坐标:,则它的质心坐标为,其面密度, 对 x 轴的
3、 静矩, 对 y 轴的 静矩,例3.设平面薄板由曲线 与 轴围,成，它的面密度 ，求其形心坐标.,解：先求平面薄板面积,再求形心坐标由于区域关于直线 ，所以形心在 上，即 .,例4. 求密度均匀的上半椭球体的质心,解：设上半椭球体为,由对称性知 ，,和上节例4结论知,，因为密度是常数，由例1结论,所以质心坐标为,四 、物体的转动惯量,设物体占有空间区域 , 有连续分布的密度函数,该物体位于(x , y , z) 处的微元,因此物体 对 z 轴 的转动惯量:,对 z 轴的转动惯量为,因质点系的转动惯量等于各质点的转动惯量之和,故连续体的转动惯量可用积分计算.,类似可得:,对 x 轴的转动惯量,对
4、 y 轴的转动惯量,对原点的转动惯量,如果物体是平面薄片,面密度为,则转动惯量的表达式是二重积分.,例5 .设有一均匀的直角三角形薄板，两直角边长分 别为 ，,求这三角形对其中任一直角边的转动惯量.,解：如图5建立直角坐标系设薄板的面密度为,（常数），薄片对,转动惯量为,轴的,例6. 设某球体上各点的密度与该点到球心的距离成 正比，求其对切平面的转动惯量,解：设球体为,，球坐标系下：,由已知，密度函数 ，,，由 与,对称性， 对各切平面的转动惯量相等，,故不妨取切面,为 . 上点 到切平面距离 .,对其切平面的转动惯量为,0预备知识：求两质点之间的引力 设在某一区域上有两个质点，两者间距离为,
5、，其质,为万有引力系数，由万有引力公式知,量分别为,两质点间的万有引力为：,五、物体的引力,用元素法求薄片对z轴上的单位质点的引力,引力在三个坐标轴上的投影,(1)平面薄片对质点的引力,设有一平面薄片,占有xOy面上的闭区域D,在点(x, y)处的面密度为,假定,在D上连续,计算该平面薄片对位于z轴上的点,处的单位质点的引力.,元素.,薄片中,的大小近似地为,的部分对该质点的引力,引力的方向,方向余弦,薄片中,上的投影 的元素:,薄片中,的大小近似地为,的部分对该质点的引力,的对该质点的引力在三个坐标轴,k为引力常数.,G 为引力常数,设物体占有空间区域 ,物体对位于原点的单位质量质点的引力,
6、利用元素法,在上积分即得各引力分量:,其密度函数,引力元素在三坐标轴上的投影分别为,(2).空间立体对单位质点的引力,例7. 设面密度为 ，半径为R 的圆形薄片,求它对位于点,处的单位质量质点的引力,解: 如图7, 由对称性知，引力,所以,所求引力为,求密度 为常数的半圆环:,对原点一单位质点的引力.,答案:,练习,引力为,几何应用,平面薄片、空间物体的质心,平面薄片、空间物体对质点的引力,平面的面积,物理应用,三、小结,曲面的面积,体积,平面薄片、空间物体的转动惯量,备用题1. 求半径为a 的球面与半顶角为 的,内接锥面所围成的立体的体积.,解: 在球坐标系下空间立体所占区域为,则立体体积为,2. 计算双曲抛物面,被柱面,所截,解: 曲面在 xoy 面上投影为,则,出的面积 A .,3. 求位于两圆,和,的质心.,解: 利用对称性可知,而,之间均匀薄片,4.求半径为 a 的均匀半圆薄片对其直径,解: 建立坐标系如图,半圆薄片的质量,的转动惯量.,
