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1、第一章 函数与极限,本课程基础,函数,极限,连续, 研究对象, 研究工具, 研究桥梁,上页 下页 返回 结束,上页 下页 返回 结束,第一章 函数与极限,第一节,函数的基本概念,初等函数,函数的定义,函数的简单特性,函数的运算,相关概念,2.常量与变量,在某过程中数值保持不变的量称为常量,而数值变化的量称为变量.,上页 下页 返回 结束,1.点与实数,高等数学所处理的数一般都是实数.,实数与数轴上的点一一对应，,代数观点：非负数；,几何观点：两点间的距离.,.,.,.,因而往往不加区别.,一、相关概念,3.区间与邻域,有限区间,无限区间,(1) 区间,开区间,闭区间,左闭右开, 左开右闭,上页
2、 下页 返回 结束,(2) 邻域,左 邻域:,右 邻域:,上页 下页 返回 结束,称为,定义域,二、函数的定义,1. 定义,自变量,因变量,，y 总有确定的值与之对应，,y 为x 的函数.记作, 在 点的函数值,函数是两个数集之间的一个映射.,上页 下页 返回 结束,则称,(2) 确定函数的两要素:,定义域、对应法则.,(3) 函数关系可由数学式子,图象给出,、表格、,注,（4）单值函数、多值函数,(1) 定义域的确定：,抽象算式自然定义域;,实际问题由问题的背景来确定.,(值域随之确定),例如，对应法则,确定双值函数,上页 下页 返回 结束,解,例2,设,，则,（5）函数的图形,是平面点集：
3、,例1.,是同一个函数.,不是同一个函数；,上页 下页 返回 结束,y = f (x),解,2.分段函数,符号函数,例3.,例4.,上页 下页 返回 结束,求,及,解,并写出 的定义域和值域 .,定义域,值域,例5 已知,上页 下页 返回 结束,三、函数的简单特性,1.有界性,例6.,有上界,无,下界,因此无界.,上有界.,上无界,有界.,在,在,上页 下页 返回 结束,注：,函数的有界性跟区间有关.,2.单调性,周期性,奇偶性,利用函数的连续性和导数,可以方便地确定有界 性, 单调性.,除上述简单性质外, 函数还有连续性,可导性, 可积性等等性质.,四、函数的运算,1. 和、差、积、商, 四
4、则运算,函数值之间的运算.,2. 求反函数的运算,例7.,对每一,，由方程,，有确定的,与之,对应：,称,为,的反函数.,上页 下页 返回 结束,一般地，设,则其反函数,结论1. 如果yf (x) 单值单调（递增或递减），,且也单值单调（递增或,注,若对每一, 由方程,，有确定的,与之,对应，,则称这样得到的,为,的反函数,函数,把,通常，将,记作,递减）.,反函数为,上页 下页 返回 结束,结论2,互为反函数,它们的图形关于直线,对称.,例8.,1,(1) 由方程, 解出 x = x(y);,(2) 交换字母 x, y, 得反函数.,例 为求,的反函数, 解得,反函数为,与,上页 下页 返回
5、 结束,称为由y = f (u)与u = g (x) 所确定的复合函数, 记作,u 称为中间变量.,3.复合运算,定义. 设,定义域为,值域为,如果,不是空集, 则在x 的一定取值范围,内, 由,确定y 为x 的函数,上页 下页 返回 结束,f 称为外层函数，,g 称为内层函数，,求复合函数的过程叫做函数的复合运算.,注 1. 不是任何两个函数都可以复合.,上页 下页 返回 结束,2. 复合函数可以有两个以上的函数复合而成.,3. 会找函数的复合关系：从运算顺序入手将复合,函数拆成几个简单的函数表示的函数.,上页 下页 返回 结束,例9,解,上页 下页 返回 结束,例10. 设函数,求,解,上
6、页 下页 返回 结束,由常数和基本初等函数经有限次四则运算和有限次函数复合步骤所构成并可用一个式子表示的函数,称为初等函数.,五、初等函数,1.基本初等函数,幂函数、,指数函数、,对数函数、,三角函数、,反三角函数,以下函数在中学阶段已详细讨论，它们是构成 常见函数的基本构件，称为基本初等函数.,2.初等函数,上页 下页 返回 结束,非初等函数的例子,符号函数（例4）,取整函数,可表为,故为初等函数.,分段函数,一般地，分段函数不一定是初等函数.,幂指函数,是以下函数,复合而成. 因此是初等函数.,上页 下页 返回 结束,幂函数,上页 下页 返回 结束,指数函数,上页 下页 返回 结束,对数函数,（自然对数函数）,上页 下页 返回 结束,正弦函数,三角函数,上页 下页 返回 结束,余弦函数,y = cos x,上页 下页 返回 结束,正切函数,上页 下页 返回 结束,余切函数,上页 下页 返回 结束,正割函数,上页 下页 返回 结束,余割函数,上页 下页 返回 结束,反三角函数,上页 下页 返回 结束,上页 下页 返回 结束,上页 下页 返回 结束,上页 下页 返回 结束,作 业,P.40 1, 2, 5, 6, 8, 9(1, 4), 10, 11, 12,上页 下页 返回 结束,
