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1、财务管理财务知识经济应用数学经济应用数学微积分经济应用数学微积分部分习题解答（参考）习题一（P37）1设函数求：f(0)，f(-1)，f()，f(a+1)解：分析：即求当x为0，-1，（a+1）时的函数值。f(0)=-1;f(-1)=f()=;f(a+1)=3.下列各组函数是否表示相同的函数？为什么？（1）y=lg与y=2lgx(2)y=1与y=sinx+cosx(3)y=与y=x+1(4)y=-x与y=-x解：分析：相同函数的条件是D与f相同。（定义域与对应规则）（1）不同，D不同（2）相同定义域与对应法则相同（3）不同，D不同（4）不同对应法则不同（当x=-1，对应y不同）4求下列函数的定
2、义域：（1）y=(2)y=(3)y=lg(4)y=lglg(x+1)(5)y=arcsin(6)y=tan(2x+1)(2x+1)解：求定义域应记住：分母0a0x0三角函数的限制。(1) y=解D:x0或(-)（2）y=(4)lglg(x+1)解:D:-1x1解:D:(0,+)(3)y=lg(5)y=arcsin解:D:-2,1解:D:-1,3(6)y=tan(2x+1)解:2x+1D:x5判断下列函数的奇偶性。（1）f(x)=(3)f(x)=lg(x+解:f(-x)=f(x)解:f(-x)=lg(-x+f(x)是偶函数。=lg=lg=lg(x+=-lg(x+)=-f(x)f(x)是奇函数。(
3、4)f(x)=xe解:f(-x)=-xef(x)也-f(x)f(x)是非奇非偶函数。(5)f(x)=log解:f(-x)=log分析：判断奇偶函数=log（1）f(-x)=f(x),f(x)是偶函数=-log(2)f(-x)=-f(x),f(x)是奇函数=-f(x)否则非奇非偶。f(x)是奇函数。（6）设f(x)=求f(0)，f(-1)，f(1)，f(-2)，f(2)，并作出函数图像。解：分析：求分段函数的函数值D先确定x0的所属的区间从向确定其解析式尔后代之，作图需分段作图。0-1x1-1x-1f(0)=0=0f(-1)=(-1)+2=1,f(1)=1=1f(-2)=(-2)+2=0,f(2
4、)=2-2=07设f(x)=求f,解：分析：视f中的为中间变量代替f(x)中的变量x而成。f=;=10求下列函数的反函数（3）y=2x+1(4)y=1-lg(x+2)解:x=解:lg(x+2)=1-yx=x+2=10即y=x=10-2即y=10-214下列变量中哪些是无穷小，哪些是无穷大（在指定的变化过程）分析：在指定变化过程中，变量0是无穷小。变量是无穷大。（1）x+2x(x0)(2)(x0)解:当x0，x+2x0解:当x0，2x+11，x0是无穷小。是无穷大。(当x0，x无穷小，x是无穷小)(3)(-1)(n)(4)(n)解:当n时(-1)是有界量解法一：是无穷小量。=0+0=0是无穷小。
5、是无穷小。（5）e(x0+)解:x0+,e是无穷大.(x0+)(6)e(x0-)解:x0-,e是无穷小.(x0-)(7)lgx(x0+)解:x0+,lgx,是无穷大.(x0+)(8)(x1)解:x1,x-10,是无穷大.(x1)(9)(x)解:,是有界量,x时,是无穷小,0是无穷小.(x)(10)2(x+)解:x+,2+是无穷大.(x+)15.求下列极限.(1)解:连续函数=2(-2)2+5(-2)-1=-3(2)(12)解:分析:分子.分母极限均存在,可用法则解:原式=0=1(3)(13)解:解:原式=2=1-(4)(14)解解:原式=分析:无穷小的倒数是无穷大.(11)解:分析:分子、分母
6、同除以n50=16.设函数f(x)解：本题的解法可参照书中P13例3（1）当x0左极限右极限f(x)极限不存在.(当x0)(2)当x1左极限右极限f(1)=2当x1时f(x)的极限为2(3)当x18.(1)解法1:原式=解法2:原式=解法3:“用洛必达”(3)原式=解:原式=0=（2）解法1:原式=解法2:可用等价无穷小解之=原式=(4)(5)解:解:原式=(当x0arctanxx)=(6)解:原式=1-1=019.求下列极限(1)(2)解:原式=解:原式=e6=e(3)(4)解:原式=解:原式=(5)解:原式=20.求下列函数的间断点并指出其类型。(1)y=(2)y=xsin解:解:(无穷小
7、x有界量)x=-1是无穷间断点=0是第二类间断点x=0是第一类间断点为可去间断点(3)y=(4)y=(1+x)解:解:x=5是可去间断点x=0是第一类间断点，可去间断点第一类间断点(5)y=(6)y=解:解:=x=0是第一类可去间断点=-2但x=k(k=1,2)x=1是第一类可去间断点时limy不存在x=k(k=1,2)=时是第二类无穷间断点x=2是第二类无穷间断点23下列函数在x=0是否连续？为什么？(1)f(x)解:但f(0)=0f(x)在x=0不连续.(2)f(x)解:f(x)在x=0连续.(3)f(x)解:f(x)在x=0连续.24.求下列函数的极限。(1)(2)解:原式=解:原式=x
8、-1,cos(1+x)1(3)x-1,cot(1+x)解:原式=(5)(6)解原式：解原式：=27某厂生产产品1000t，定价为130元/t，当售出量不超过700t时，按原定价出售，超过700t的部分按原价的九折销售，试将销售收入表示成销售量的函数。解：设销售收入为R元，销售量为q吨(t)则700t130元/t=91000R=习题二(P61)1.根据导数的定义，求下列函数的导数.（1）y=解:;(3)设f(x)=cosx,求解:,3求下列函数的导数。（1）f(x)=2求解:(2)f(x)=,求解:(3)f(x)=,求解:(4)f(x)=,求解:4.求下列函数的导数。(1)y=3x2-x+7(2
9、)y=5(2x-5)(x-8)解:解:=6x-1+0=6x-1=52(x-8)+2x-5=5(4x-21)(3)y=(4)y=解:解:=（5）y=解法1:y=解法2:=-=（6）y=(7)y=解:y=解:=(8)y=解:=(9)y=(11)y=解:解:=(10)y=(12)y=解:解:=6.求下列函数的导数。(1)y=(3)y=解:解:=(7)y=(10)y=ln(lnx)解:解:=7.求隐函数的导数.(指)(1)（3）解:原方程两边对x求导解:两边取对数两边求导9.求高阶导数.(1)y=ln(1+x)求(3)求解:解:由不完全归纳法的10.求下列函数的微分.(1)y=(4)y=解:解:=11
10、.利用微分求近似值.解:分析:近似公式:(1)(2)解:设解:设=1.02=1-0.002=0.998习题三（P92）3利用洛必达法则求下列极限。(2)(4)解：原式=解：原式=(6)*(14)解：原式=解：设y=则=4.求下列函数的单调区间.(1)y=x（0，100）100（100，+）+0f解:D:x0,(x-100)即X100函数在(0,100)在(100,+)5.证明下列不等式.(1)当0x时,xsinxxx证明:当0x0证:sinxx设f(x)=x-sinx令g(x)=(x)=1-cosx0x0,f(x)=x-sinxf(0)=0对于x0,tanxxxsinxg(x)在(0,)即xg
11、()两g()=g(x)0即即sinxx的证6求下列函数的极值。（1）x(-,-1)-1(-1,3)3(3,+)+f极大极小解:=6（x-3）(x+1)驻点：x=3x=-1函数的极大值为f（-1）=17函数的极小值为f（3）=-477求下列函数在所给区间上的最大值和最小值。解：分析：不必列表，只须将可纯的极值点的极值与端点值比较之求极。（2）y=,x-2,2解：x=0x=1，比较之，12某商品的总成本函数为C=1000+3Q，需求函数Q=-100P+1000，其中P为商品单价，求能使利润最大的P值。解：L=R-C,R=PqL=R-C=P(-100P+1000)-1000+3(-100P+1000
12、)=-100P2+1300P-4000L=1300-200P令L=0P=6.5答：能使利润最大的P值是6.5。17.确定下列函数图形的凸向区间和拐点。（1）y=x(-,-1)-1(-1,1)1(1,+)+00+y拐拐解：令x=1图形下凸区间为(-,-1)，(1,+)上凸区间为(-1,1)拐点是（-1，-10），（1，-10）18求下列曲线的渐近线。(1)y=(2)y=解：解：x=-2是y的铅垂渐近线。y=0是曲线的水平渐近线。y=1为曲线的水平渐近线X=0和x=-为曲线的铅垂渐近线。19.按照作图步骤，描绘下列函数的图象。解：函数作图步骤：求出函数的定义域考查函数的奇偶性，周期性。求出方程=0的根，列表判别函数的升降区间及极值点求出方程=0的根，列表确定函数凸凹性与拐点求出函数的渐近线计算几个点的函数值，画出图形。(1)y=x+解：函数定义域为（-，0）（0，+），f(x)为奇函数，无周期性。,=0x=1无零点x0,x0X=0处f,均不存在x(-，-1)-1(-1,0)0(0,1)1(1,+)+f-22,a=,b=x=0为铅垂渐近线,无水平渐近线。y=x为斜渐近线。习题四1求解下列问题：（1）已知曲线上任一点切线的斜率为3x，且该曲线过点（1，1）求此曲线方程。解：分析；
