《弹性力学-第3章 1－3 平面问题的直角坐标解答》由会员分享，可在线阅读，更多相关《弹性力学-第3章 1－3 平面问题的直角坐标解答（26页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、第三章 平面问题的直角坐标解答,3.1 逆解法与半逆解法多项式解答,求解任何一个体力为常量的问题，只需要找到一个双调和函数(应力函数)，如果它满足应力边界条件和位移单值条件，则就是该问题的解答。,所以问题简化为只求一个未知量双调和函数,如此求出的应力必然满足平衡方程,“试算法”求解思路的讨论,1. 找一个双调和函数，看它能够满足什么边界条件。然后肯定：把这个边界条件加到物体上，则根据唯一性定理，这个双调和函数所对应的解答就是正确解。 2. 所谓逆解法和半逆解法本质上是一种由根据的猜测。它们能够成立的根本条件是唯一性定理。,平面问题的多项式解答(逆解法),（3）结论：线性函数对应于无荷载的情况，
2、所以应力函数 的线性项不影响应力分布，研究问题时可舍去。,（2）根据（223）求出应力分量；,1. 一次函数,无体积力，考察其能解决的问题。,（1）检查是否满足,能被满足,（4）二次式解决的问题小结,能解决图（a）的问题,考察其能解决的问题,按照以上步骤很容易得到结果,应力分量,能满足的边界条件为,对于,能解决图（）的问题,能解决图（）的问题,对于,对于,三次函数,2）根据（223）求出应力分量；,（体力不计）考察它能解决什么问题,1）检查是否满足,带入计算后可以知道显然 满足相容方程,3）用应力边界条件(2-15)边确定相对应的面力分量。,a）检查上、下边界（主边界）,由：,说明上、下边界没
3、有面力。,b）检查左、右边界（次边界）,由：,解决矩形截面梁纯弯曲问题,3.2矩形截面梁的纯弯曲-逆解法,一. 计算模型,矩形截面梁，不计体力,考察两种情形：,1）宽度远小于深度和长度（平面应力）,2）宽度远大于深度和长度（平面应变）,取单位宽度梁研究：令单位宽度上力偶的矩为M,注：这里假设已知两端的力矩M，采用逆解法求解。 M的量纲为力长度/长度=力）,1.逆解法框图,选择应力函数,YES,求应力分量,NO,满足几何边界条件？,YES,结论,NO,2.步骤（已知面力）,a）假设一个应力函数；,b）检查是否满足,c）根据（223）求应力分量；,d）检查所求应力分量能满足什么样的应力边界条件（2
4、-15）边。,一. 逆解法,e)得出函数能解决何种问题,二. 求应力,3）根据（223）求出应力分量；,1）假设应力函数；,2）检查是否满足（2-24）容,显然满足,三. 边界条件,1）检查上、下边界（主边界）,准确满足,b）检查左、右边界（次边界）,满足,要求当 时,满足,满足,故所求应力分量：,（31）,与材力完全相同,1）组成梁端力偶的面力必须按线性分布，解答才是完全精确的。按其它形式分布有误差。（即解答为圣维南原理意义下的精确解）。,2）由圣维南原理，不同的面力分布形式，解答只在两端有误差。（对于Lh的梁）离两端较远处，解答是有实用价值的。对于L与h尺寸差不多的梁，（3-1）则无实用价
5、值。 （用简单多项式不能获得有用解答） 3) 材料力学的公式在梁端一般是不适用的。,讨论,3-3 纯弯曲梁的位移分量,求应变分量：,由物理方程,由(1)、(2)积分：,u、v必须满足式,将u、v代入,二. 求位移分量：,用几何方程积分,改写为：,要使上式成立，必有,其中u0，v0为常量,故：,其中、 u0，v0为常数，须由约束条件求出,讨论：,1. 证明平面假设是正确的,由,无论约束情况如何（即、uo、vo 取何值）铅垂线段的转角,对于同一截面，x为常量,也为常量，即横截面保持平面,2、梁的各纵向纤维的曲率,由,三. 满足约束条件,1）简支梁,按约束确定位移中待定常数,代入位移条件后得：,位移
6、分量：,梁的挠曲线方程：,由约束条件,2）悬臂梁,（1）假设截面中点A无位移且过该点的截面法线不转动,在梁右端（x=L）： 对于y的任何值,要求：,多项式解答无法满足，在工程实际中难以实现。,端部两种约束：设某一点不移动，某一条线段不转动。,以（1）为例研究：,代入后：,位移分量：,梁轴线的挠度方程：,转角方程：,注：1)对于平面应变问题：,2)若以,代入，确定为移分量，结果如何？请同学们自己推出。,Thank Everybody !,二.半逆解法：,1.半逆解法框图,由边界条件选择某应力的函数式,YES,求应力分量,NO,满足边界条件吗?,YES,结论,NO,d）根据（2-23）求应力分量,e）检查所求应力分量是否满足应力边界条件（2-15）边。,a）根据边界条件选择假设某应力的函数式,积分求函数,2.步骤,b).对应力的函数式积分求应力函数,c）检查是 否满足,f)得出问题的解,
