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1、2001 年全国硕士研究生入学统一考试数学三试题一、填空题(1) 设生产函数为, 其中Q是产出量, L 是劳动投入量, K 是资本投入量,而A, , 均为大于零的参数,则当Q =1时K关于L的弹性为. (2) 某公司每年的工资总额比上一年增加20的基础上再追加2 百万元.若以表示第t 年的工资总额(单位：百万元)，则满足的差分方程是_ (3) 设矩阵且(A)=3,则k =. (4) 设随机变量X和Y 的数学期望分别为-2和2,方差分别为1和4,而相关系数为-0.5.则根据切比雪夫不等式 .(5) 设总体X服从正态分布，而是来自总体X的简单随机样本，则随机变量服从_分布，参数为_.二、选择题(1
2、) 设f (x)的导数在x=a处连续,又则( )(A) x = a 是f (x)的极小值点.(B) x = a 是f (x)的极大值点.(C) (a, f(a)是曲线y= f(x)的拐点.(D) x =a不是f (x)的极值点, (a, f(a)也不是曲线y=f(x)的拐点.(2) 设函数其中则g(x)在区间(0,2) 内( )(A)无界 (B)递减 (C) 不连续 (D) 连续(3) 设其中A 可逆,则等于( )(A) (B) (C) (D).(4) 设A 是n 阶矩阵，是n维列向量.若，则线性方程组( )AX =必有无穷多解 AX = 必有惟一解.仅有零解 必有非零解.(5) 将一枚硬币重
3、复掷n 次,以X和Y 分别表示正面向上和反面向上的次数,则X和Y的相关系数等于( )(A) -1 (B) 0 (C) (D) 1三 、(本题满分5 分)设u= f(x,y,z)有连续的一阶偏导数,又函数y=y(x)及z=z(x)分别由下列两式确定:和求.四 、(本题满分6 分)已知f (x)在(,+)内可导,且 求c的值.五 、(本题满分6 分)求二重积分的值,其中D 是由直线y=x, y= 1及x =1围成的平面区域六、(本题满分7 分)已知抛物线(其中p0)在第一象限与直线x+y=5相切，且此抛物线与x轴所围成的平面图形的面积为S.(1) 问p和q为何值时，S达到最大? (2)求出此最大值
4、.七、(本题满分6 分)设f (x)在0,1上连续,在(0,1)内可导,且满足证明至少存在一点(0,1), 使得八、(本题满分7 分)已知满足(n为正整数)且求函数项级数之和.九、(本题满分9 分)设矩阵已知线性方程组AX =有解但不唯一,试求:(1) a的值;(2) 正交矩阵Q,使为对角矩阵.十、(本题满分8 分)设A为n阶实对称矩阵，(A)=n，是中元素的代数余子式(i,j =1,2,n)，二次型(1) 记写成矩阵形式，并证明二次型的矩阵为;(2) 二次型与的规范形是否相同？说明理由.十一、(本题满分8 分)一生产线生产的产品成箱包装,每箱的重量是随机的,假设每箱平均重50 千克,标准差为5千克.若用最大载重量为5 吨的汽车承运,试利用中心极限定理说明每辆车最多可以装多少箱,才能保障不超载的概率大于0.977. (2)=0.977,其中(x) 是标准正态分布函数).十二、(本题满分8 分)设随机变量X 和Y 对联和分布是正方形G=(x,y)|1x3,1y3上的均匀分布，试求随机变量U= 的概率密度
