《978编号竞赛辅导第14节 综合除法、余数定理(含答案)-》由会员分享，可在线阅读，更多相关《978编号竞赛辅导第14节 综合除法、余数定理(含答案)-（5页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、 - 1 - 第五节 综合除法、余数定理第五节 综合除法、余数定理 内容讲解 内容讲解 一般地，多项式 f（x）除以一次多项式（x-a）的商式系数和余数有如下规律：商式的最 高次项系数就是f（x）（按降幂排列后）的第一项系数，把这个数乘以b后再加上f（x）的第二 项系数就得商的次商为次项系数，如此类推最后得余数，这种方法叫做综合除法 余数定理：多项式 f（x）除以（x-a）所得的余数等于 f（a）如果 f（x）能被（x-a）整除，也 就是 （x-a）是 f（x）的因式反之，如果 （x-a）是 f（x）的因式，那么 f（x）能被 （x-a）整除因此， 由余数定理，容易得出： 因式定理：如果 f（
2、a）=0，那么（x-a）是 f（x）的因式，反之，如果（x-a）是 f（x）的因式， 那么 f（a）=0 例题剖析 例题剖析 例 1 例 1 用综合除法求（3x3+5x2-2）除以（x+3）的商式和余数 分析：整式的除法我们可以用竖式法和分离系数法，这里我们主要是熟悉综合除法 解：把除式变成（x-a）形为 x-（-3） 如右式所示： 3 -4 12 -38 -9 12 -36 -3 3 5 0 -2 所以商式3x2-4x+12 余数38 评注： 评注：在用综合除法时，被除式和除式均按降幂排列，其缺项要用“0”补项除式 一定要变成（x-a）的形式若 f（x）的除式为 px-q 形（p0），可先变
3、除式为：p（x-）。再 q p - 2 - 用综合除法求出除以（x-）的商式 Q（x）和余数 k，则 f（x）（px-q）的商式为 Q（x）= q p Q（x），余数 R=R 1 p 例 2 例 2 分解因式 x4+2x3-9x2-2x+8 分析 ：原式可能有 x1，x2，x4，x8 因式，由于 f（1）=0，f（-1）=0，所以由因式定 理，原多项式含有（x-1）（x+1）这两个因式，然后用综合除法即可求解 解：f（1）=0，f（-1）=0，原式中含有（x-1）和（x+1）这两个因式由综合除法得： 原式（x-1）（x+1）（x-2）（x+4） 评注 ： 评注 ：（1）如果多项式 f（x）中各
4、项系数的和等于零，那么 f（x）有一次因式（x-1）；若奇次 项的系数的和等于偶次项系数的和，则 f（x）有一次因式（x+1），记住这个结论很有用 （2）本题用分组分解也较简单，请同学们自己求解 例 3 例 3 已知 x+x-6 是多项式 2x4+x3-ax2+6x+a+b-1 的因式，求 a，b 的值 分析：此题如果用以前的方法求解，就显得特别的繁琐，但用因式定理就比较简单 解：x2+x-6=（x+3）（x-2），又 x2+x-6 是多项式 2x4+x3-ax2+bx+a+b-1 的因式 x+3，x-2 是它的两个因式由因式定理，得 f（-3）=0，f（2）=0，即 432 42 2 ( 3
5、)( 3)( 3)( 3)10 2 22210 abab abab a=16，b=3 评注：评注：因式定理在因式分解及其他地方得到广泛的应用，必须高度重视并熟悉掌握 例 4 例 4 2x+1 除 6x4-5x3-3x2-x+4 所得的余数 分析：我们可以用竖式除法，分离系数法和综合除法求此题的余数，这里我们主要尝试 余数定理求解 解：2x+1=2x-（-） 1 2 - 3 - 由余数定理，得：r=f（-）=6（-）4-5（-）3-3（-）2-（-）+4=4 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 3 4 评注： 评注：余数定理可以直接求多项式 f（x）除以（x-a）式除以（px-q）的余数 例
6、 5 例 5 证明：（1）对任意自然数 n，an-bn能被（a-b）整除 （2）当 n 为偶数时,an-bn能被（a+b）整除； （3）当 n 为奇数时，an-bn被（a+b）除的余数为-2b 分析：如果我们把 an-bn看成是字母 a 或 b 的多项式 f（a）或 f（b），问题就转化为 f（a） 或 f（b）被（a-b）或（b-a）整除的问题，于是可用余数定理求解 证明：把 an-bn看成是字母 a 的多项式 f（a） （1）对任意自然数 n，当 a=b 时，f（b）=bn-bn=0，所以 f（a）=an-bn能被（a-b）整除 （2）当 n 为偶数时，f（-b）=（-b）n-bn=0，所
7、以 an-bn能被 a-（-b）=a+b 整除 （3）当 n 为奇数时，f（-b）=（-b）n-bn=-2bn，故 an-bn被（a+b）除的余数为-2bn 评注评注：正确使用余数定理，可以快捷地解答一些复杂的问题，希望读者仔细体会 巩固练习 巩固练习 1用综合除法求（2x3+x-7）（2x+1）的商式、余数 2已知 x=，求 f（x）=3x3-2x2+5 的值 9 4 - 4 - 3求证 2x+3 是 2x4-5x3-10 x2+15x+18 的因式 4利用因式分定理分解因式 x3+y3+z3-3xyz 5已知 f（x）=ax3+bx2-47x-15 可被 3x+1 和 2x-3 整除，求
8、a，b - 5 - 答案: 答案: 1商式=x2-x+ 余数=- 1 2 3 4 31 4 2用综合除法求 f（x）（x-）的余数得 f（）= 9 4 9 4 1859 64 3令 f（x）=2x4-5x3-10 x2+15x+18 f（-）=2（-）4-5（-）3-10（-）2+15（-）+18=0， 3 2 3 2 3 2 3 2 3 2 2x+3 是 f（x）的因式 4令 f（x）=x3+y3+z3-3xyz，当 x=-（y+z）时， f（x）=f（-（x+y）=-（y+z）3+y3+z3+3（y+z）yz=-（y+z）3+（y+z）3=0， 由因式定理知原式有因式 x+y+z， 又因为原式是关于 x，y，z的三次齐次式， 故令原式=（x+y+z）a（x2+y2+z2）+b（xy+yz+zx）， 比较两边 x3的系数，得 a=1，取 x=1，y=1，z=1，得 0=3（3+3b）， b=-1，故原式=（x+y+z）（x2+y2+z2-xy-yz-zx） 5由因式定理有 f（-）=0 和 f（）=0，即有 1 3 3 2 32 32 111 ()()47 () 150 333 333 ( )( )47 ( ) 150 222 ab ab 解此方程，得：a=24，b=2
