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1、1,对应齐次方程,二阶常系数非齐次线性方程解的性质及求解法,(1),(2),1、方程(1)的任意一个解加上方程(2)的任意一个解是(1)的解；,2、方程(1)的任意两个解之差是(2)的解 .,定理2,那么方程(1)的通解为,2,问题归结为求方程(1)的一个特解.,只讨论 f (x) 的两种类型.,用待定系数法求解.,对应齐次方程,二阶常系数非齐次线性方程解的性质及求解法,(1),(2),那么方程(1)的通解为,定理2,3,求特解的方法,根据 f (x) 的特殊形式 ,的待定形式,代入原方程比较两端表达式以确定待定系数 ., 待定系数法,4,则,5,情形1,若 r 不是特征根,即,情形2,若 r
2、 是特征方程的单根,即,6,情形3,若 r 是特征方程的二重根,即,7,综上讨论,设特解为,其中,8,解,对应齐次方程通解,特征方程,特征根,例4,代入原方程,得,9,解,对应齐次方程通解,特征方程,特征根,代入方程，,原方程通解为,例5,得,10,解,对应齐次方程通解,特征方程,特征根,例6,代入方程, 得,11,解,对应齐次方程通解,特征方程,特征根,例6,注意：,现即,即得,这样比代入原方程要简便得多。,12,解,例7,对应齐次方程通解,特征方程,特征根,13,此时原方程的通解为,14,可以证明,方程(1)具有如下形式的特解:,15,解,例8,所求通解为,对应齐次方程通解,特征方程,特征
3、根,代入原方程,得,16,解,例9,所求通解为,对应齐次方程通解,特征方程,特征根,代入原方程,得,17,例10.,求物体的运动规律.,解: 问题归结为求解无阻尼强迫振动方程,当p k 时,齐次通解:,非齐次特解形式:,因此原方程之解为,第5节例6 (P354)中若设物体只受弹性恢复力 f,和铅直干扰力,代入可得:,18,当干扰力的角频率 p 固有频率 k 时,自由振动,强迫振动,当 p = k 时,非齐次特解形式:,代入可得:,方程的解为,19,若要利用共振现象, 应使 p 与 k 尽量靠近, 或使,随着 t 的增大 , 强迫振动的振幅,这时产生共振现象 .,可无限增大,若要避免共振现象,
4、应使 p 远离固有频率 k ;,p = k .,自由振动,强迫振动,对机械来说, 共振可能引起破坏作用,如桥梁被破坏,电机机座被破坏等,但对电磁振荡来说,共振可能起有,利作用,如收音机的调频放大即是利用共振原理.,20,定理3 (非齐次线性方程的叠加原理),和,的特解,的一个特解,21,例10,解,代入得,22,解,代入得,原方程通解为,例10,23,解,例11,是对应齐次方程的通解,但没有原方程的特解,故(B)也不对；,二阶非齐次线性微分方程,24,25,解,例12,求导，,原方程改写为,再求导，,26,对应齐次方程通解,特征方程,特征根,代入得,27,初始条件:,28,练习：,P394 习题九,
