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1、第- 1 -页 共 31 页 二次函数知识点 一、基本概念： 1二次函数的概念：一般地，形如（是常数，）的函数，叫做二次函数。 2 yaxbxcabc，0a 这里需要强调：和一元二次方程类似，二次项系数，而可以为零二次函数的定义域是0a bc， 全体实数 2. 二次函数的结构特征： 2 yaxbxc 等号左边是函数，右边是关于自变量的二次式，的最高次数是 2xx 是常数，是二次项系数，是一次项系数，是常数项abc，abc 二、基本形式 1. 二次函数基本形式：的性质： 2 yax a 的绝对值越大，抛物线的开口越小。 2. 的性质：（上加下减） 2 yaxc 的符号a开口方向 顶点坐 标 对称
2、 轴 性质 0a 向上 00，轴y 时，随的增大而增大；时，0 x yx0 x y 随的增大而减小；时，有最小值x0 x y0 0a 向下 00，轴y 时，随的增大而减小；时，0 x yx0 x y 随的增大而增大；时，有最大值x0 x y0 的符号a开口方向 顶点坐 标 对称 轴 性质 0a 向上 0c，轴y 时，随的增大而增大；时，0 x yx0 x y 随的增大而减小；时，有最小值x0 x yc 0a 向下 0c，轴y 时，随的增大而减小；时，0 x yx0 x y 随的增大而增大；时，有最大值x0 x yc 第- 2 -页 共 31 页 3. 的性质：（左加右减） 2 ya xh 4.
3、 的性质： 2 ya xhk 三、二次函数图象的平移 1. 平移步骤： 方法 1： 将抛物线解析式转化成顶点式，确定其顶点坐标； 2 ya xhkhk， 保持抛物线的形状不变，将其顶点平移到处，具体平移方法如下： 2 yaxhk， 2. 平移规律 在原有函数的基础上“值正右移，负左移；值正上移，负下移”概括成八个字“左加右减，hk 上加下减” 的符号a开口方向 顶点坐 标 对称 轴 性质 0a 向上 0h， X=h 时，随的增大而增大；时，xhyxxhy 随的增大而减小；时，有最小值xxhy0 0a 向下 0h， X=h 时，随的增大而减小；时，xhyxxhy 随的增大而增大；时，有最大值xx
4、hy0 的符号a开口方向 顶点坐 标 对称 轴 性质 0a 向上 hk， X=h 时，随的增大而增大；时，xhyxxhy 随的增大而减小；时，有最小值xxhyk 0a 向下 hk， X=h 时，随的增大而减小；时，xhyxxhy 随的增大而增大；时，有最大值xxhyk 第- 3 -页 共 31 页 方法 2： 沿轴平移:向上（下）平移个单位，变成cbxaxy 2 ymcbxaxy 2 （或）mcbxaxy 2 mcbxaxy 2 沿轴平移：向左（右）平移个单位，变成cbxaxy 2 mcbxaxy 2 （或）cmxbmxay)()( 2 cmxbmxay)()( 2 四、二次函数与的比较 2
5、ya xhk 2 yaxbxc 从解析式上看，与是两种不同的表达形式，后者通过配方可以得到 2 ya xhk 2 yaxbxc 前者，即，其中 2 2 4 24 bacb ya x aa 2 4 24 bacb hk aa ， 五、二次函数图象的画法 2 yaxbxc 五点绘图法 ： 利用配方法将二次函数化为顶点式，确定其开 2 yaxbxc 2 ()ya xhk 口方向、对称轴及顶点坐标，然后在对称轴两侧，左右对称地描点画图.一般我们选取的五点 为 ： 顶点、 与轴的交点、 以及关于对称轴对称的点、 与 轴的交点，y0c，0c，2hc，x 1 0 x ， （若与 轴没有交点，则取两组关于对称
6、轴对称的点）. 2 0 x ，x 画草图时应抓住以下几点：开口方向，对称轴，顶点，与 轴的交点，与轴的交点.xy 六、二次函数的性质 2 yaxbxc 1. 当时，抛物线开口向上，对称轴为，顶点坐标为0a 2 b x a 2 4 24 bacb aa ， 当时，随的增大而减小；当时，随的增大而增大；当时，有 2 b x a yx 2 b x a yx 2 b x a y 最小值 2 4 4 acb a 2. 当时， 抛物线开口向下， 对称轴为， 顶点坐标为 当时，0a 2 b x a 2 4 24 bacb aa ， 2 b x a y 随的增大而增大；当时，随的增大而减小；当时，有最大值x
7、2 b x a yx 2 b x a y 2 4 4 acb a 七、二次函数解析式的表示方法 1. 一般式：（，为常数，） ； 2 yaxbxcabc0a 2. 顶点式：（，为常数，） ； 2 ()ya xhkahk0a 3. 两根式：（，是抛物线与轴两交点的横坐标）. 12 ()()ya xxxx0a 1 x 2 xx 第- 4 -页 共 31 页 注意 ： 任何二次函数的解析式都可以化成一般式或顶点式，但并非所有的二次函数都可以写成交点式， 只有抛物线与轴有交点，即时，抛物线的解析式才可以用交点式表示二次函数x 2 40bac 解析式的这三种形式可以互化. 八、二次函数的图象与各项系数之
8、间的关系 1. 二次项系数a 二次函数中，作为二次项系数，显然 2 yaxbxca0a 当时，抛物线开口向上，的值越大，开口越小，反之的值越小，开口越大；0a aa 当时，抛物线开口向下，的值越小，开口越小，反之的值越大，开口越大0a aa 总结起来，决定了抛物线开口的大小和方向，的正负决定开口方向，的大小决定开口的aaa 大小 2. 一次项系数b 在二次项系数确定的前提下，决定了抛物线的对称轴ab 在的前提下，0a 当时，即抛物线的对称轴在轴左侧；0b 0 2 b a y 当时，即抛物线的对称轴就是轴；0b 0 2 b a y 当时，即抛物线对称轴在轴的右侧0b 0 2 b a y 在的前提
9、下，结论刚好与上述相反，即0a 当时，即抛物线的对称轴在轴右侧；0b 0 2 b a y 当时，即抛物线的对称轴就是轴；0b 0 2 b a y 当时，即抛物线对称轴在轴的左侧0b 0 2 b a y 总结起来，在确定的前提下，决定了抛物线对称轴的位置ab 的符号的判定：对称轴在轴左边则，在轴的右侧则，概括的说就ab a b x 2 y0aby0ab 是“左同右异” 总结： 3. 常数项c 当时，抛物线与轴的交点在轴上方，即抛物线与轴交点的纵坐标为正；0c yxy 当时，抛物线与轴的交点为坐标原点，即抛物线与轴交点的纵坐标为；0c yy0 当时，抛物线与轴的交点在轴下方，即抛物线与轴交点的纵坐
10、标为负0c yxy 总结起来，决定了抛物线与轴交点的位置cy 总之，只要都确定，那么这条抛物线就是唯一确定的abc， 第- 5 -页 共 31 页 二次函数解析式的确定： 根据已知条件确定二次函数解析式，通常利用待定系数法用待定系数法求二次函数的解析式必 须根据题目的特点，选择适当的形式，才能使解题简便一般来说，有如下几种情况： 1. 已知抛物线上三点的坐标，一般选用一般式； 2. 已知抛物线顶点或对称轴或最大（小）值，一般选用顶点式； 3. 已知抛物线与轴的两个交点的横坐标，一般选用两根式；x 4. 已知抛物线上纵坐标相同的两点，常选用顶点式 九、二次函数图象的对称 二次函数图象的对称一般有
11、五种情况，可以用一般式或顶点式表达 1. 关于轴对称x 关于轴对称后，得到的解析式是； 2 yaxbxcx 2 yaxbxc 关于轴对称后，得到的解析式是； 2 ya xhkx 2 ya xhk 2. 关于轴对称y 关于轴对称后，得到的解析式是； 2 yaxbxcy 2 yaxbxc 关于轴对称后，得到的解析式是； 2 ya xhky 2 ya xhk 3. 关于原点对称 关于原点对称后，得到的解析式是； 2 yaxbxc 2 yaxbxc 关于原点对称后，得到的解析式是； 2 ya xhk 2 ya xhk 4. 关于顶点对称（即：抛物线绕顶点旋转 180） 关于顶点对称后，得到的解析式是；
12、 2 yaxbxc 2 2 2 b yaxbxc a 关于顶点对称后，得到的解析式是 2 ya xhk 2 ya xhk 5. 关于点对称 mn， 关于点对称后，得到的解析式是 2 ya xhkmn， 2 22ya xhmnk 根据对称的性质，显然无论作何种对称变换，抛物线的形状一定不会发生变化，因此永远不a 变求抛物线的对称抛物线的表达式时，可以依据题意或方便运算的原则，选择合适的形式，习惯上 是先确定原抛物线（或表达式已知的抛物线）的顶点坐标及开口方向，再确定其对称抛物线的顶点坐 标及开口方向，然后再写出其对称抛物线的表达式 第- 6 -页 共 31 页 十、二次函数与一元二次方程： 1.
13、 二次函数与一元二次方程的关系（二次函数与 轴交点情况）：x 一元二次方程是二次函数当函数值时的特殊情况. 2 0axbxc 2 yaxbxc0y 图象与 轴的交点个数：x 当时， 图象与 轴交于两点， 其中的是一元二 2 40bac x 12 00A xB x， ， 12 ()xx 12 xx， 次方程的两根这两点间的距离. 2 00axbxca 2 21 4bac ABxx a 当时，图象与 轴只有一个交点； 0 x 当时，图象与 轴没有交点.0 x 当时，图象落在轴的上方，无论为任何实数，都有；10a xx0y 当 时，图象落在轴的下方，无论为任何实数，都有 20a xx0y 2. 抛物
14、线的图象与轴一定相交，交点坐标为，； 2 yaxbxcy(0)c 3. 二次函数常用解题方法总结： 求二次函数的图象与轴的交点坐标，需转化为一元二次方程；x 求二次函数的最大（小）值需要利用配方法将二次函数由一般式转化为顶点式； 根据图象的位置判断二次函数中，的符号，或由二次函数中，的 2 yaxbxcabcabc 符号判断图象的位置，要数形结合； 二次函数的图象关于对称轴对称，可利用这一性质，求和已知一点对称的点坐标，或已知与轴x 的一个交点坐标，可由对称性求出另一个交点坐标. 与二次函数有关的还有二次三项式，二次三项式本身就是所含字母的二次函 2 (0)axbxc ax 数；下面以时为例，
15、揭示二次函数、二次三项式和一元二次方程之间的内在联系：0a 0 抛物线与轴有x 两个交点 二次三项式的值可正、 可零、可负 一元二次方程有两个不相等实根 0 抛物线与轴只x 有一个交点 二次三项式的值为非 负 一元二次方程有两个相等的实数根 0 抛物线与轴无x 交点 二次三项式的值恒为 正 一元二次方程无实数根. 第- 7 -页 共 31 页 二次函数考查重点与常见题型 1考查二次函数的定义、性质，有关试题常出现在选择题中，如： 已知以为自变量的二次函数的图像经过原点， 则的值是 x2)2( 22 mmxmym 2综合考查正比例、反比例、一次函数、二次函数的图像，习题的特点是在同一直角坐标系内 考查两个函数的图像，试题类型为选择题，如： 如图，如果函数的图像在第一、二、三象限内，那么函数的图像大致是bkxy1 2 bxkxy （ ） y y y y 1 1 0 x o-1 x 0 x 0 -1 x A B C D 3考查用待定系数法求二次函数的解析式，有关习题出现的频率很高，习题类型有中档解答题 和选拔性的综合题，如： 已知一条抛物线经过(0,3)，(4,6)两点，对称轴为，求这条抛物线的解析式。 3 5 x 4考查用配方法求抛物线的顶点坐标、对称轴、二次函数的极值，有关试题为解答题，如： 已知抛物线（a0）与 x
