《1356编号微积分在物理竞赛中的应用整理-人教版》由会员分享，可在线阅读，更多相关《1356编号微积分在物理竞赛中的应用整理-人教版（17页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、 求解在立体斜面上滑动的物体的速度求解在立体斜面上滑动的物体的速度 一物体放在斜面上， 物体与斜面间的摩擦因数恰好满足，为斜面的倾角。tg 今使物体获得一水平速度而滑动，如图一， 0 V 求： 物体在轨道上任意一点的速度 V 与的关 系，设为速度与水平线的夹角。 解 ： 物体在某一位置所受的力有 ： 重力，弹G 力以及摩擦力。摩擦力总是与运动速度 V 的方向相反，其数值N f f sincoscosmgmgtgmgNf 重力在斜面上的分力为，如图二，将 1 G 1 G 分解为两个分力 ：是沿轨迹切线方向的分力， ； 1 G 1 Gsinsinsin 11 mgGG 1 G 是沿轨迹法向的分力，
2、如图三。cossincos 11 mgGG 根据牛顿运动定律，得运动方程为 （1） mafG 1 （2） n maG 1 由（1） ， ) 1(sinsin)sinsinsin( 1 gmgmg m a 而 得到, dt dV a （3）,) 1(sinsindtgdV 式中是 t 的函数，但是这个函数是个未知函数，因此还不能对上式积分，要设法在 与 t 中消去一个变量，才能积分，注意到 （4） d d ds VV dS dt 1 而表示曲线在该点的曲率半径，根据（2）式， d ds （5） 2 cossin V mmg 由式（3） （4） （5） ，可得到 ,)sec(dtg V dV ，
3、dtg V dV V V 0 0 )sec( 积分，得到 ，)sin1ln()ln(seccoslnln 0 tg V V . sin1 0 V V 运用积分法求解链条的速度及其时间运用积分法求解链条的速度及其时间 一条匀质的金属链条，质量为 m，挂在一个光滑的钉子上，一边长度为，另一边长 1 L 度为而且，如图一。试求：, 2 L 12 0LL 链条从静止开始滑离钉子时的速度和所需要的时间。 解：设金属链条的线密度为当一边长度为. 21 LL m ，另一边长度为时受力如图二所示，则根据牛xL 1 xL 2 顿运动定律，得出运动方程 ,)()( 11 axLTgxL .)()( 22 axLg
4、xLT 则. 2)( 21 21 g LL xLL a 因为，所以 dx VdV dt dx dx dV dt dV a , 2)( 21 21 g LL xLL dx VdV xV gdx LL xLL VdV 0 21 21 0 2)( .)( 2 2 21 21 xxLL LL g V 令可以求得链条滑离钉子时的速度大小, 2 Lx 21 21 2 LL gLL V 再由得到, dt dx V 2 21 21 )( 2 xxLL LL g dt dx , 2 0 21 02 21 dt LL g xxLL dx tx ）（ 积分，得到 , 2 )(2)(2ln 21 0 2 2121 t
5、 LL g xxLLLLx x , 2 )(2)(2 ln 2121 2 2121 t LL g LL xxLLLLx 令 x=,可以求得链条滑离钉子所需的时间为 2 L .ln 2 2 ln 2 21 21 21 21 2121 21 LL LL g LL LL LLLL g LL t 求解棒下落过程中的最大速度求解棒下落过程中的最大速度 在密度为的液体上方有一悬挂的长为 L,密度为的均匀直棒， 棒的下端刚与液面接 1 2 触。今剪断细绳，棒在重力和浮力的作用下下沉，若，求： 21 棒下落过程中的最大速度。 解：剪断细绳后，直棒在下沉过程中受到重力G 和浮力的作用，如图一所示。根据牛顿运动定
6、律，F 有 （1）. dt dV mFmg 随着棒往下沉， 浮力逐渐增大。 当直棒所受合力为零， 即时， 棒的加速度为零，速度最大。 设棒达到最大mgF 速度时， 棒浸入液体中的长度为，设棒的截面积为 S，则 1 L 有 , 211 SLggSL 解得， （2）. 1 2 1 LL 取 x 坐标如图所示，则（1）式可以写为 . 212 dt dV SLSxgSLg 做变量代换，令代入上式，得到, dx dV V dt dx dx dV dt dV ;)1 ( 2 1 VdVgdx L x 两边积分，得到 11 00 2 1 )1 ( VL VdVgdx L x 得到， 2 1 2 1 2 1
7、1 2 1 ) 2 1 (VL L g gL 将（2）式代入（3）式，得棒的最大速度为. 1 2 1 LgV 运用微分法求解阻尼平抛运用微分法求解阻尼平抛 质量为 m 的物体，以初速为，方向与地面成角抛出。如果空气的阻力不能忽略， 0 V 0 并设阻力与速度成正比，即，k 为大于零的常数。求：Vkf 物体的运动轨道。 解：根据受力情况，列出牛顿运动定律方程 amfgm 其分量式， （1）, xxx makVf （2） yy makVmg 将代入式（1） ，得 dt dV a x x , dt dV mkV x x 改写成,dt m k V dV x x x x V V t x x dt V d
8、V 0 0 , m k 两边积分，得到 .cos 00 t m k t m k xx eVeVV 可见由于空气阻力的存在，x 方向的速度不再是常数，而随时间逐渐衰减。由于 再积分，并以 t=0 时 x=0,代入得到, dt dx Vx （3）).1 ( cos )1 ( 000 t m k t m k x e k V e k mV x 同理，由于式（2）转化为, dt dV a y y ),( yy y V k mg m k V m k g dt dV .dt m k V k mg dV y y 积分，并以 t=0 时，代入，得到 000 sinVVV yy .)sin( 00 k mg e
9、k mg VV t m k y 可见，y 方向的速度也不再是匀减速的。再将上式对时间积分，并以 t=0 时 y=0 代入， 得到 （4）.)1)(sin( 00 t k mg e k mg V k m y t m k 由（3） （4）两式消去 t,得到有阻力时的轨道方程 ). cos 1ln() cos 1ln() cos ( 0 2 2 00 2 2 00 0 x mV k k gm x mV k k gm x kV mg tgy 显然由于空气阻力的作用，抛体的轨道不再是简单的抛物线了，实际轨道将比理想轨 道向左下方偏离，如图一。 例如：以初速 620m/s,仰角发射的步枪子弹的射程，没有空
10、气阻力时应为 40km,而 0 45 实际射程只有 4km. 求解飞机的滑行距离求解飞机的滑行距离 飞机以的水平速度触地滑行着陆。 滑行期间受到空气的阻力为， 升力为， 0 V 2 VCx 2 VCy 其中 V 是飞机的滑行速度。设飞机与跑道间的摩擦系数为，试求： 飞机从触地到停止所 滑行的距离。 解：取飞机触地点为 坐标原点，取飞机滑行方 向为 x 轴。飞机在水平方 向 上 受 力 为 ： 摩 擦 力 ，空 气 阻 力 为Nf ； 在竖直方向 2 VCf x 上受力为：重力、支持力 和 升 力如 图, 2 VCF y 一所示，应用牛顿第二定 律，得到 dt dV mVCN x 2 . 0 2
11、 mgVCN y 由上两式消去 N，得到 .)( 2 VCCmg dt dV m yx 利用, dx dV V dt dx dx dV dt dV 得到.)( 2 VCCmg dx dV mV yx 分离变量，积分 ， V V x yx dx VCCmg mVdV 0 0 2 )( 得到. )( )( ln )(2 2 0 2 VCCmg VCCmg CC m x yx yx yx 在飞机触地的瞬间，支持力 N=0,由运动方程，得到, 0 VV . 2 0 mgVCy 于是. )( ln )(2 2 0 22 0 2 0 VC VCCVC CCg VC x x yxy yy y 这就是飞机从触
12、地到停止所滑行的距离。 社（升阻比） ，。代入数值计算后，得到5,/90 0 x y C C hkmV10 . 0 x=221m. 求解阻尼自由落体和阻尼竖直上抛的相遇问题求解阻尼自由落体和阻尼竖直上抛的相遇问题 两小球的质量均为 m，小球 1 从离地面高度为 h 处由静止下落，小球 2 在小球 1 的正 下方地面上以初速同时竖直上抛。设空气阻力与小球的 0 V 运动速率成正比，比例系数为 k(常量)。试求： 两小球相遇的时间、地点以及相遇时两小球的速度。 解：两小球均受重力和阻力作用，取坐标如图一所 示，两小球的运动方程可统一表示为 , 2 2 mgkV dt yd m 它们运动状态的差别仅
13、由于初始条件的不同而引起 的，故 ,gV m k dt dV 分离变量 .dt gV m k dV 对于小球 1，初始条件为时，故0t, 0 1010 hyV , 1 00 Vt dt gV m k dV (1) ).1 ( 1 t m k e k mg V 对于小球 2，初始条件是 t=0 时，故, 0, 20020 yVV 1 0 , 0 V V t dt g m k dV 得到 （2）. 02 k mg e k mg VV t m k ）（ 由（1）式，得到 ),1 ( 1 t m k e k mg dt dy dte k mg dy t m k )1 ( 1 1 0 1 )1 ( y
14、h tt m k dte k mg dy 积分，得到 .)1 ( 2 2 1 t k mg e k gm hy t m k 由式（2）得到 ,)( 0 2 k mg e k mg V dt dy t m k dt k mg e k mg Vdy t m k )( 02 dt k mg e k mg Vdy tt m k y 0 0 0 2 )( 2 积分，得到 t k mg e k mg V k m y t m k )( 02 两小球相遇时，相遇时间为，由（3（4）两式，得到, 21 yy * t ，)1 ( * 0 t m k eV k m h ,1 0 * mV kh e t m k 故)
15、,1ln( 0 * mV kh k m t 把上述结果代入（3）或者（4） ，得到两小球相遇的地点 ).1ln()1 ( 0 2 2 0 * mV kh k gm h kV mg y 代入（1） （2） ，得到两小球相遇时的速度 ;)1 (1 00 * 1 V gh mV kh k mg V .)()1)( 0 0 0 0 * 2 m kh V gh V k mg mV kh k mg VV 讨论：（1）当阻力很小时，即当时，利用展开式0k , 2 )1ln( 2 x xx 上述结果简化为 .,; 2 ; 0 0 * 2 0 * 1 2 0 * 0 * V gh VV V gh V V gh hy V h t 这正是不考虑空气阻力时的结果。 （2）当考虑如提设的空气阻力时，由上述结果可知，只在下述条件下 或者, 0 khmV , 0 m kh V 两小球才有可能相遇。 在非惯性系中求解球环系统的运动情况在非惯性系中求解球环系统的运动情况 一轻绳的两端分别连接小球 A 和小环 B，球与环的质量相等，小环 B 可在拉紧的钢丝 上作无摩擦的滑动，如图一。现使小球在图示的平面内摆动。求： 小球摆离铅垂线的最大角度时小环和小球的加速度。 解：当小球摆动时，小环沿钢丝做加速运动。
