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1、2020/8/31,1,线性代数第1讲,行列式,2020/8/31,2,介绍,线性代数的重要目标是解线性方程组 而解线性方程组经常要用到行列式的概念,1.1 n阶行列式的定义和性质,2020/8/31,3,对于一个二元一次方程组,当a11a22-a12a210时, 用消元法求解, 得其解为,(1.1),(1.2),2020/8/31,4,如果记,(1.3),(1.2)式可以表示为,二阶行列式,2020/8/31,5,三阶行列式的定义,-,-,-,+,+,+,(1.4),(1.5),2020/8/31,6,例如,2020/8/31,7,如果三元线性方程组,的系数行列式,2020/8/31,8,用
2、消元方可解得,(1.6),其中,2020/8/31,9,二阶和三阶行列式都可按第一行展开,余子式,代数余子式,（1.7）,2020/8/31,10,同样,其中 A11=(-1)1+1|a22|=a22, A12=(-1)1+2|a21|=-a21 这里|a22|,|a21|是一阶行列式不是绝对值.,2020/8/31,11,1.1.1 n阶行列式的定义,定义由n2个数aij(i,j=1,2,.,n)组成的n阶行列式,（1.9),当n=1时D=a11; 当n2时, 定义,(1.10),2020/8/31,12,其中A1j=(-1)1+j M1j , M1j是D中去掉第1行第j列全部元素后, 按原
3、顺序排成的n-1阶行列式, 即,称M1j为元素a1j的余子式, A1j为元素a1j的代数余子式,2020/8/31,13,例(未写出的元素都是0),2020/8/31,14,例,2020/8/31,15,下三角行列式等于对角线元素之积,2020/8/31,16,例,2020/8/31,17,1.1.2 n阶行列式的性质,(证明不重要, 但必须记住并用它们来计算行列式),2020/8/31,18,性质1 行列式与它的转置行列式相等,2020/8/31,19,性质2 行列式按任一行(列)按下式展开, 其值相等,其中Aij=(-1)i+jMij, Mij是D中去掉第i行第j列全部元素后按原顺序排成的
4、n-1阶行列式, 称为aij的余子式, Aij称为aij的代数余子式.,(1.12),2020/8/31,20,例如, 假设,2020/8/31,21,例 设,2020/8/31,22,性质3 (线性性质)有以下两条:,行列式的某一行(列)中所有的元素都乘以同一数k, 等于用数k乘此行列式.,(1.13),2020/8/31,23,2020/8/31,24,(1.14),2020/8/31,25,推论1 某行元素全为零的行列式其值为零,2020/8/31,26,性质4行列式中两行对应元素全相等, 其值为零, 即当ail=ajl(l=1,2,.,n)时, 有,(1.15),2020/8/31,2
5、7,推论2行列式中两行对应元素成比例(即ail=kajl,ij, l=1,2,.,n, k是常数), 其值为零,2020/8/31,28,性质5行列式中某各元素乘常数k加到另一行对应元素上, 行列式的值不变(简称: 对行列式做倍加行变换, 其值不变), 即,2020/8/31,29,性质6(反对称性质)行列式的两行对换,行列式的值反号.,第i行,第j行,2020/8/31,30,性质7 行列式某一行的元素乘另一行对应元素的代数余子式之和等于零,即,这是因为,(1.17),第i行,第j行,=0,2020/8/31,31,可将(1.10),(1.12),(1.17)式统一地写成,其中,同样, 行列
6、式对列展开, 也有,(1.18),(1.19),2020/8/31,32,行列式按某k行(列)展开在n阶行列式D= 中, 任意选定k行k列(1kn), 位于这些行和列交叉处的k2个元素, 按原来的顺序构成一个k阶行列式M, 称为D的一个k阶子式. 划去这k行k列, 余下的元素按原来的顺序构成一个n-k阶行列式, 在其前面冠以符号,称为M的代数余子式, 其中i1,i2,.,ik为k阶子式M在D中的行标, j1,j2,.,jk为M在D中的列标.,2020/8/31,33,定理 (拉普拉斯定理) 在n阶行列式中, 任意取定k行(列)(1kn-1), 由这k行(列)组成的所有k阶子式与它们的代数余子式
7、的乘积之和等于行列式D.,2020/8/31,34,例 下式按第一行和第二行展开,2020/8/31,35,例,2020/8/31,36,例,2020/8/31,37,计算行列式的常用方法:,首先尽量寻找行与列的公因子, 将其提到行列式外面. 如果发现行列式有两行或者两列成比例, 则行列式的值为0. 然后利用性质5总能将行列式变换成上三角或者下三角行列式, 再计算其对角线上的乘积. 或者利用性质5将行列式的某行(某列)变换成只有一个元素不为0, 其余元素均为0, 然后再按那行(列)展开, 降阶成低阶的行列式.,2020/8/31,38,例 (保留a12, 将第2列其余元素变为0),2020/8/31,39,2020/8/31,40,今天作业: 第32页开始, 第2,4,9,10,11,15题 分为A, B两组轮流交作业, 每星期四交作业,
