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1、2020年中考数学压轴题一、选择题1如图，在RtABC中，C90，AC4，BC3，点O是AB的三等分点，半圆O与AC相切，M，N分别是BC与半圆弧上的动点，则MN的最小值和最大值之和是（）A5B6C7D82如图，在RtABC中，C90，ACBC，AB8，点D为AB的中点，若直角EDF绕点D旋转，分别交AC于点E，交BC于点F，则下列说法正确的个数有（）AECF；EC+CFAD；DEDF；若ECF的面积为一个定值，则EF的长也是一个定值A1个B2个C3个D4个二、填空题3如图，在矩形ABCD中，AB2AD6，点P为AB边上一点，且AP3，连接DP，将ADP沿DP折叠，点A落在点M处，连接CM，B
2、M，当BCM为等腰三角形时，BP的长为 第3题 第4题4如图，在ABC中，AB10，AC8，BC6，经过点C且与边AB相切的动圆与CA，CB分别相交于点P，Q，则线段PQ长度的最小值是 三、解答题5如图，已知ABC和ADE均为等腰三角形，ACBC，DEAE，将这两个三角形放置在一起（1）问题发现如图，当ACBAED60时，点B、D、E在同一直线上，连接CE，则CEB的度数为 ，线段AE、BE、CE之间的数量关系是 ；（2）拓展探究如图，当ACBAED90时，点B、D、E在同一直线上，连接CE请判断CEB的度数及线段AE、BE、CE之间的数量关系，并说明理由；（3）解决问题如图，ACBAED90
3、，AC2，AE2，连接CE、BD，在AED绕点A旋转的过程中，当DEBD时，请直接写出EC的长6如图，点A与点B的坐标分别是（1，0），（5，0），点P是该直角坐标系内的一个动点（1）使APB30的点P有 个；（2）若点P在y轴上，且APB30，求满足条件的点P的坐标；（3）当点P在y轴上移动时，APB是否有最大值？若有，求点P的坐标，并说明此时APB最大的理由；若没有，也请说明理由【答案与解析】一、选择题1【分析】设O与AC相切于点D，连接OD，作OPBC垂足为P交O于F，此时垂线段OP最短，MN最小值为OPOF，当N在AB边上时，M与B重合时，MN最大值+1，由此不难解决问题【解答】解：如
4、图，设O与AC相切于点D，连接OD，作OPBC垂足为P交O于F，此时垂线段OP最短，PF最小值为OPOF，AC4，BC3，AB5OPB90，OPAC点O是AB的三等分点，OB5，OP，O与AC相切于点D，ODAC，ODBC，OD1，MN最小值为OPOF1，如图，当N在AB边上时，M与B重合时，MN经过圆心，经过圆心的弦最长，MN最大值+1，MN长的最大值与最小值的和是6故选：B2【分析】如果连接CD，可证ADECDF，得出AECF；由知，EC+CFEC+AEAC，而AC为等腰直角ABC的直角边，由于斜边AB8，由勾股定理可求出ACBC4；由知DEDF；ECF的面积CECF，如果这是一个定值，则
5、CECF是一个定值，又EC+CF4，从而可唯一确定EC与EF的值，由勾股定理知EF的长也是一个定值【解答】解：连接CD在RtABC中，ACB90，ACBC，点D为AB的中点，CDAB，CDADDB，在ADE与CDF中，ADCF45，ADCD，ADECDF，ADECDF，AECF说法正确；在RtABC中，ACB90，ACBC，AB8，ACBC4由知AECF，EC+CFEC+AEAC4说法正确；由知ADECDF，DEDF说法正确；ECF的面积CECF，如果这是一个定值，则CECF是一个定值，又EC+CF4，可唯一确定EC与EF的值，再由勾股定理知EF的长也是一个定值，说法正确故选：D二、填空题3【
6、分析】当BCCM时，BCM为等腰三角形，当BMCM时，当BCM为等腰三角形时，当BCBM3时，由折叠的性质得，根据等腰三角形的性质和勾股定理即可得到结论【解答】解：如图1，当BCCM时，BCM为等腰三角形，点M落在CD边上，如图1，DNAD3，四边形APMD是正方形，AP3，ABCD6，BP3；如图2，当BMCM时，当BCM为等腰三角形时，点M落在BC的垂直平分线上，如图2，过M作BC的垂直平分线交AD于H交BC于G，AHDHAD，将ADP沿DP折叠，点A落在点M处，ADDM，DHDM，ADM60，ADPPDM30，APAD，PB6；当BCBM3时，由折叠的性质得，DMAD3，DM+BM6，而
7、BD3，DM+BMBD，故这种情况不存在，综上所述，BP的长为3或6，故答案为：3或6 4【分析】设QP的中点为F，圆F与AB的切点为D，连接FD，连接CF，CD，则有FDAB；由勾股定理的逆定理知，ABC是直角三角形FC+FDPQ，由三角形的三边关系知，CF+FDCD；只有当点F在CD上时，FC+FDPQ有最小值为CD的长，即当点F在直角三角形ABC的斜边AB的高上CD时，PQCD有最小值，由直角三角形的面积公式知，此时CDBCACAB4.8【解答】解：如图，AB10，AC8，BC6，AB2AC2+BC2，ACB90，PQ是F的直径，设QP的中点为F，圆F与AB的切点为D，连接FD，连接CF
8、，CD，则FDABFC+FDPQ，CF+FDCD，当点F在直角三角形ABC的斜边AB的高上CD时，PQCD有最小值CDBCACAB4.8故答案为4.8三、解答题5【分析】（1）证明ACEABD，得出CEAD，AECADB，即可得出结论；（2）证明ACEABD，得出AECADB，BDCE，即可得出结论；（3）先判断出BDCE，再求出AB2，当点E在点D上方时，先判断出四边形APDE是矩形，求出APDPAE2，再根据勾股定理求出，BP6，得出BD4；当点E在点D下方时，同的方法得，APDPAE1，BP4，进而得出BDBP+DP8，即可得出结论【解答】解：（1）在ABC为等腰三角形，ACBC，ACB
9、60，ABC是等边三角形，ACAB，CAB60，同理：AEAD，AEDADEEAD60，EADCAB，EACDAB，ACEABD（SAS），CEAD，AECADB，点B、D、E在同一直线上，ADB180ADE120，AEC120，CEBAECAEB60，DEAE，BEDE+BDAE+CE，故答案为60，BEAE+CE；（2）在等腰三角形ABC中，ACBC，ACB90，ABAC，CAB45，同理，ADAE，AED90，ADEDAE45，DAECAB，EACDAB，ACEABD，AECADB，BDCE，点B、D、E在同一条直线上，ADB180ADE135，AEC135，EBCAECAED45，DE
10、AE，BEDE+BDAE+CE；（3）由（2）知，ACEABD，BDCE，在RtABC中，AC2，ABAC2，当点E在点D上方时，如图，过点A作APBD交BD的延长线于P，DEBD，PDEAEDAPD，四边形APDE是矩形，AEDE，矩形APDE是正方形，APDPAE2，在RtAPB中，根据勾股定理得，BP6，BDBPAP4，CEBD2；当点E在点D下方时，如图同的方法得，APDPAE2，BP4，BDBP+DP8，CEBD4，即：CE的长为2或4 6【分析】（1）已知点A、点B是定点，要使APB30，只需点P在过点A、点B的圆上，且弧AB所对的圆心角为60即可，显然符合条件的点P有无数个（2）
11、结合（1）中的分析可知：当点P在y轴的正半轴上时，点P是（1）中的圆与y轴的交点，借助于垂径定理、等边三角形的性质、勾股定理等知识即可求出符合条件的点P的坐标；当点P在y轴的负半轴上时，同理可求出符合条件的点P的坐标（3）由三角形外角的性质可证得：在同圆或等圆中，同弧所对的圆周角大于同弧所对的圆外角要APB最大，只需构造过点A、点B且与y轴相切的圆，切点就是使得APB最大的点P，然后结合切线的性质、三角形外角的性质、矩形的判定与性质、勾股定理等知识即可解决问题【解答】解：（1）以AB为边，在第一象限内作等边三角形ABC，以点C为圆心，AC为半径作C，交y轴于点P1、P2在优弧AP1B上任取一点
12、P，如图1，则APBACB6030使APB30的点P有无数个故答案为：无数（2）当点P在y轴的正半轴上时，过点C作CGAB，垂足为G，如图1点A（1，0），点B（5，0），OA1，OB5AB4点C为圆心，CGAB，AGBGAB2OGOA+AG3ABC是等边三角形，ACBCAB4CG2点C的坐标为（3，2）过点C作CDy轴，垂足为D，连接CP2，如图1，点C的坐标为（3，2），CD3，OD2P1、P2是C与y轴的交点，AP1BAP2B30CP2CA4，CD3，DP2点C为圆心，CDP1P2，P1DP2DP2（0，2）P1（0，2+）当点P在y轴的负半轴上时，同理可得：P3（0，2）P4（0，2+）综上所述：满足条件的点P的坐标有：（0，2）、（0，2+）、（0，2）、（0，2+）（3）当过点A、B的E与y轴相切于点P时，APB最大理由：可证：APBAEH，当APB最大时，AEH最大 由sinAEH 得：当AE最小即PE最小时，AEH最大所以当圆与y轴相切时，APB最大当点P在y轴的正半轴上时，连接EA，作EHx轴，垂足为H，如图2E与y轴相切于点P，PEOPEHAB，
