《误差分布与精度指标课件》由会员分享，可在线阅读，更多相关《误差分布与精度指标课件（27页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、第 2 章,误差分布与精度指标,第2章 误差分布与精度指标,本章主要内容 ,2.1 正态分布 2.2 偶然误差的分布特性,授课目的要求：了解偶然误差的分布规律;熟记偶然误差的三个特性和两个重要概念 。,重 点、难 点: 偶然误差的三个特性和两个重要概念 。,2.1 正态分布,1. 一维正态分布,随机变量X服从正态分布可表示为,其概率密度为,2. n 维正态分布,随机向量,服从正态分布可表示为,，其概率密度为,其中,3. 描述偶然误差分布的三种方法：,1) 列表法,在相同观测条件下,对某测区817个三角形的内角进行了观测，并按下式求出内角和的误差为,设以d表示误差区间并令其等于0.5，误差分别按
2、正误差和负误差重新排列， 统计误差出现在各区间的个数，计算出误差出现在某区间内的频率i/n，其结果列于表2-1中。,表2-1,该组误差的分布规律为: 绝对值较小的误差比绝对值较大的误差多； 绝对值相等的正误差个数与负误差个数相近, 误差的绝对值有一定限制，最大误差不超过3.5。,2). 直方图法,根据表2-1的数据， 以误差的数值为横坐标，以/n/d为纵坐标可绘制出直方图，如图2-1所示。,每一误差区间上的长方形面积表示误差在该区间出现的相对个数，所有长方形面积之和等于1。,3).密度函数法,当误差个数n无限增多，并无限缩小误差区间时，图2-1中各个小长方条顶边的折线就变成一条光滑的曲线，如图
3、2-2所示。,已知偶然误差是服从正态分布的随机变量,它的数学期望和方差分别为,E()=0,故的密度函数为,返回,2.2 偶然误差的分布特性,1) 在一定的观测条件下, 误差的绝对值不会超过一定的限值。（界限性）,2) 绝对值较小的误差比绝对值较大的误差出现的概率要大。（小误差占优性）。,3) 绝对值相等的正负误差出现的概率相等。（对称性）,分布特性：,1) 由偶然误差的界限性，可以依据观测条件来确定误差限值；,2) 由偶然误差的对称性和抵消性知，的理论平均值应为零，即有:,这表明, 若观测值中不含有系统误差和粗差, 则观测量的期望值就是其真值。,两个重要概念： ,作业：,第二章习题 1，2，3
4、，4，5，6，7，8,返回,2.3 衡量精度的指标,2.4准确度与精确度,2.5测量不确定度,授课目的要求：熟记衡量精度的指标，掌握精密度计算的方法，了解测量不确定度的概念 。,重 点、难 点: 精密度指标及其计算 。,2.3 衡量精度的指标,1 观测量的精度指标,（1）观测条件与 精密度,精密度是指一组偶然误差分布的密集与离散的程度，是观测值与其期望值接近的程度，表征观测结果偶然误差大小的程度。,一定的观测条件对应一种确定不变的误差分布。若观测条件较好，误差分布较密集，则其精密度较高。,观测条件相同的一组观测，称为等精密度观测，但各自的真误差彼此并不一定相等。,（2）常用精密度指标,方差与标
5、准差：,设 为服从正态分布的偶然误差，由方差与期望的关系式知,顾及,则有,由数学期望的定义，又可将方差和标准差分别表示为,上两式中,方差和标准差的估值公式为,例231为检定一架刚刚购进的经纬仪的测角精度, 现对某一精确测定的水平角(=652834.0)作 25 次观测, 根据观测结果算得各次观测误差为(单位:秒):,+1.3, -1.1, +0.8, +1.5, +1.1, -0.3, +0.2, +0.6, -0.5，-0.7, -2.0, +0.6, +1.2, -0.4, -0.9, -1.3, -1.1, -0.9，-0.3, +0.6, +0.8, -0.3, +0.8, -1.2,
6、 -0.8,试根据i计算测角精度 和,解:,=22.61,极限误差：,极限误差就是最大误差。规定极限误差的根据是误差出现在某一范围内的概率的大小。经统计出现在(-,+ ),(-2，+2)，(-3，+3)内的概率分别为,大于三倍中误差的误差，其出现的概率只有0.3%，是小概率事件， 在一次观测中， 可认为是不可能事件。因此，可规定三倍中误差为极限误差。即,限=3,对观测要求较严时， 也可规定两倍中误差为极限误，,限=2,相对误差：,衡量单位观测值的精度叫做相对精度。包括相对真误差、相对中误差、相对极限误差,它们分别是真误差、中误差和极限误差与其观测值之比。相对误差是个无名数,在测量中经常将分子化
7、为1。即,与相对误差相区别,真误差、中误差和极限误差统称为绝对误差。,平均误差与或然误差：,平均误差：:,或然误差:,或然误差是指在一定的观测条件下, 大于与小于某数值的偶然误差绝对值出现的概率各为一半,=0.6745,2 观测向量的精密度指标,（1）n维随机向量的方差阵,设x1，x2，xn为随机变量，由它们组成的n维列向量为,随机向量的数学期望E(X)定义为,E(X)也是一个n维随机向量，其元素是随机变量的数学期望E(xi)。随机向量的方差阵定义为,为书写方便，可简记为:,式中,是各随机变量的方差,称为随机变量xi关于随机变量xj的协方差。,协方差 是两个随机变量相关程度的指标。 定义相关系
8、数为,当 时， ，表示两个随机变量互不相关。当xi、xj均为正态随机变量时， 表示两个随机变量互相独立。方差阵Dx是对称方阵。,当n维随机向量中任意两个随机变量均为互不相关时,则ij=0 (ij)。此时方差阵Dx即变为对角阵:,进一步， 当 ， 即方差阵中的主对角线元素均为同一数值时， 则Dx变为数量矩阵，表明所有观测值的精度均相同。,（2）两随机向量的互协方差阵,设有两个随机向量:,定义,分别为向量X对向量Y和向量Y对向量X的互协方差阵。,互协方差阵一般不是方阵, 例如当n=2, t=3时，有,互协方差阵的元素是两随机向量中两两随机变量的协方差。,互协方差阵有以下性质:,因为,则,同理可证另
9、一式,当DXY=0时, 表示X和Y互相独立。,协方差ij的估算可仿照i 2的估算方法进行。即,返回,2.4 准确度与精确度,准确度是指观测值的数学期望值与其真值接近的程度，其数值指标为偏差，表征了观测结果系统误差大小的程度，即,精确度是指观测值与其真值接近的程度，其数值指标为均方误差，表征了偶然误差和系统误差对观测结果联合影响大小的程度，即,随机向量X的精确度用其均方误差阵表示，即,返回,2.5 测量不确定度,测量数据的不确定性即包含偶然误差，又包含系统误差和粗差，也包含数值上和概念上的误差以及可度量和不可度量的误差。数据误差的随机性和数据概念上的不完整性及模糊性，都可视为不确定性问题。 不确定度是度量不确定性的一种指标。衡量不确定性的基本尺度是中误差，称为标准不确定度。 可测不确定度的计算：设 的概率分布已知，则不确定度在给定值新概率p下可由下两式计算,U为 的上界，U1、U2分别为 的下、上界。,不可测不确定度的估计：当 的概率分布未知时，设法合理估计其不确定度。,作业：,第二章习题 9，10，11，12，13，19，22，23，27，29，30，32。,
