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1、计算机图形学基础,第4章 二维变换,本章主要内容,窗口与视区 坐标系、窗口与视区 图形变换的数学基础 二维几何变换 基本变换、复合（组合）变换 二维图形的生成程序实现,目前为止，掌握的基本技能,基本绘图函数的使用： pDC-SetPixel Cpen类（线型与线宽的设置）等 直线、圆生成算法的实现 多边形扫描转换与填充 颜色的改变，线型与线宽的设置 简单平面图形的设计 *简单动画设计,例如,奥运五环绘制与填充； 字符的绘制与填充；,图形变换概述,图形变换是计算机图形学的基础内容。 作用： 二维图形的生成 复杂的图形的生成（由简单图形变换） 三维物体的二维表示 包括： 二维、三维图形的平移、旋转
2、、变比、对称等变换； 级联（复合）变换 相对于某点的比例变换、旋转变换 相对于某直线的对称变换,图形变换概述,投影变换（三维） 透视投影,包括： -几何变换：改变几何形状和位置 -非几何变换：改变图形的颜色、线型等属性,几何变换,平行投影,基本几何变换(二维、三维),二维变换举例,x,y,f,q,(x, y),(x, y),对称变换,旋转变换,平行投影变换：三视图、轴测图,透视变换：透视图,二维图形的显示流程图,4.1 坐标系、窗口与视区,4.1.1坐标系：建立了图形与数之间的对应联系。 1.世界坐标系(World Coordinate System) 计算机图形场景中所有图形对象的空间定位和
3、定义，包括观察者的位置视线等，是其它坐标系的参照。 2.模型坐标系（Modeling Coordinate System，也称局部坐标系） 物体的局部坐标系，物体的表示简单。,世界坐标系xoy,模型坐标系xoy,3.用户坐标系(UCS) ： 为了方便交互绘图操作，根据用户的观察需要而设定的坐标，可以变换角度、方向等。,4.设备坐标系 （左手法则） 显示器以分辨率确定坐标单位， 原点在左下角或左上角。 如屏幕坐标系： 在显示器上指定窗口和视区，必须进行由NDC到物理设备坐标变换。,5.规格化设备坐标系（NDC） 为了使图形处理过程做到与设备无关，通常采用一种虚拟设备的方法来处理，其结果是按照一种
4、虚拟设备的坐标规定来输出的。这种设备坐标规定为0X1，0Y1，这种坐标系称之为规格化设备坐标系。 在世界坐标系（WC）与设备坐标系（DC）之间定义的一个与设备无关的规格化设备坐标系（按左手法则）。取值范围： （0.0，0.0，0.0）（1.0，1.0，1.0） 坐标变换 用户域 窗口区,4.1.2坐标的转换,用户Y 0 用户X,观察坐标,用户坐标,观察坐标到用户坐标的变换矩阵（写出）： 将观察坐标原点平移；旋转观察坐标与用户坐标重叠,（X0, Y0）,窗口 在世界坐标系（WCS）中指定的矩形区域 ， 用来指定要显示的图形 。 视区 在设备坐标系（屏幕或绘图纸）上指定的矩形区域 ， 用来指定窗口
5、内的图形在屏幕上显示的大小及位置。 3. 窗口到视区的变换,4.1 坐标系、窗口与视区（续） 4.1.3什么是窗口、视区？,“取景器”=窗口,视区1 视区2 （viewport）,4.1.4规格化变换,从窗口到视区的变换，称为规格化变换。 (Normalization Transformation),x,y,o,W(窗口区),x,y,o,V(视图区),wxL,wxR,wyB,wyT,vxL,vxR,vyB,vyT,(wx,wy),(vx,vy),4.1 坐标系、窗口与视区（续）,窗口到视区（viewport）的转换 实例推导,（WXR，WYT）,（VXR，VYT）,（VXL，VYB）,（WXL
6、，WYB）,（Xw，Yw）,（Xv，Yv）,窗口区定义为（WXL，WXR，WYB，WYT）， 视区定义为（ VXL，VXR，VYB，VYT ） 根据相似性原理，得出计算公式：,例5-1： 设窗口区为window(0.0，1.0，0.0，1.0) （已规格化） ，视图区为viewport（100，400，100，400），有用户坐标点Xw,Yw为（0.5，0.3），求其对应的屏幕坐标Xv,Yv。 解题步骤： （1）绘制其坐标示意图； （2）写出（推导）计算公式； （3）算出对应坐标值。,4.2 图形变换的数学基础,矢量运算 行列式 矩阵 单位矩阵 逆矩阵 转置矩阵 矩阵运算 上机编程：实现矩阵的
7、输入与输出； 实现两个矩阵相乘。,特别注意： 矩阵相乘不适合交换律,变换的数学基础(1/4),矢量 矢量和,变换的数学基础(2/4),矢量的数乘 矢量的点积 性质,变换的数学基础(3/4),矢量的长度 单位矢量 矢量的夹角 矢量的叉积,变换的数学基础(4/4),矩阵 阶矩阵 n阶方阵 零矩阵 行向量与列向量 单位矩阵 矩阵的加法 矩阵的数乘 矩阵的乘法 矩阵的转置 矩阵的逆,4.3 二维基本几何变换,点的变换： 恒等变换 平移变换 比例变换 旋转变换 对称变换 错切变换 点的基本几何变换的推广 直线，多边形，曲线,图形几何变换按某种规律，改变图形的形状、大小、位置等。,建立物体的 WC,变换到
8、 VC,在VC空间 进行裁剪,投影到 NDC,变换到 DC,在图形设备上输出,二. 图形变换的过程,二维图形的显示流程图,基本几何变换（二维）,x,y,f,q,(x, y),(x, y),对称变换,平移变换,旋转变换,其它：比例变换、错切变换等； 以及三维基本变换,图形几何变换,基本原理： 按某种规律，改变图形的形状、大小、位置等 关键： 坐标的改变 方法： 坐标系不动，图形变动后坐标值变化； 坐标系变化后，图形在新坐标系中的新值。,P(x,y),P(x,y),P,X,Y,X,Y,X,Y,方法A 坐标系不动， 图形变动后坐标值变化,方法B 坐标系变化后 图形在新坐标系中的新值,(l,m),l,
9、m,本课程：变换方法的选择,选择A：坐标系不动，图形变动后坐标值变化 P P,4.3.1 图形变换的特点 图形变换就是改变图形的几何关系，即改变图形顶点的坐标，但图形的拓扑关系不变。 最基本的图形变换可以分别用矩阵形式表示为： 平移变换 ： PPTm TmMx My Mx、My分别为X方向和Y方向的平移量。,PPTm 等价于 x y=x y +Mx My,4.3.1 图形变换的特点（续） 比例变换 PPTs Sx 0 0 Sy Sx、Sy分别表示比例因子。 旋转变换 PPTr cos sin -sin cos 0时为逆时针旋转 0时为顺时针旋转,Ts,Tr,问题：都是二维几何变换，如何用统一
10、的向量(矩阵)表示？,4.3.2 齐次坐标用n+1维向量表示n维向量,优越性 提供了用矩阵运算把二维三维甚至高维空间的点集从一个坐标系变换到另一个坐标系的方法。 可以表示无穷远的点,什么是齐次坐标表示？ 用一个有n+1个分量的向量去表示一个有n个分量的向量的方法。例如： 二维点P （x,y）（x,y为笛卡儿直角坐标）齐次坐标表示为: (hx，hy， h) h是任一不为0的比例系数。当h=1时，称为规格化齐次坐标。 反之， 给定一个点的齐次坐标表示: (x，y，h)， 该点的二维笛卡儿直角坐标： (x / h，y / h)。 例如：有一个二维点的坐标（25，40）其齐次坐标为？,4.3.2 齐次
11、坐标,为什么需要齐次坐标？,多个变换作用于多个目标,变换合成,变换合成的问题,引入齐次坐标,变换的表示法统一,三维点P（x,y,z）： 同样，对于一个三维空间的向量(x，y，z)， 它在四维空间中对应的向量即齐次坐标为(xh，yh，zh，h)，其中h0。反之，？ 齐次坐标的概念可以推广到n维空间的向量。 齐次坐标的表示不是唯一的，（如何让它唯一？） 记住， 当h=1时，称为规格化齐次坐标常用。,4.3.2齐次坐标,齐次坐标 （用n+1维向量表示n维向量）优越性,提供了用矩阵运算把二维三维甚至高维空间的点集从一个坐标系变换到另一个坐标系的方法。 可方便地用变换矩阵实现对图形的变换； 可以表达无穷
12、远点（透视变换）。,4.3.3齐次坐标二维图形变换矩阵 一般形式： a b p c d q l m s P = P T2D 二维变换矩阵中： a b c d l m 是对图形进行平移变换。 S 是整体比例变换。 p,q 用于投影变换（三维投影变换时使用非仿射变换）, x y 1 = x y 1 ,是对图形进行缩放、旋转、对称、错切等变换。,x=ax+cy+l y =bx+dy+m （二维仿射变换: p=q=0）,二维图形变换(只考虑仿射变换: p=q=0) 采用齐次坐标可将二维图形变换表示成如下形式： a b 0 c d 0 l m 1 P = P T2D 二维变换矩阵中： a b c d l
13、 m 是对图形进行平移变换, x y 1 = x y 1 ,变换后的顶点坐标,变换前的顶点坐标,二维变换矩阵,是对图形进行缩放、旋转、对称、错切等变换。,齐次坐标二维图形变换矩阵 一般形式： a b p c d q l m s P = P T2D （二维仿射变换: p=q=0） 二维变换矩阵中： a b c d l m 是对图形进行平移变换。 S 是整体比例变换。 （非仿射变换）p,q 用于投影变换（三维点时使用）, x y 1 = x y 1 ,是对图形进行缩放、旋转、对称、错切等变换。,一、平移变换 只改变图形的位置，不改变图形的大小和形状 二维：将图形对象从一个位置(x, y)移到另一个
14、位置(x，y)的变换。,平移变换 （续）,(x, y),(x, y),(dx, dy),x,y,请写出它的变换矩阵：,二、旋转变换,注意 旋转方向 旋转角度 旋转中心 旋转是刚体变换 推导： 方法：点P(x,y)的极坐标表示,x,q,P(x, y),P (x, y),y,旋转变换（续） 绕坐标原点旋转角度 （逆时针为正，顺时针为负）,三、对称变换 关于x轴的对称变换 关于y轴的对称变换,对称变换（续） 关于原点的对称变换 关于y=x的对称变换 关于y=-x的对称变换,四、比例变换,（比例变换矩阵）,比例变换示例,(x, y),(x, y),x,y,比例变换（续）,比例因子 if sx , sy 1, 物体被拉伸 if 0 sx , sy 1, 物体被压缩 if sx , sy 0,物体被倒影 均匀/非均匀比例变换 if sx = sy ,均匀比例变换 if sx sy , 非均匀比例变换,五、错切变换 例：以y轴为依赖轴的错切变换 y坐标不变,请写出兰色多边形到黑色多边形的变换矩阵：,点的基本几何变换的推广,点的变换： 直线的变换 多边形的变换 曲线的变换（由每一点的变换，重新画线完成） （二维仿射变换 x=ax+cy+l
