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1、第四节,一、曲线的凹凸与拐点,与函数作图,曲线的凹凸性,第三章,二、 曲线的渐近线,三、 函数图形的描绘,一、曲线的凹凸与拐点,定义,定理2(凹凸性判定),证:,利用拉格朗日中值定理得,两式相加,说明 (1) 成立;,(2),证毕,例1,解,注意到,曲线的拐点及其求法,1、定义,2、拐点的求法,例2,解,凹的,凸的,凹的,拐点,拐点,例3 求曲线,的拐点.,解:,不存在,因此点( 0 , 0 )为曲线,的拐点 .,凹,凸,特别地:,例4,解,二、渐近线,定义:,1.铅直渐近线,例如,有铅直渐近线两条:,2.水平渐近线,例如,有水平渐近线两条:,3.斜渐近线,斜渐近线求法:,注意:,例5,解,三
2、、函数图形的描绘,利用函数特性描绘函数图形.,第一步,第二步,求出函数的一阶导数,，,和二阶导数,第三步,第四步,确定函数图形的水平、铅直渐近线、斜渐近线以及其他变化趋势;,第五步,作图举例,例6,解,非奇非偶函数,且无对称性.,列表确定函数升降区间,凹凸区间及极值点和拐点:,不存在,拐点,极值点,间断点,作图,例7,解,偶函数, 图形关于y轴对称.,拐点,极大值,列表确定函数升降区间,凹凸区间及极值点与拐点:,拐点,例8,解,无奇偶性及周期性.,列表确定函数升降区间, 凹凸区间及极值点与拐点:,拐点,极大值,极小值,作 业,P188 1(3)(6) 2(1) 5. 7(6) 8. 11(2),四、小结,函数图形的描绘综合运用函数性态的研究,是导数应用的综合考察.,最大值,最小值,极大值,极小值,拐点,凹的,凸的,单增,单减,
