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1、10.4 双曲型方程的差分解法,一阶线性双曲型方程最简单的形式为,（10.4.1),当给定初始条件,(10.4.2),以后，容易验证，双曲型方程(10.4.1)的解为：,(10.4.3),也就是说，在平面 x t上，沿着,（k 是常数）,这样的直线，u 的值保持不变。这种直线叫做特征线。,这是个单向的传播波，a0时，波形（x）沿x轴方向传播， 为右传播波，a 0时，为左传播波，在传播过程中，波形 均不发生变化。,在物理上常见的双曲型偏微分方程最简单模型是波动方程,其中 ，如果引进变量,则得到与波动方程等价的方程组,(10.4.4),(10.4.6),(10.4.5),10.4.1 矩形网格,用
2、两组平行直线族xj = jh, tn = n (j = 0, 1, ， n = 0，1,2 )构成的矩形 网覆盖了xt平面，网格点 （xj, tn）称为结点，简记为 （j, n），h、为常数，分别 称为空间步长及时间步长， 或称h为沿x方向的步长，称为沿t方向的步长， N为正整数。在t = 0上的结点称为边界结点，其余所有属于 内的结点称为内部结点。,t,h,(xj, tn),a）迎风格式,ut (xj, tn)用向前差商代替，ux（xj, tn）用向前或向后 差商代替，得,10.4.2 一阶双曲方程的差分法,或,令r= / h，得,截断误差均为,节点分布图：,* * * * （j, n）,(
3、10.4.7),(10.4.8),稳定性的讨论：,令,代入（10.4.7）得传播因子,当a0时，恒有 ，格式（10.4.7）不稳定 ；,当a0且ar 1时， ，格式（10.4.7）稳定。,格式（10.4.8）在a 0且ar 1时稳定。,将迎风格式写为统一形式：,稳定性条件为：,(10.4.9),b) Lax-Friedrichs格式,该格式构造于1954年，用到,的技巧，截断误差为 ：,节点分布图：,* * * * （j, n）,(10.4.10),传播因子,时稳定。,当 时， ，即格式（10.4.10）在,c）Lax-Wendroff格式,截断误差为,节点分布图：,* * * * （j, n
4、）,传播因子,当 时有 ，即格式在 条件下稳定。,d）古典隐式格式,ut用向后差商代替，ux用中心差商代替得,截断误差为：,传播因子：,对任意的网格比，均有 ，故古典隐格式绝对稳定。,e）Grank-Nicholson格式,在（ ）处展开，由,及中心差商以式而得到：,截断误差为 ：,绝对稳定,10.4.3 二阶双曲型方程的差分格式,直接构造方程 的差分格式,utt, uxx均用中心差商代替之，得,其中网格比 :,截断误差,b）隐格式,利用关系,可得三层隐式格式：,截断误差 :,绝对稳定,期末考试开卷部分（上机实习）：,1. 列主元高斯消元法解方程组 Ax=b,2. 平方根法解方程组Ax=b,3
5、. 雅可比迭代法和高斯-赛德尔迭代法解方程组Ax=b,4. 乘幂法求矩阵A的最大特征值和特征向量,6. 样条函数方法,8. 龙贝格积分,7. 最小二乘法,9. 龙格-库塔方法,5. 乘幂法和雅可比方法求矩阵A的特征值和特征向量,期末考试闭卷部分：,1. 第二章 非线性方程求根 ：二分法、迭代法、牛顿法和弦截法,要求：根的存在，公式，收敛性条件的判别,2. 第三章 解线性方程组的直接法：掌握Gauss消元法进行到底 的条件，矩阵三角分解定理的条件和结论，向量和 矩阵的范数，方程组的条件数与病态方程组的求解,3. 第四章 解线性方程组的迭代法：雅可比迭代法，高斯-赛德尔 迭代法；要求：求解公式，收敛条件。,4. 函数插值：拉格朗日插值，牛顿插值，埃米尔特插值 要求：插值公式，余项公式,5. 数值积分：插值型求积公式（矩形、梯形、辛普生、 龙贝格）。公式和误差，代数精确度的概念。,6. 常微分方程数值解：单步法（欧拉、改进欧拉，龙格-库塔） 差分法。要求：求解公式和误差阶,边值条件的处理。,7. 偏微分方程数值解：,要求：差分格式，定解条件，区域划分，边值条件的处理；,截断误差阶，稳定性结论,
