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1、1 第四章:圆第四章:圆 一、知识回顾一、知识回顾 圆的周长圆的周长: C=2r 或 C=d、圆的面积、圆的面积:S=r 圆环面积计算方法:圆环面积计算方法:S=R-r或 S=(R-r)(R 是大圆半径,r 是小圆半径) 二、知识要点二、知识要点 一、圆的概念一、圆的概念 集合形式的概念: 1、 圆可以看作是到定点的距离等于定长的点的集合; 2、圆的外部:可以看作是到定点的距离大于定长的点的集合; 3、圆的内部:可以看作是到定点的距离小于定长的点的集合 轨迹形式的概念: 1、圆:到定点的距离等于定长的点的轨迹就是以定点为圆心,定长为半径的圆; 固定的端点 O 为圆心。连接圆上任意两点的线段叫做
2、弦,经过圆心的弦叫直径。圆上任意两点之间 的部分叫做圆弧,简称弧。 2、垂直平分线:到线段两端距离相等的点的轨迹是这条线段的垂直平分线; 3、角的平分线:到角两边距离相等的点的轨迹是这个角的平分线; 4、到直线的距离相等的点的轨迹是:平行于这条直线且到这条直线的距离等于定长的两条直线; 5、到两条平行线距离相等的点的轨迹是:平行于这两条平行线且到两条直线距离都相等的一条直 线。 二、点与圆的位置关系二、点与圆的位置关系 1、点在圆内 点在圆内;drC 2、点在圆上 点在圆上;drB 3、点在圆外 点在圆外;drA 三、直线与圆的位置关系三、直线与圆的位置关系 1、直线与圆相离 无交点;dr 2
3、、直线与圆相切 有一个交点;dr 3、直线与圆相交 有两个交点;dr d r d=r r d 四、圆与圆的位置关系四、圆与圆的位置关系 r d d C B A O 2 外离(图 1) 无交点 ;dRr 外切(图 2) 有一个交点 ;dRr 相交(图 3) 有两个交点 ;RrdRr 内切(图 4) 有一个交点 ;dRr 内含(图 5) 无交点 ;dRr 周 1 r R d 周 3 rR d 五、垂径定理五、垂径定理 垂径定理:垂直于弦的直径平分弦且平分弦所对的弧。 推论 1:(1)平分弦(不是直径)的直径垂直于弦,并且平分弦所对的两条弧; (2)弦的垂直平分线经过圆心,并且平分弦所对的两条弧;
4、(3)平分弦所对的一条弧的直径,垂直平分弦,并且平分弦所对的另一条弧 以上共 4 个定理,简称 2 推 3 定理:此定理中共 5 个结论中,只要知道其中 2 个即可推出 其它 3 个结论,即: 是直径 弧弧 弧弧ABABCDCEDEBCBDACAD 中任意 2 个条件推出其他 3 个结论。 推论 2:圆的两条平行弦所夹的弧相等。 即:在中,OABCD 弧弧ACBD 六、圆心角定理六、圆心角定理 顶点到圆心的角,叫圆心角。 顶点到圆心的角,叫圆心角。 圆心角定理:同圆或等圆中,相等的圆心角所对的弦相等,所对的弧相等,弦心距相等。 此 定理也称 1 推 3 定理,即上述四个结论中, 周 2 r R
5、 d 周 4 r R d 周 5 r R d O E DC B A O C D A B 3 只要知道其中的 1 个相等,则可以推出其它的 3 个结论, 即:;AOBDOE ABDE ; 弧弧OCOFBABD 七、圆周角定理七、圆周角定理 顶点在圆上,并且两边都与圆相交的角,叫圆周角。顶点在圆上,并且两边都与圆相交的角,叫圆周角。 1、圆周角定理:同弧所对的圆周角等于它所对的圆心的角的一半。 即:和是弧所对的圆心角和圆周角AOBACBAB 2AOBACB 2、圆周角定理的推论: 推论 1:同弧或等弧所对的圆周角相等;同圆或等圆中,相等的圆周角所对 的弧是等弧; 即:在中,、都是所对的圆周角OCD
6、 CD 推论 2:半圆或直径所对的圆周角是直角;圆周角是直角所对的弧是半 圆, 所对的弦是直径。 即:在中,是直径 或OAB90C 是直径90CAB 推论 3:若三角形一边上的中线等于这边的一半,那么这个三角形是直角三 角形。 即:在中,ABCOCOAOB 是直角三角形或ABC90C 注:此推论实是初二年级几何中矩形的推论:在直角三角形中斜边上的中线等于斜边的一半的逆定 理。 八、圆内接四边形八、圆内接四边形 圆的内接四边形定理:圆的内接四边形的对角互补,外角等于它的内对角。 F E D C B A O C B A O D C B A O C BA O C BA O 4 即:在中,O 四边形是
7、内接四边形ABCD 180CBAD180BD DAEC 九、切线的性质与判定定理九、切线的性质与判定定理 (1)切线的判定定理:过半径外端且垂直于半径的直线是切线; 两个条件:过半径外端且垂直半径,二者缺一不可 即:且过半径MNOAMNOA外端 是的切线MNO (2)性质定理:切线垂直于过切点的半径(如上图) 推论 1:过圆心垂直于切线的直线必过切点。 推论 2:过切点垂直于切线的直线必过圆心。 以上三个定理及推论也称二推一定理: 即:过圆心;过切点;垂直切线,三个条件中知道其中两个条件就能推出最后一个。 十、切线长定理十、切线长定理 切线长定理: 从圆外一点引圆的两条切线, 它们的切线长相等
8、, 这点和圆心的连线平分两条切线的夹角。 即:、是的两条切线PAPB PAPB 平分POBPA 十一、圆幂定理十一、圆幂定理 (1) 相交弦定理相交弦定理 :圆内两弦相交,交点分得的两条线段的乘积相等。 即:在中,弦、相交于点,OABCDP PA PBPC PD (2)推论:如果弦与直径垂直相交,那么弦的一半是它分直径所成的两条线 段的比例中项。 E D C B A NM A O P B A O P O D C B A OE D C B A 5 即:在中,直径,OABCD 2 CEAE BE (3)切割线定理切割线定理:从圆外一点引圆的切线和割线,切线长是 这点到割线与圆交点的两条线段长的比例
9、中项。 即:在中,是切线,是割线OPAPB 2 PAPC PB (4)割线定理割线定理:从圆外一点引圆的两条割线,这一点到每条割线与圆的交点的两条线段长的积相 等(如上图) 。 即:在中,、是割线OPBPE PC PBPD PE 十二、两圆公共弦定理十二、两圆公共弦定理 圆公共弦定理:两圆圆心的连线垂直并且平分这两个圆的的公共弦。 如图:垂直平分。 12 OOAB 即:、相交于、两点 1 O 2 OAB 垂直平分 12 OOAB 十三、圆的公切线十三、圆的公切线 两圆公切线长的计算公式: (1)公切线长:中, 12 Rt OO C ; 2222 1122 ABCOOOCO (2)外公切线长:是
10、半径之差; 内公切线长:是半径之和 。 2 CO 2 CO 十四、圆内正多边形的计算十四、圆内正多边形的计算 (1)正三角形 在中是正三角形,有关计算在中进OABCRt BOD行: ;:1:3:2OD BD OB (2)正四边形 D E C B P A O B A O1 O2 C O2 O1 B A D C B A O E CB AD O 6 同理,四边形的有关计算在中进行,:Rt OAE:1:1:2OE AE OA (3)正六边形 同 理 , 六 边 形 的 有 关 计 算 在中 进 行 ,Rt OAB . .:1:3:2AB OB OA 十五、扇形、圆柱和圆锥的相关计算公式十五、扇形、圆柱和圆锥的相关计算公式 1、扇形:(1)弧长公式:; 180 n R l (2)扇形面积公式: 2 1 3602 n R SlR :圆心角 :扇形多对应的圆的半径 :扇形弧长 :扇形面积nRlS 2、圆柱: (1)A 圆柱侧面展开图 =2SSS 侧表底 2 22rhr B 圆柱的体积: 2 Vr h (2)A 圆锥侧面展开图 =SSS 侧表底 2 Rrr B 圆锥的体积: 2 1 3 Vr h B A O Sl B A O 周 周 周 周 周 周 周 周 C1 D1 D C B A B1 R r C B A O