《2013级研究生数学物理方程复习资料2013年12月new.doc》由会员分享，可在线阅读，更多相关《2013级研究生数学物理方程复习资料2013年12月new.doc（15页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、实例1.求解定解问题：解：设，代入方程分离变量整理得，代入条件边界条件有，从而求得固有值，固有函数，联合情况，可有固有值，固有函数，代入固有值，并可求出因此满足边界条件的解为代入初值条件得，从而得原问题的解：2.用分离变量法求解下列矩形域上的边值问题：解：，其中满足常微分方程边值问题，解该问题得，于是得满足的定解问题：设，代入方程分离变量整理得，代入条件边界条件有，求得固有值为，故有函数为代入固有值求得则得解代入条件的边界条件，得到从而得问题的解：则原问题的解为3.用Fourier变换求解半平面上的Dirichlet问题：解：对作Fourier变换，记则有 ，方程的通解为代入条件得于是，对上式
2、作Fourier逆变换得4.求解定解问题：解：把问题分解为如下两个定解问题：（）和（）用分离变量法解问题（）得解为，代入初值条件求得于是用齐次化原理求出问题（）的解为其中，于是由于得到最后求得原问题的解为5.证明：在变换下，Cauchy问题有解的充分必要条件是，其中是任意常数，而且，如果方程有解，则解不唯一证明：设变换，代入方程化简得积分求得其中是任意函数代入边界条件，可得这说明如果原问题有解，则上式一定成立；反之，如果上式成立，直接验证可知是原问题的解因为是任意常数，故解不唯一6. 用Laplace变换求解一阶偏微分方程的定解问题：解：对变量施行Laplace变换，记，则利用变换性质，方程为
3、 解得方程的通解为代入条件可得从而得取逆变换得问题的解7.求解初值问题：解：对方程积分两次得 ，其中分别为的任意函数，代入条件可得从而得原问题的解：8. 求定解问题的解解：设 代入原方程并分离变量得，以及6分求得，以及 从而得到解其中，, 9.求解薄膜的恒定表面浓度扩散问题薄膜厚度为，杂质从两面进入薄膜，由于薄膜周围气体中含有充分的杂质，薄膜表面上的杂质浓度得以保持为恒定的，其定解问题为求解解：作代换，代入定解问题得利用分离变量法求得问题的固有值为：，固有函数为，并代入固有值求得，于是代入条件可求得系数则解因此，10.求解下列定解问题：解：设代入方程分离变量得到，由边界条件得解得固有值，固有函
4、数另求得方程的解，从而得到解 代入初值条件求得，从而得解为11.求定解问题: 12.在扇形区域内求下列定解问题：的解解：设代入原方程并分离变量得，以及求得固有值固有函数把固有值代入的方程并由条件求解得叠加得解为代入条件求得系数以及从而得定解问题的解为13. 用分离变量法求解下列初边值问题：解：第步边界条件齐次化设，其中与具有相同的边界条件，满足边界条件由第一个等式可设，将它代入第二个方程求得所以，于是有满足的定解问题第步分离变量，求固有值问题设代入方程分离变量得到，由边界条件得解得固有值，固有函数第三步应用广义Fourier展开解非齐次方程对应常微分方程的初值问题关于的方程非齐次项显然只有一个
5、系数，其它同理，展开为，其它因此方程的解为系数满足：当时，有当时，有解前一方程得第四步利用叠加原理确定原来方程的解显然，最终得到14. 一根长为的枢轴，它的初始温度为，其两端温度保持为度，试求在枢轴上温度的分布情况。解：问题归结为定解问题：设代入方程并分离变量得 （4）和 （5）求得方程（1）的通解为， 由边界条件得，代入通解可求得 ，固有值于是固有函数 解方程(2)得从而得解 代入初始条件得从而得 则原问题的解为 15. 在矩形域内求Laplace方程的解，使之满足边界条件：解：设拉普拉斯方程为 （1）令，代入（1）得 （2） （3）由边界条件得到 在时，方程（3）的通解为 代入条件得于是有
6、 将代入（2）得通解为于是有解 由边界条件 得代入得原问题的解 16. 求解定解问题其中为充分光滑的已知函数。作代换 证明：该定解问题的解为解：作代换 代入原方程化得，因此原问题化为积分得方程（1）的通解为， 为光滑函数代入条件（2）（3）解得，从而 ,代入变换式得原问题的解为17. 求解一维热传导方程，其初始条件及边界条件为解：设，代入方程并分离变量得 （1） 和 （2）求得方程（1）的通解为，由边界条件得，代入通解可求得，由 所以有固有值于是固有函数 解方程(2)得 ，从而得解代入初始条件得, 从而得， 则原问题的解为18. 求解混合问题：的解解：设，代入将原问题化为：设代入方程分离变量得到，由边界条件得, 解 得固有值，固有函数另求得方程的解，从而得到解代入初值条件求得， 而有解，则原问题的解为 19.利用变换法求初值问题 的解解：对变量施行傅立叶变换得以及求得问题的解，取逆变换得而，于是原问题解为20. 求解定解问题
