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1、1 / 5 第七章 解三角形 一、基础知识 在本章中约定用 A， B， C 分别表示ABC 的三个内角， a, b, c 分别表示它们所对的各边长， 为半周长。 2 cba p 1正弦定理：=2R（R 为ABC 外接圆半径） 。 C c B b A a sinsinsin 推论 1：ABC 的面积为 SABC=.sin 2 1 sin 2 1 sin 2 1 BcaAbcCab 推论 2：在ABC 中，有 bcosC+ccosB=a. 推论 3：在ABC 中，A+B=，解 a 满足，则 a=A. )sin(sina b a a 正弦定理可以在外接圆中由定义证明得到，这里不再给出，下证推论。先证
2、推论 1，由 正弦函数定义，BC 边上的高为 bsinC，所以 SABC=； 再证推论 2，因为 B+C=-A，Cabsin 2 1 所以 sin(B+C)=sinA， 即 sinBcosC+cosBsinC=sinA， 两边同乘以 2R 得 bcosC+ccosB=a； 再证推论 3， 由正弦定理，所以，即 sinasin(-A)=sin(-a)sinA，等价 B b A a sinsin )sin( )sin( sin sin A a A a 于cos(-A+a)-cos(-A-a)=cos(-a+A)-cos(-a-A)， 等 价 于 cos(-A+a)=cos(- 2 1 2 1 a+
3、A)，因为 0-A+a，-a+A. 所以只有-A+a=-a+A，所以 a=A，得证。 2余弦定理：a2=b2+c2-2bccosA，下面用余弦定理证明几个常 bc acb A 2 cos 222 用的结论。 （1）斯特瓦特定理：在ABC 中，D 是 BC 边上任意一点，BD=p，DC=q，则 AD2= （1）. 22 pq qp qcpb 【证明】 因为 c2=AB2=AD2+BD2-2ADBDcos，ADB 所以 c2=AD2+p2-2ADpcos.ADB 同理 b2=AD2+q2-2ADqcos， ADC 因为ADB+ADC=， 所以 cosADB+cosADC=0， 所以 q+p得 qc
4、2+pb2=(p+q)AD2+pq(p+q)，即 AD2=. 22 pq qp qcpb 注：在（1）式中，若 p=q，则为中线长公式. 2 22 222 acb AD 2 / 5 （ 2） 海 伦 公 式 ： 因 为b2c2sin2A=b2c2 (1-cos2A)=b2c2 4 1 2 ABC S 4 1 4 1 (b+c) -a2a2-(b-c) 2=p(p-a)(p-b)(p-c). 16 1 4 )( 1 22 2222 cb acb 2 这里. 2 cba p 所以 SABC=).)()(cpbpapp 二、方法与例题 1面积法。 例 1 （ 共 线 关 系 的 张 角 公 式 ）
5、如 图 所 示 ， 从 O 点 发 出 的 三 条 射 线 满 足 ，另外 OP，OQ，OR 的长分别为 u, w, v，这里 ，+(0, )，QORPOQ, 则 P，Q，R 的共线的充要条件是 . )sin(sinsin wvu 2正弦定理的应用。 例 2 ABC 内有一点 P，使得BPC-BAC=CPA-CBA=APB-ACB。 求证：APBC=BPCA=CPAB。 例 3 ABC 的各边分别与两圆O1，O2相切，直线 GF 与 DE 交于 P，求证：PABC。 3 一个常用的代换 ： 在ABC 中， 记点 A， B， C 到内切圆的切线长分别为 x, y, z， 则 a=y+z, b=z
6、+x, c=x+y. 例 4 在ABC 中，求证：a2(b+c-a)+b2(c+a-b)+c2(a+b-c)3abc. 4三角换元。 例 5 设 a, b, cR+，且 abc+a+c=b，试求的最大值。 1 3 1 2 1 2 222 cba P 3 / 5 例 6 在ABC 中，若 a+b+c=1，求证: a2+b2+c2+4abcb”是“sinAsinB”的_条件. 6在ABC 中，sinA+cosA0, tanA-sinA1，则ABC 为_角三角形. 11三角形有一个角是 600，夹这个角的两边之比是 8：5，内切圆的面积是 12，求 这个三角形的面积。 12已知锐角ABC 的外心为
7、D，过 A，B，D 三点作圆，分别与 AC，BC 相交于 M，N 两点。求证：MNC 的外接圆半径等于ABD 的外接圆半径。 13已知ABC 中，sinC=，试判断其形状。 BA BA coscos sinsin 四、高考水平训练题 1在ABC 中，若 tanA=, tanB=，且最长边长为 1，则最短边长为_. 2 1 3 1 2已知 nN+，则以 3，5，n 为三边长的钝角三角形有_个. 3已知 p, qR+, p+q=1，比较大小：psin2A+qsin2B_pqsin2C. 4在ABC 中，若 sin2A+sin2B+sin2C=4sinAsinBsinC，则ABC 为_角三角形. 5
8、若 A 为ABC 的内角，比较大小：_3.A A cot 8 cot 6若ABC 满足 acosA=bcosB，则ABC 的形状为_. 7满足 A=600，a=, b=4 的三角形有_个.6 4 / 5 8设为三角形最小内角，且 acos2+sin2-cos2-asin2=a+1，则 a 的取值范围是 2 2 2 2 _. 9A，B，C 是一段笔直公路上的三点，分别在塔 D 的西南方向，正西方向，西偏北 300 方向，且 AB=BC=1km，求塔与公路 AC 段的最近距离。 10求方程的实数解。xyxyyx11 11求证：. 20 7 20sin 3 1 0 五、联赛一试水平训练题 1在ABC
9、 中，b2=ac，则 sinB+cosB 的取值范围是_. 2在ABC 中，若，则ABC 的形状为_. BA CA C B cos2cos cos2cos sin sin 3对任意的ABC，-(cotA+cotB+cotC)，则 T 的最大值为 2 cot 2 cot 2 cot CBA T _. 4在ABC 中，的最大值为_.CB A sinsin 2 sin 5平面上有四个点 A，B，C，D，其中 A，B 为定点，|AB|=，C，D 为动点，且3 |AD|=|DC|=|BC|=1。记 SABD=S，SBCD=T，则 S2+T2的取值范围是_. 6 在ABC 中， AC=BC， O 为ABC
10、 的一点，ABO=300， 0 80ACB 0 10OAB 则ACO=_. 7在ABC 中，ABC，则乘积的最大值为_，最小 6 2 cos 2 sin 2 cos CBA 值为_. 8在ABC 中，若 c-a 等于 AC 边上的高 h，则=_. 2 cos 2 sin CAAC 9如图所示，M，N 分别是ABC 外接圆的弧，AC 中点，P 为 BC 上的动点，PMAB 交 AB 于 Q，PN 交 AC 于 R，ABC 的内心为 I，求证：Q，I，R 三点共线。 10 如图所示， P， Q， R 分别是ABC 的边 BC， CA， AB 上一点， 且 AQ+AR=BR+BP=CQ+CP。 求证
11、：AB+BC+CA2（PQ+QR+RP） 。 11 在ABC外作三个等腰三角形BFC， ADC， AEB， 使BF=FC， CD=DA， AE=EB，ADC=2 BAC，AEB=2ABC，BFC=2ACB，并且 AF，BD，CE 交于一点，试判断ABC 的形 状。 六、联赛二试水平训练题六、联赛二试水平训练题 1已知等腰ABC，AB=AC，一半圆以 BC 的中点为圆心，且与两腰 AB 和 AC 分别相切 于点 D 和 G，EF 与半圆相切，交 AB 于点 E，交 AC 于点 F，过 E 作 AB 的垂线，过 F 作 AC 的垂线，两垂线相交于 P，作 PQBC，Q 为垂足。求证：，此处=B。
12、sin2 EF PQ 2 设四边形 ABCD 的对角线交于点 O， 点 M 和 N 分别是 AD 和 BC 的中点， 点 H1， H2（不 重合）分别是AOB 与COD 的垂心，求证：H1H2MN。 5 / 5 3已知ABC，其中 BC 上有一点 M，且ABM 与ACM 的内切圆大小相等，求证： ，此处(a+b+c), a, b, c 分别为ABC 对应三边之长。)(aPPAM 2 1 P 4 已知凸五边形 ABCDE， 其中ABC=AED=900，BAC=EAD， BD 与 CE 交于点 O， 求证：AOBE。 5已知等腰梯形 ABCD，G 是对角线 BD 与 AC 的交点，过点 G 作 E
13、F 与上、下底平行， 点 E 和 F 分别在 AB 和 CD 上，求证：AFB=900的充要条件是 AD+BC=CD。 6AP，AQ，AR，AS 是同一个圆中的四条弦，已知PAQ=QAR=RAS，求证：AR （AP+AR）=AQ（AQ+AS） 。 7已知一凸四边形的边长依次为 a, b, c, d，外接圆半径为 R，如果 a2+b2+c2+d2=8R2，试 问对此四边形有何要求？ 8 设四边形 ABCD 内接于圆， BA 和 CD 延长后交于点 R， AD 和 BC 延长后交于点 P，A， B，C 指的都是ABC 的内角， 求证 ： 若 AC 与 BD 交于点 Q， 则. coscoscos BQ B CR C AP A 9设 P 是ABC 内一点，点 P 至 BC，CA，AB 的垂线分别为 PD，PE，PF（D，E，F 是 垂足） ，求证：PAPBPC(PD+PE)(PE+PF)(PF+PD)，并讨论等号成立之条件。
