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1、第五章 傅里叶变换的应用 5.1 引言,本章主要内容,本章初步介绍傅里叶变换方法应用于通信系统中的几个主要方面滤波、调制和抽样。 系统函数H(j)及傅里叶变换分析法； 包括无失真传输条件； 理想低通滤波器模型； 统的物理可实现条件； 调制解调的原理与实现； 带通系统的运用； 抽样信号的传输与恢复； 频分复用与时分复用。,则依卷积定理有,傅里叶变换形式的系统函数,设,对于稳定系统,频率响应特性,系统函数的物理意义,系统可以看作是一个信号处理器,激励：E(j),响应：H(j)E(j),对于不同的频率，有不同的加权作用，这也是信号分解，求响应再叠加的过程。,对信号各频率分量进行加权,5.2 利用系统
2、函数H(j)求响应,一系统的频响特性与H(s)的关系,例：,二正弦信号激励下系统的稳态响应,则系统的稳态响应为,三非周期信号的响应,傅氏分析从频谱改变的观点说明激励与响应波形的差 异，系统对信号的加权作用改变了信号的频谱，物理概念清楚。 用傅里叶分析法求解过程烦琐，不如拉氏变换容易。 引出H(j)重要意义在于研究信号传输的基本特性，简述滤波器的基本概念，并理解频响特性的物理意义，这些理论内容在信号传输和滤波器设计等实际问题中具有十分重要的指导意义。,总结,系统可以看作是一个信号处理器：,，,对于不同的频率 ，有不同的加权作用，这也是信号分解，求响应再叠加的过程。,5.3 无失真传输,一失真,线
3、性系统引起的信号失真由两方面的因素造成 幅度失真：各频率分量幅度产生不同程度的衰减； 相位失真：各频率分量产生的相移不与频率成正比， 使响应的各频率分量在时间轴上的相对位置产生变化。,信号经系统传输，要受到系统函数 的加权，输出波形发生了变化，与输入波形不同，则产生失真。,线性系统的失真幅度，相位变化，不产生新的频率成分； 非线性系统产生非线性失真产生新的频率成分。,对系统的不同用途有不同的要求： 无失真传输；利用失真波形变换。,二无失真传输条件,频谱图,几点认识：,要求幅度为与频率无关的常数K，系统的通频带为无限宽。,相位特性与 成正比，是一条过原点的负斜率直线。,不失真的线性系统其冲激响应
4、也是冲激函数。,相位特性为什么与频率成正比关系？,只有相位与频率成正比，方能保证各谐波有相同的延迟时间，在延迟后各次谐波叠加方能不失真。,延迟时间t0 是相位特性的斜率：,群时延 或称群延时,在满足信号传输不产生相位失真的情况下，系统的群时延特性应为常数。,例,三利用失真波形形成,总结,系统的无失真传输条件,5.4 理想低通滤波器,一理想低通的频率特性, 的低频段内，传输信号无失真 ( ) 。, 为截止频率，称为理想低通滤波器的通频带，简称频带。,二理想低通的冲激响应,波形,由对称性可以从矩形脉冲的傅氏变换式得到同 样的结果。,1比较输入输出，可见严重失真；,2理想低通滤波器是个物理不可实现的
5、非因果系统,几点认识,当 经过理想低通时， 以上的频率成分都衰 减为0，所以失真。,系统为全通网络，可以 无失真传输。,原因：从h(t)看，t0时已有值。,三理想低通的阶跃响应,激励,系统,响应,1. 下限为0；,2. 奇偶性：奇函数。,正弦积分,3 . 最大值出现在 最小值出现在,阶跃响应波形,2阶跃响应的上升时间tr 与网络的截止频率B（带宽） 成反比 。,B是将角频率折合为频率的滤波器带宽（截止频率）。,几点认识,1上升时间：输出由最小值到最大值所经历的时间， ：,X,四理想低通对矩形脉冲的响应,吉伯斯现象 ：跳变点有9%的上冲。 改变其他的“窗函数” 有可能消除上冲。 （例如：升余弦类
6、型）,2,讨论, 5.5 系统的物理可实现性、佩利维纳准则,理想低通滤波器在物理上是不可实现的，近似理想低通滤波器的实例,一一种可实现的低通,公式推导,二佩利维纳准则,物理可实现的网络,佩利维纳准则系统可实现的必要条件。,说明,对于物理可实现系统,可以允许H(j) 特性在某些不连续的频率点上为零，但不允许在一个有限频带内为零。 按此原理， 理想低通、理想高通、理想带通、理想带阻等理想滤波器都是不可实现的； 佩利-维纳准则要求可实现的幅度特性其总的衰减不能过于迅速； 佩利-维纳准则是系统物理可实现的必要条件，而不是充分条件。,5.6 利用希尔伯特(Hilbert)变换研究系统的约束特性,一由傅里
7、叶变换到希尔伯特变换,已知正负号函数的傅里叶变换,根据对称性得到,则,若系统函数为,则冲激响应,系统框图:,系统的零状态响应,利用卷积定理,同理可得到:,若系统冲激响应为,其网络的系统函数为,该系统框图为,利用卷积定理,希尔伯特变换,希尔伯特正变换,希尔波特反变换,二 可实现系统的网络函数与希尔伯特变换,可实现系统是因果系统，其冲激响应,即:,其傅里叶变换,又,则,根据实部与实部相等，虚部与虚部相等，解得,三常用希尔伯特变换对,对于任意因果函数，傅里叶变换的实部与虚部都满足希尔伯特变换的约束关系，希尔伯特变换作为一种数学工具在通信系统中得到了广泛的应用。,5.7 调制与解调,在通信系统中，信号
8、从发射端传输到接收端，为实现信号的传输，往往要进行调制和解调： 高频信号容易以电磁波形式辐射出去 多路信号的传输频分复用 相关课程中讲解“调制与解调”的侧重点不同： “信号与系统”应用傅里叶变换的性质说明搬移信号频谱的原理； “通信原理” 研究不同的调制方式对系统性能的影响； “通信电子电路”调制解调电路的分析。,一调制原理,1调制,调制：将信号的频谱搬移到任何所需的较高频段上的过程。,调制的分类 按载波 正弦型信号作为载波 脉冲串或一组数字信号作为载波 连续性 模拟（连续）调制 数字调制,模拟调制是数字调制的基础。,幅度调制（抑制载波的振幅调制，AM-SC）,频谱结构,X,分析,X,频移性质
9、,2解调,将已调信号恢复成原来的调制信号的过程。,本地载波， 与发送端载波 同频同相,频谱,X,二调幅、抑制载波调幅及其解调波形,调制信号 载波信号 抑制载波调幅 调幅 解调,利用包络检波器解调,r(t)：半波整流信号 w(t)：图中得到的包络 x(t)：实际包络，即A+g(t),5.8 带通滤波系统的运用,前言,本节研究两个问题： 首先讨论调制信号经带通滤波器传输的性能分析，这是通信系统中经常遇到的实际问题； 第二部分研究一个理论问题，这就是用带通滤波构成频率窗函数以改善信号局部特性的分辨率，这是信号处理技术中一些新方法的重要理论基础。,一调幅信号作用于带通系统,如果调制信号具有多个频率分量
10、，为保证传输波形的包络不失真，要求理想带通滤波器： 幅频特性在通带内为常数; 相频特性应为通过载频点的直线 用带通系统传输调幅波的过程中，只关心包络波形是否产生失真，并不注意载波相位如何变化，因为在接收端经解调后得到所需的包络信号，载波本身并未传递消息 。,二频率窗函数的运用,在许多实际问题中往往需要研究信号在某一时间间隔或某一频率间隔内的特性，或者说希望观察信号在时域或频域的局部性能。这时可以利用“窗函数”对信号开窗。在时间域称为时域（时间）窗函数，在频率域称为频域（频率）窗函数 。, 5.9 从抽样信号恢复连续时间信号,理想低通滤波器,滤除高频成分，即可恢复原信号,一由抽样信号恢复原信号,
11、从时域运算解释,时域运算,以理想抽样为例,理想低通滤波器：,连续信号f(t)可以展开成Sa函数的无穷级数，级数的系数等于抽样值f(nTs)。 也可以说在抽样信号fs(t)的每个抽样值上画一个峰值为f(nTs) 的Sa函数波形，由此合成的信号就是fs(t) 。,说明,二零阶抽样保持,在实际电路与系统中，要产生和传输接近函数的时宽窄且幅度大的脉冲信号比较困难。为此，在数字通信系统中经常采用其他抽样方式，如零阶抽样保持。,h0(t),波形及频谱图,补偿低通滤波器,补偿低通滤波器,信号的恢复,补偿低通滤波器,此滤波器的相位超前，无法实现，实际中允许延时存在，但要求系统为线性相位。, 5.10 脉冲编码
12、调制(PCM),引言,利用脉冲序列对连续信号进行抽样产生的信号成为脉冲幅度调制（PAM）信号，这一过程的实质是把连续信号转换为脉冲序列，而每个脉冲的幅度与各抽样点信号的幅度成正比。 在实际的数字通信系统中，除直接传送PAM信号之外，还有多种传输方式，其中应用最为广泛的一种调制方式称为脉冲编码调制（PCM）。 在PCM通信系统中，把连续信号转换成数字（编码）信号进行传输或处理，在转换过程中需要利用PAM信号。,PCM通信系统简化框图,量化,量化的过程是将信号转换成离散时间离散幅度的多电平信号。,编码原理示意图,PCM的优缺点,提高了信噪比： 模拟通信系统中继器噪声累加； PCM数字通信系统再生器
13、噪声不会累加； 合理设计A/D,D/A变换器可将量化噪声限制在相当微弱的范围内。 组合多种新源传输时具有灵活性； 便于实现各种数字信号处理功能。,缺点： PCM信号传输时占用频带加宽，例如 语音信号3003400Hz 4kHz 抽样率8kHz 8位脉冲编码64kHz,5.11 频分复用与时分复用,一频分复用,复用：在一个信道上传输多路信号。 频分复用 （FDM） 时分复用 （TDM） 码分复用（码分多址）（CDMA） 波分复用（WDM） 频分复用：就是以频段分割的方法在一个信道内实现多路通信的传输体制。 (frequency division multiply),复用发信端,调制，将各信号搬移
14、到不同的频率范围。,X,复用收信端,收信端：带通滤波器，分开各路信号，解调。,频分复用解调分析,先利用一个带通滤波器（ ） 滤出 附近的分量，再同步解调,再使用低通滤波器，完成解调。,二时分复用, Time-division Multiplexing (TDM) 主要用于数字信号的传输和接入 把传输信道按时间进行分割成不同的时间段 每部分时间段称为时隙 (Time Slot),优点,优点,时分复用传送PCM信号，传输PCM信号所具备的优点在十分复用都得以体现。 产生与恢复各路信号的电路结构相同，而且以数字电路为主，比频分复用系统的电路更容易实现超大规模集成，电路类型统一，设计、调试简单。 容易控制各路信号之间的干扰（串话），合理设计码脉波形可使频带得到充分利用并且防止码间串扰。,三码速与带宽，时分复用的码间串扰,码速 带宽,选用带宽外高频分量相对较小的码型。,利用Sa函数码型避免码间串扰,在T的整数倍各时刻其抽样值为零，因而接收端以此处为抽样判决点，保证不会出现误判。,
