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1、二维随机变量及其分布,第三章,二维随机变量及其联合分布,边缘分布与独立性,两个随机变量的函数的分布,例如 E：抽样调查15-18岁青少年的身高 X与体重 Y,以研究当前该年龄段青少年的身体发育情况。,前面我们讨论的是随机实验中单独的一个随机变量，又称为一维随机变量；然而在许多实际问题中，常常需要同时研究一个试验中的两个甚至更多个随机变量。,我们需要研究的不仅仅是X及Y各自的性质， 更需要了解这两个随机变量的相互依赖和制约关系。因此， 将二者作为一个整体来进行研究，记为(X, Y),称为二维随机变（向）量。,设X、Y 为定义在同一样本空间上的随机变量，则称向量（ X，Y ）为上的一个二维随机变量
2、。,定义,二维随机变量,二维随机变量(X, Y)的取值可看作平面上的点,二维随机变量的联合分布函数,若（X，Y）是随机变量， 对于任意的实数x,y.,定义,称为二维随机变量的联合分布函数,性质,(3),X,Y,x1,y1,(x1,y1),x2,y2,(x2,y2),(x1,y2),(x2,y1),联合分布函数表示矩形域概率,二维离散型随机变量,若二维 随机变量 （X，Y）的所有可能取值只有限对或可列对，则称（X，Y）为二维离散型随机变量。,如何反映（X，Y）的取值规律呢？,定义,研究问题,联想一维离散型随机变量的分布律。,（X，Y）的联合概率分布（分布律）,表达式形式,表格形式（常见形式）,性
3、质,联合分布函数,F(x,y)=PXx，Yy=,的可能取值为(1， 2)， (2， 1)， (2， 2).,，(1/3) (2/2)1/3， ，(2/3) (1/2)1/3， ，= (2/3) (1/2)1/3，,例1,解,例2 将一枚均匀的硬币抛掷4次,X表示正面向上次数,Y表示反面朝上次数,求(X,Y)的联合概率分布.,解 X的所有可能取值为0,1,2,3,4,Y的所有可能取值为0,1,2,3,4,因为X+Y=4,所以(X,Y)概率非零的数值对为:,X Y 0 4 1 3 2 2 3 1 4 0,P(X=0,Y=4)=,P(X=2,Y=2)=,=1/4,=6/16,P(X=3,Y=1)=,
4、=1/4,P(X=4,Y=0)= 0.54=1/16,联合概率分布表为:,P(X=1,Y=3)=,0.54=1/16,例3 设随机变量YN(0，1),令,解 (X1,X2)的取值数对为(0,0),(0,1),(1,0),(1,1),P(X1=0,X2=0)=P(|Y|1,|Y|2),=P(|Y|2),=1-P(|Y|2),=2-2(2)=0.0455,P(X1=0,X2=1)=P(|Y|1,|Y|2),=P(1|Y|2),=P(-2Y-1)+P(1Y2),=2P(1Y2),=2(2)-(1),=0.2719,P(X1=1,X2=0)=P(|Y|1,|Y|2),=0,P(X1=1,X2=1)=P
5、(|Y|1,|Y|2),=P(|Y|1),=2(1)-1,=0.6826,联合概率分布表为:,求(X1,X2)的联合概率分布。,例4 二维随机向量(X,Y)的联合概率分布为:,求:(1)常数a的取值; (2)P(X0,Y1); (3) P(X1,Y1),解 (1)由pij=1得: a=0.1,(2)由P(X,Y)D=,得 P(X0,Y1)=,P(X=0,Y=0)+,P(X=0,Y=1)+P(X=1,Y=0)+P(X=1,Y=1),=0.1+0.2+0.1+0.2,=0.6,(3)P(X1,Y1),=P(X=-1,Y=0)+P(X=-1,Y=1)+P(X=0,Y=0),+P(X=0,Y=1)+P
6、(X=1,Y=0)+P(X=1,Y=1),=0.75,若存在非负函数 f（x，y），使对任意实数x，y，二元随机变量(X,Y)的分布函数可表示成如下形式,则称(X,Y)是二元连续型随机变量。f（x，y）称为二元随机变量(X,Y)的联合概率密度函数.,二维连续型随机变量的联合概率密度,定义,记为（X，Y)f(x,y),联合概率密度函数的性质,非负性,几何解释,.,.,随机事件的概率=曲顶柱体的体积,设二维随机变量,的概率密度为,(1) 确定常数 k；,(2) 求,的分布函数；,；,.,(4) 求,例1,解,(1),所以,当 时，,当 时，,所以，,(3),或解,(4) 求,解,x+y=3,例3
7、设(X,Y),求(X,Y)的联合分布函数.,1,1,解 (1)x0,或y0时,F(x,y)=0 (2)x1,y1时,F(x,y)=1 (3)0 x1,0y1时, F(x,y)=,(4)0 x1,y1时,F(x,y)=,(5)x1,0y1时,F(x,y)=,x,y,4xy,综合即得:,其中:D为可度量的平面区域,SD为区域D的面积.,则称(X,Y)服从区域D上的均匀分布.,(1) 均匀分布 若二维随机向量(X,Y)的联合概率密度为,对于D中任意可度量子区域G有,其中:SG为区域G的面积.,常见的二维连续型随机向量,定义 如果(X,Y)的联合密度函数为,其中,则称(X,Y)服从参数为 的二维正态分
8、布,简记为,(2) 二维正态分布,边缘分布 marginal distribution,二维随机变量 ,是两个随机变量视为一个整体，来讨论其取值规律的，我们可用分布函数来描述其取值规律。,问题：能否由二维随机变量的分布来确定两个一维随机变量的取值规律呢？如何确定呢？,边缘分布问题,边缘分布 marginal distribution,设二维随机变量 的分布函数为 ，,联合分布函数与边缘分布函数的关系,二维离散型R.v.的边缘分布,如果二维离散型随机变量（X,Y）的联合分布律为,关于X的边缘分布,关于Y的边缘分布,二维离散型R.v.的边缘分布,关于X的边缘分布,关于Y的边缘分布,第j列之和,第i
9、行之和,二维离散型R.v.的边缘分布,例1 设二维离散型随机变量（X,Y）的联合分布律为,求关于X、Y的边缘分布,关于Y的边缘分布,解 关于X的边缘分布为,例2 设(X,Y)的联合概率分布为:,求:(1)X,Y的边缘分布; (2)X+Y的概率分布.,解 (1)由分析得:,(2)X+Y的取值为-1,0,1,2,3,P(X+Y=-1)=P(X=-1,Y=0)=0.05,P(X+Y=0)=P(X=0,Y=0)+P(X=-1,Y=1)=0.2,P(X+Y=1)=P(X=0,Y=1)+P(X=1,Y=0) +P(X=-1,Y=2)=0.4,同理,P(X+Y=2)=0.3,P(X+Y=3)=0.05,所以
10、,二维连续型随机变量的边缘分布,关于X的边缘概率密度为,关于Y的边缘概率密度为,例1 设（X, Y）的联合密度为,求k值和两个边缘分布密度函数,解,由,得,当 时,关于X的边缘分布密度为,当 时,所以，关于X的边缘分布密度为,所以，关于Y的边缘分布密度为,当 时,当 时,关于Y的边缘分布密度为,例2. 设二维随机变量（X，Y）的概率密度为, 求随机变量X的密度函数； 求概率PX+Y1.,解 (1)x0时,fx(x)=0; x0时,fx(x)=,所以, PX+Y1=,y=x,x+y=1,1/2,边缘分布密度和概率的计算,例3,设（X, Y) 的联合分布密度为,（1）求k值,(2) 求关于X和Y的
11、边缘密度,（3）求概率P(X+Y1/2),解,得,均匀分布,(2),当 时,当 时,所以，关于X的边缘分布密度函数为,当 时,所以，关于Y的边缘 分布密度函数为,均匀分布的边缘密度不再是一维均匀分布,当 时,解,（3）求概率P(X+Y1/2),如果二维随机变量（X，Y）服从正态分布,则两个边缘分布分别服从正态分布,与相关系数 无关,可见，联合分布可以确定边缘分布，但边缘分布不能确定联合分布,即 二维正态分布(X,Y)的边缘概率密度是一维正态分布. 由此可知随机向量的联合概率密度完全决定了它的边缘概率密度,反之不一定成立.,解 关于X的分布密度函数为,所以，,同理可得,边缘概率密度为一维正态分布
12、的二维随机向量不一定是二维正态分布.不同的联合分布，可有相同的边缘分布。,可见，联合分布可以确定边缘分布，但边缘分布不能确定联合分布,随机变量的相互独立性,特别，对于离散型和连续型的随机变量，该定义分别等价于,定义 设（X，Y）的联合分布函数为F(x,y)，两个边缘分布函数分别为FX(x),FY(y)，如果对于任意的x,y都有 F(x,y)= FX(x) FY(y)， 则称随机变量X，Y相互独立。,对任意i,j,对任意x,y,随机变量X,Y相互独立,若对任意ab,cd有:,在实际问题或应用中，当X的取值与Y的取值互不影响时，我们就认为X与Y是相互独立的，进而把上述定义式当公式运用., 在X与Y
13、是相互独立的前提下，,边缘分布可确定联合分布！,实际意义,补充说明,若X与Y相互独立，则它们的连续函数g(X )与h(Y)也相互独立。 特别有 aX+b与cY+d相互独立.,定理,设（X，Y）的概率分布（律）为,证明：X、Y相互独立。,例1,逐个验证等式,例2 设（X，Y)的概率密度为,求 (1) P（0X1 ，0Y1）(2) (X,Y)的边缘密度， （3）判断X、Y是否独立。,解 设A=（x，y）：0 x1 ，0y1）, 边缘密度函数分别为,当 时,当 时,所以，,同理可得,所以 X 与 Y 相互独立。,例3 已知二维随机变量（X，Y）服从区域D上的均匀分布，D为x轴，y轴及直线y=2x+1
14、所围成的三角形区域。判断X，Y是否独立。,解 （X,Y）的密度函数为,关于X的边缘分布密度为,当 或 时,当 时，,所以，关于X的边缘分布密度为,关于Y的边缘分布密度为,当 或 时,当 时，,所以，关于Y的边缘分布密度为,所以,所以，X与Y不独立。,于是,同理,所以,即 X 与 Y 独立。,时,时,例4,解,例5 (X,Y)的联合概率分布为:,(1)求X,Y的边缘分布; (2)判断X,Y是否独立. (3)求F(0,2).,解:(1)X,Y的概率分布分别为:,X 0 1 P 0.7 0.3,Y 0 1 P 0.5 0.5,(2)P(X=0,Y=0)=0.3,P(X=0)P(Y=0),=0.35,
15、X,Y不独立.,注意:X,Y独立时,需对所有的(xi,yj)一一验证.,=0.70.5,(3)F(0,2)=P(X0,Y2)=0.3+0.4=0.7,例6 设(X,Y)服从区域D上的均匀分布,判断X,Y的独立性,其中(1)D=(x,y),|x|1,|y|1;(2)D=(x,y),x2+y21,fx(x)=,|x|1,|x|1,0,fy(y)=,解 (1),同理,所以,X,Y独立.,(2),X,Y不独立.,例7 设随机变量X和Y相互独立,试将下表补充完整.,1/24,1/4,1/12,1/2,1/3,3/4,3/8,1/4,P(X=0,Y=1)+P(X=1,Y=0)+P(X=1,Y=1),1. 设随机变量X，Y是相互独立的，且X,Y等可能地取0，1为值，求随机变量Z=max(X,Y)的分布列。,解,X 0 1 P 1/2 1/2,(X,Y)的取值数对为(0,0),(0,1),(1,0),(1,1),Z=max(X,Y)的取值为:0,1,P(Z=0)=P(X=0,Y=0)=,P(X=0)P(Y=0),=1/4,P(Z=1)=,=3/4,所以,Z的分布列为,课堂练习,2. 已知随机向量(X,Y)的联合密度为,(1)问X与Y是否独立？(2)求概率PXY.,解 (1),(2)P(XY)=,所以,X,Y独立.,二维随机变量的函数的分布,的分
