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1、直线和圆锥曲线经常考查的一些题型直线和圆锥曲线经常考查的一些题型 直线与椭圆、 双曲线、 抛物线中每一个曲线的位置关系都有相交、 相切、 相离三种情况， 从几何角度可分为三类 ： 无公共点，仅有一个公共点及有两个相异公共点 直线与椭圆、 双曲线、 抛物线中每一个曲线的位置关系都有相交、 相切、 相离三种情况， 从几何角度可分为三类 ： 无公共点，仅有一个公共点及有两个相异公共点 对于抛物线来说， 平行于对称轴的直线与抛物线相交于一点，但并不是相切；对于双曲线来说，平行于渐近 线的直线与双曲线只有一个交点，但并不相切 对于抛物线来说， 平行于对称轴的直线与抛物线相交于一点，但并不是相切；对于双曲
2、线来说，平行于渐近 线的直线与双曲线只有一个交点，但并不相切 直线和椭圆、双曲线、抛物线中每一个曲线的公共点问题，可以转化为它们的方程所 组成的方程组求解的问题，从而用代数方法判断直线与曲线的位置关系。 直线和椭圆、双曲线、抛物线中每一个曲线的公共点问题，可以转化为它们的方程所 组成的方程组求解的问题，从而用代数方法判断直线与曲线的位置关系。 解决直线和圆锥曲线的位置关系的解题步骤是：解决直线和圆锥曲线的位置关系的解题步骤是： （1）直线的斜率不存在，直线的斜率存在（1）直线的斜率不存在，直线的斜率存在 （2）联立直线和曲线的方程组；（2）联立直线和曲线的方程组； （3）讨论类一元二次方程（3
3、）讨论类一元二次方程 （4）一元二次方程的判别式（4）一元二次方程的判别式 （5）韦达定理，同类坐标变换（5）韦达定理，同类坐标变换 （6）同点纵横坐标变换（6）同点纵横坐标变换 （7）x,y，k(斜率)的取值范围（7）x,y，k(斜率)的取值范围 （8）目标：弦长，中点，垂直，角度，向量，面积，范围等等（8）目标：弦长，中点，垂直，角度，向量，面积，范围等等 运用的知识：运用的知识： 1、中点坐标公式：，其中是点的中1、中点坐标公式：，其中是点的中 1212 ,y 22 xxyy x , x y 1122 ( ,)(,)A x yB xy， 点坐标。点坐标。 2、弦长公式：若点在直线上，2、
4、弦长公式：若点在直线上， 1122 ( ,)(,)A x yB xy，(0)ykxb k 则，这是同点纵横坐标变换，是两大坐标变换技巧之一，则，这是同点纵横坐标变换，是两大坐标变换技巧之一， 1122 ykxbykxb， 222222 1212121212 ()()()()(1)()ABxxyyxxkxkxkxx 22 1212 (1)()4kxxx x 或者 22222 1212121212 2 111 ()()()()(1)()ABxxyyxxyyyy kkk 。 2 1212 2 1 (1)()4yyy y k 3、两条直线垂直：则、两条直线垂直：则 111222 :,:lyk xb l
5、yk xb 12 1k k 两条直线垂直，则直线所在的向量两条直线垂直，则直线所在的向量 12 0v v 4、韦达定理：若一元二次方程有两个不同的根，则、韦达定理：若一元二次方程有两个不同的根，则 2 0(0)axbxca 12 ,x x ，。，。 1212 , bc xxx x aa 12 xx a 常见题型：常见题型： 题型一：数形结合确定直线和圆锥曲线的位置关系题型一：数形结合确定直线和圆锥曲线的位置关系 例题例题 1、已知直线与椭圆始终有交点，求的取值范围:1l ykx 22 :1 4 xy C m m 思路点拨：直线方程的特点是过定点（0，1） ，椭圆的特点是过定点（-2，0）和（2
6、，0） ， 和动点。0),4mm（ ，且 解 ： 根据直线的方程可知，直线恒过定点（0，1） ，椭圆过动点:1l ykx 22 :1 4 xy C m ， 如 果 直 线和 椭 圆始 终 有 交 点 ， 则0),4mm（ ，且:1l ykx 22 :1 4 xy C m ，即。14mm，且14mm且 规律提示：规律提示：通过直线的代数形式，可以看出直线的特点： :101l ykx 过定点（ ， ） :(1)1l yk x过定点（，0） :2(1)1l yk x过定点（，2） 证明直线过定点，也是将满足条件的直线整理成以上三种形式之一，再得出结论。 练习 1、练习 1、过点 P(3,2) 和抛物
7、线 只有一个公共点的直线有（ ）条。23 2 xxy A4B3C2D1 题型二：弦的垂直平分线问题题型二：弦的垂直平分线问题 弦的垂直平分线问题和对称问题是一种解题思维， 首先弄清楚哪个是弦， 哪个是对称轴， 用到的知识是：垂直（两直线的斜率之积为-1）和平分（中点坐标公式） 。 弦的垂直平分线问题和对称问题是一种解题思维， 首先弄清楚哪个是弦， 哪个是对称轴， 用到的知识是：垂直（两直线的斜率之积为-1）和平分（中点坐标公式） 。 例题例题 2、 过点 T(-1,0)作直线 与曲线 N ：交于 A、 B 两点， 在 x 轴上是否存在一点 E(l 2 yx ,0)，使得是等边三角形，若存在，求
8、出；若不存在，请说明理由。 0 xABE 0 x 分析 ： 过点 T(-1,0)的直线和曲线 N ：相交 A、 B 两点， 则直线的斜率存在且不等于 0， 2 yx 可以设直线的方程，联立方程组，消元，分析类一元二次方程，看判别式，运用韦达定理， 得弦的中点坐标，再由垂直和中点，写出垂直平分线的方程，得出 E 点坐标，最后由正三 角形的性质：中线长是边长的倍。运用弦长公式求弦长。 3 2 解：依题意知，直线的斜率存在，且不等于 0。 设直线，。:(1)l yk x0k 11 ( ,)A x y 22 (,)B xy 由消 y 整理，得 2 (1)yk x yx 2222 (21)0k xkxk
9、 由直线和抛物线交于两点，得 2242 (21)4410kkk 即 2 1 0 4 k 由韦达定理，得：。 2 12 2 21,k xx k 12 1x x 则线段 AB 的中点为。 2 2 211 (,) 22 k kk 线段的垂直平分线方程为： 2 2 111 2 () 22 k yx kkk 令 y=0,得，则 0 2 11 22 x k 2 11 (,0) 22 E k 为正三角形，ABE 到直线 AB 的距离 d 为。 2 11 (,0) 22 E k 3 2 AB 22 1212 ()()ABxxyy 2 2 2 1 4 1 k k k 2 1 2 k d k 22 2 2 3 1
10、 41 1 22 kk k kk 解得满足式 39 13 k 此时。 0 5 3 x 思维规律：思维规律：直线过定点设直线的斜率 k，利用韦达定理法，将弦的中点用 k 表示出来，再利 用垂直关系将弦的垂直平分线方程写出来，求出了横截距的坐标；再利用正三角形的性质： 高是边长的倍，将 k 确定，进而求出的坐标。 3 2 0 x 练习 2：练习 2：已知椭圆)0( 1: 2 2 2 2 ba b y a x C过点) 2 3 , 1 (，且离心率 2 1 e。 （）求椭圆方程； （）若直线)0(:kmkxyl与椭圆交于不同的两点M、N，且线段MN的垂直 平分线过定点) 0 , 8 1 (G，求k的
11、取值范围。 题型三：动弦过定点的问题题型三：动弦过定点的问题 例题例题3、 已知椭圆C：的离心率为， 且在x轴上的顶点分别为A1(- 22 22 1(0) xy ab ab 3 2 2,0),A2(2,0)。 （I）求椭圆的方程； （II） 若直线与 x 轴交于点 T,点 P 为直线 上异于点 T 的任一点， 直线 PA1,PA2:(2)l xt tl 分别与椭圆交于 M、N 点，试问直线 MN 是否通过椭圆的焦点？并证明你的结论。 分析分析 ： 第一问是待定系数法求轨迹方程 ； 第二问中， 点 A1、 A2的坐标都知道， 可以设直线 PA1、 PA2的方程，直线 PA1和椭圆交点是 A1(-
12、2,0)和 M，通过韦达定理，可以求出点 M 的坐标， 同理可以求出点 N 的坐标。 动点 P 在直线上， 相当于知道了点 P 的横坐标了，:(2)l xt t 由直线 PA1、 PA2的方程可以求出 P 点的纵坐标， 得到两条直线的斜率的关系， 通过所求的 M、 N 点的坐标，求出直线 MN 的方程，将交点的坐标代入，如果解出的 t2，就可以了，否则 就不存在。 解：（I）由已知椭圆 C 的离心率，,则得。 3 2 c e a 2a 3,1cb 从而椭圆的方程为 2 2 1 4 x y （II） 设， 直线的斜率为,则直线的方程为 11 ( ,)M x y 22 (,)N xy 1 AM 1
13、 k 1 AM 1( 2)yk x ，由消 y 整理得 1 22 (2) 44 yk x xy 222 121 (14)161640kxk xk 是方程的两个根， 1 2x和 2 1 1 2 1 164 2 14 k x k 则， 2 1 1 2 1 28 14 k x k 1 1 2 1 4 14 k y k 即点 M 的坐标为， 2 11 22 11 284 (,) 1414 kk kk 同理，设直线 A2N 的斜率为 k2，则得点 N 的坐 标为 2 22 22 22 824 (,) 1414 kk kk 12 (2),(2) pp yk tyk t ， 12 12 2kk kkt 直线
14、 MN 的方程为：， 121 121 yyyy xxxx 令 y=0，得，将点 M、N 的坐标代入，化简后得： 2112 12 x yx y x yy 4 x t 又，2t 4 02 t 椭圆的焦点为( 3,0) ，即 4 3 t 4 3 3 t 故当时，MN 过椭圆的焦点。 4 3 3 t 练习练习 3：直线和抛物线相交于 A、B，以 AB 为直径的圆过抛物线mkxyl： 2 2ypx 的顶点，证明：直线过定点，并求定点的坐标。mkxyl： 题型四：过已知曲线上定点的弦的问题题型四：过已知曲线上定点的弦的问题 若直线过的定点在已知曲线上，则过定点的直线的方程和曲线联立，转化为一元二次方程 （
15、或类一元二次方程） ，考察判断式后，韦达定理结合定点的坐标就可以求出另一端点的坐 标，进而解决问题。下面我们就通过例题领略一下思维过程。 若直线过的定点在已知曲线上，则过定点的直线的方程和曲线联立，转化为一元二次方程 （或类一元二次方程） ，考察判断式后，韦达定理结合定点的坐标就可以求出另一端点的坐 标，进而解决问题。下面我们就通过例题领略一下思维过程。 例题例题 4、已知点 A、B、C 是椭圆 E： 上的三点，其中点 A 22 22 1 xy ab (0)ab(2 3,0) 是椭圆的右顶点，直线 BC 过椭圆的中心 O，且，如图。0AC BC 2BCAC (I)求点 C 的坐标及椭圆 E 的
16、方程； (II)若椭圆 E 上存在两点 P、Q，使得直线 PC 与直线 QC 关于直线对称，求直线 PQ3x 的斜率。 解：(I) ，且 BC 过椭圆的中心 O2BCAC OCAC 0AC BC 2 ACO 又A (2 3,0) 点 C 的坐标为。( 3, 3) A是椭圆的右顶点，(2 3,0) ，则椭圆方程为：2 3a 22 2 1 12 xy b 将点 C代入方程，得，( 3, 3) 2 4b 椭圆 E 的方程为 22 1 124 xy (II) 直线 PC 与直线 QC 关于直线对称，3x 设直线 PC 的斜率为，则直线 QC 的斜率为，从而直线 PC 的方程为：kk ，即3(3)yk x ，3(1)ykxk 由消 y，整理得： 22 3(1) 3120 ykxk xy 是方程的一个根， 222 (1 3)
