2011年高考数学一轮复习专题01 集合与函数概念(教师版)

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1、学科网2011年高考数学一轮复习资料第一章集合与函数概念第1讲集合的概念及其运算【知识精讲】1.元素和集合的关系是从属的关系，集合与集合的关系是包含的关系，二者符号表示不同.求解集合问题的关键是搞清楚集合的元素，即元素是什么，有哪些元素.2.集合的关系有子集、真子集；集合的运算有交集、并集、补集和相等.常常借助Venn图、数轴和函数图象进行有关的运算，使问题变得直观，简洁.3.空集是不含任何元素的集合，因其特殊常常容易忽略.在解题中，若未能指明集合非空时，要考虑到空集的可能性，如AB,则有A=或A两种可能，此时应分类讨论.【基础梳理】1.集合与元素（1）集合元素的三个特征：_确定性_、_互异

2、性_、 _无序性_.（2）元素与集合的关系是_属于_或_不属于_关系，用符号_或_表示.(3)集合的表示法：_列举法_、_描述法_、_图示法_、 _区间法_. (4)常用数集：自然数集N；正整数集N*（或N+）;整数集Z；有理数集Q；实数集R. (5)集合的分类:按集合中元素个数划分,集合可以分为_有限集_、_无限集_、_空集_. 2.集合间的基本关系 (1)子集、真子集及其性质对任意的xA，都有xB，则（或）. 若AB，且在B中至少有一个元素xB，但xA，则_（或_）. _A；A_A；AB，BCA_C. 若A含有n个元素,则A的子集有_2n_个,A的非空子集有_2n-1_个,A的非空真

3、子集有_2n-2_个. (2)集合相等若AB且BA,则_A=B_.3.集合的运算及其性质 (1)集合的并、交、补运算并集：AB=x|xA或xB；交集：AB=_x|xA且xB_；补集：=_. U为全集，表示A相对于全集U的补集. (2)集合的运算性质并集的性质:A=A；AA=A；AB=BA；AB=ABA.交集的性质：A=；AA=A；AB=BA；AB=AAB.补集的性质：【要点解读】要点一集合的基本概念【例1】已知集合M=y|y=x21,xR,N=y|y=x1,xR，则MN=（）A（0，1），（1，2） B（0，1），（1，2）Cy|y=1,或y=2 Dy|y1【命题立意】集合M、N是用

5、不同的【变式训练】集合中有一正一负两个元素，求的值.【标准解析】因为集合有两个不同元素,所以且,设两个元素分别是,因为两个元素符号相反,所以.【技巧点拨】本题的实质是一元二次方程解的问题,解题思路有两种,一种是利用判别式和韦达定理;另一种是利用二次函数图象数形结合.【答案】由题意知,方程为一元二次方程,且有一正一负根, 设两个根分别是,则由可得.要点二集合的关系【例2】若A=2，4, 27,B=1, 1, 22,(38), 37，且AB=2，5，则实数的值是_【命题立意】本题考查了集合的表示，集合语言的理解、集合的运算，解一元一次、二次方程和分类讨论思想的应用.【标准解析】AB=2，5，27

6、=5,由此求得=2或=1 A=2,4,5，集合B中的元素是什么，它是否满足元素的互异性，有待于进一步考查当=1时，22=1，与元素的互异性相违背，故应舍去=1当=1时，B=1,0,5,2,4，与AB=2，5相矛盾，故又舍去=1当=2时，A=2，4，5,B=1,3,2,5,25，此时AB=2，5，满足题设故=2为所求【误区警示】集合元素的互异性，是集合的重要属性，教学实践告诉我们，集合中元素的互异性常常被学生在解题中忽略，从而导致解题的失败，强化对集合元素互异性的认识【变式训练】已知集合,，且则的值为_【标准解析】集合都表示方程的解集，集合,是确定，有四个子集，由而推出有四种可能，进而求出的值【

7、技巧点拨】集合是集合的子集，集合的子集有四个，故有四种情况，分别讨论即可，简易入手，思路清晰.集合不要写成=，因为可能等于1，与集合元素的互异性矛盾，另外还要考虑到集合有可能是空集，还有可能是单元素集的情况要点三集合的运算【例3】集合A=x|x25x60,B=x|x23x0，求AB和AB【命题立意】集合问题大都比较抽象，解题时要尽可能借助文氏图、数轴或直角坐标系等工具将抽象问题直观化、形象化、明朗化，然后利用数形结合的思想方法使问题灵活直观地获解【标准解析】 A=x|x25x60=x|6x1，B=x|x23x0=x|x0 如图所示， AB=x|6x1x|x0=R AB=x|6x1x|x0=x|

8、6x3，或0x1【误区警示】本题采用数轴表示法，根据数轴表示的范围，可直观、准确的写出问题的结果【变式训练】设全集U=x|0x10,xN*，若AB=3，ACUB=1，5，7，CUACUB=9，则集合A、B是_【标准解析】A=1，3，5，7，B=2，3，4，6，8【技巧点拨】本题用推理的方法求解不如先画出文氏图，用填图的方法来得简捷，由图不难看出要点四集合的应用【例4】已知集合A=x|x2(m2)x1=0,xR，若A=，则实数m的取值范围是_【命题立意】集合作为一种数学语言的工具，常用于其他章节中，并能与其综合应用.本题主要考查能否准确理解集合表示的意义.【标准解析】由A=又方程x2(m2)x

9、1=0无零根，所以该方程只有两个负根或无实数根，或=(m2)240解得m0或4m4【误区警示】解决有关AB=、AB=，AB等集合问题易忽视空集的情况而出现漏解，这需要在解题过程中要全方位、多角度审视问题【变式训练】设A=x|2x1，B=x|x2xb0，已知AB=x|x2，AB=x|1x3，求、b的值【命题立意】可在数轴上画出图形，利用图形分析解答【标准解析】如图所示，设想集合B所表示的范围在数轴上移动，显然当且仅当B覆盖住集合x|1x2，且AB=x|1x3根据二次不等式与二次方程的关系，可知1与3是方程x2xb=0的两根， =(13)=2， b=(1)3=3【技巧点拨】类似本题多个集合问题，

10、借助于数轴上的区间图形表示进行处理，采用数形结合的方法，会得到直观、明了的解题效果第2讲函数的基本概念及表示【知识精讲】1.若两个函数的对应关系一致，并且定义域相同,则两个函数为同一函数.2.函数有三种表示方法列表法、图象法和解析法，三者之间是可以互相转化的；求函数解析式比较常见的方法有代入法、换元法、待定系数法和解函数方程等，特别要注意将实际问题化归为函数问题，通过设自变量，写出函数的解析式并明确定义域，还应注意使用待定系数法时函数解析式的设法，针对近几年的高考分段函数问题要引起足够的重视. 3.求用解析式y=表示的函数的定义域时，常有以下几种情况：若是整式，则函数的定义域是实数集R

11、；若是分式，则函数的定义域是使分母不等于0的实数集；若是二次根式，则函数的定义域是使根号内的式子大于或等于0的实数集合；若是由几个部分的数学式子构成的，则函数的定义域是使各部分式子都有意义的实数集合；若是由实际问题抽象出来的函数，则函数的定义域应符合实际问题. 4.分段函数尽管在教材上没有明确的定义，但是是一个重要的函数形式，分段函数是一个函数，而不是几个函数.其图象为若干段曲线，不一定连续.【基础梳理】1.函数的基本概念（1）函数定义设A，B是非空的数集，如果按照某种确定的对应关系f,使对于集合A中的任意一个数x,在集合B中都有唯一确定的数和它对应，那么就称f:AB为从集合A

12、到集合B的一个函数，记作y=,xA.(2)函数的定义域、值域在函数y=,xA中，x叫做自变量,x的取值范围A 叫做函数的定义域；与x的值相对应的y值叫做函数值，函数值的集合|xA叫做函数的值域 .显然，值域是集合B的子集.(3)函数的三要素：定义域、值域和对应关系 .(4)相等函数：如果两个函数的定义域和对应关系完全一致，则这两个函数相等，这是判断两函数相等的依据. 2.函数的表示法表示函数的常用方法有：解析法、图象法、列表法 .3.映射的概念设A、B是两个非空集合，如果按照某种对应法则f，使对于集合A中的任意一个元素x,在集合B中都有唯一确定的元素y与之对应

13、，那么就称对应f：AB为从集合A到集合B的一个映射.4.由映射的定义可以看出，映射是函数概念的推广，函数是一种特殊的映射，要注意构成函数的两个集合A, B必须是非空数集 . 【要点解读】要点五函数与映射的概念【例5】设集合，如果从到的映射满足条件：对中的每个元素与它在中对应的元素的和都为奇数，则映射的个数是（）A.8个 B.12个 C.16个 D.18个【命题立意】主要考查学生对映射的定义的理解、推理论证能力和分类讨论思想.【标准解析】因为为奇数，所以需要给每一个元素找到对应的元素，对应的元素不同表示不同的映射，需要分类讨论.【误区警示】对映射的含义理解不准确导致错误，不会分类，【答案】为奇数，当为奇数、时，它们在中的对应的元素只能为偶数、或，由分步计数原理和对应方法有种；而当时，它在中的象为奇数或，共有种对应方法故映射的个数是故选D.注：理科的同学可用上述方法，文科的同学可以一一枚举，然后查个数.【变式训练】A=1，2，3，4，5，B=6，7，8从集合A到B的映射中满足的映射有（）A.27 B.9 C.21 D.12【标准解析】因为对应关系的存在，、都必须有确定的值，并且满足“”的关系，要么取“小于”要么取“等于”，所以可以根据等号的个数进行分类讨论.【技巧点拨】熟练掌握映射的概

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