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1、三角形综合三角形综合 例题 1：AD，EF，BC 相交于 O 点，且 AOOD，BOOC，EOOF求证：AEBDFC 例题 2：P 为正方形 ABCD 对角线 BD 上任一点，PFDC，PEBC求证：APEF 例题 3：ABC 的高 AD 与 BE 相交于 H，且 BHAC求证：BCHABC 例题 4：在正方形 ABCD 中，P，Q 分别为 BC，CD 边上的点，PAQ45 求证：PQPBDQ 例题 5： 过ABC 的顶点 A 分别作两底角B 和C 的角平分线的垂线，ADBD 于 D，AECE 于 E求证：EDBC 例题 6： 如图，P 是等边三角形 ABC 内部的一点，PA2，PB，PC4，
2、 求ABC 的边32 长. 例题 7：如图（ l ) ，凸四边形 ABCD ，如果点 P 满足APD APB =。且B P C CPD ，则称点 P 为四边形 ABCD 的一个半等角点 ( l ）在图（ 3 ）正方形 ABCD 内画一个半等角点 P，且满足。 ( 2 ）在图（ 4 ）四边形 ABCD 中画出一个半等角点 P，保留画图痕迹（不需写出画法） . ( 3 ）若四边形 ABCD 有两个半等角点 P1 、P2（如图（ 2 ) ) ，证明线段 P1 P2上任一点也是它 的半等角点 。 例题 8：已知：点 O 到ABC 的两边 AB、AC 所在直线的距离相等，且 OBOC。 （1）如图 1，
3、若点 O 在 BC 上，求证：ABAC； （2）如图 2，若点 O 在ABC 的内部，求证：ABAC； （3）若点 O 在ABC 的外部，ABAC 成立吗？请画图表示。 练习试题： 1如图，在中，和的平分线相交于点，过点作交ABCABCACBOOEFBC 于，交于，过点作于下列四个结论：ABEACFOODACD ； 1 90 2 BOCA+ 以为圆心、为半径的圆与以为圆心、为半径的圆外切；EBEFCF 设则；ODmAEAFn， AEF Smn 不能成为的中位线EFABC 其中正确的结论是_ （把你认为正确结论的序号都填上） 2如图 1，AB、CD 是两条线段，M 是 AB 的中点，、和分别表示
4、DNC、 DMC S DAC S DBC S DAC、DBC 的面积。当 AB CD 时，有 (1) DMC S 2 DBCDAC SS （1）如图 2，若图 1 中 AB 与 CD 不平行时，(1)式是否成立？请说明理由。 （2）如图 3，若图 1 中 AB 与 CD 相交于点 O 时，、和有何种相等关系？ DMC S DAC S DBC S 试证明你的结论。 图 1 MB DC A 图 2 M B D C A O 图 3 M B D C A 3如图，设ABC 和CDE 都是正三角形，且EBD62o，则AEB 的度数是【 】 （A）124o（B）122o（C）120o（D）118o 4如图，
5、ABC 是等边三角形，BDC 是顶角BDC120的等腰三角形，M 是 AB 延长线 上一点，N 是 CA 延长线上一点，且MDN60.试探究 MB、MN、CN 之间的数量关系，并给 出证明. 5如图，在ABC 中，ABC600，点 P 是ABC 内的一点，使得APBBPCCPA， 且 PA8，PC6，则 PB_ A B C P 6如图所示，在ABC 中，ABAC，ADAE，则_60BADEDC 7 （1）如图 7，点 O 是线段 AD 的中点，分别以 AO 和 DO 为边在线段 AD 的同侧作等边三角 形 OAB 和等边三角形 OCD，连结 AC 和 BD，相交于点 E，连结 BC求AEB 的
6、大小； （2） 如图 8， OAB 固定不动， 保持OCD 的形状和大小不变， 将OCD 绕着点 O 旋转 （OAB 和OCD 不能重叠） ，求AEB 的大小. 8 两个大小不同的等腰直角三角形三角板如图 1 所示放置， 图 2 是由它抽象出的几何图形， 在同一条直线上，连结BCE， ，DC （1）请找出图 2 中的全等三角形，并给予证明（说明：结论中不得含有未标识的字母） ； （2）证明：DCBE 9如图，AD 是ABC 的边 BC 上的高，由下列条件中的某一个就能推出ABC 是等腰三 角形的是_。 （把所有正确答案的序号都填写在横线上） BADACD BADCAD，ABBDACCD ABB
7、DACCD 参考答案参考答案 例题 1例题 1、证明 ： OAEODF，因为 ： 二边及夹角（对等角）相等，得 ： AE=DF。 同理证得：OBEOCF，OABOCD，得：EB=CF，AB=CD。 因为：AE=DF，EB=CF，AB=CD三边相等。 所以：AEBDFC 例例 2 F 于点 G 延长 EP 交 AB 于 M,延长 FP 交 AD 于 N P 为正方形 ABCD 对角线 BD 上任一点 PM=PF,PN=PE 又 AMPN 为矩形. AN=PM=PF EPF=BAC=90 PEFANP NAP = PFE 又NPA=FPG(对顶角) NAP +NPA=90 PFE+FPG=90 P
8、GF=180-(PFE+FPG)=90 APEF 例例 3 BHAC，BDHADC90，HBDCAD（这个知道的吧） BDHADC HDCD，BD=AD HDC 与ABD 是等腰直角三角形 BCHABD=45 例例 4：在 CB 的延长线上取点 G，使 BGDQ，连接 AG 正方形 ABCD ABAD，BADABGD90 BGDQ ABGADQ （SAS） AQAG，BAGDAQ PAQ45 BAP+DAQBAD-PAQ45 PAGBAP+BAGBAP+DAQ45 PAGPAQ APAP APQAPG （SAS） PQPG PGPB+BGPB+DQ PB+DQPQ 例例 5、 例例 6 例 7
9、 （1）根据题意可知，所画的点 P 在 AC 上且不是 AC 的中点和 AC 的端点因为在图形 内部，所以不能是 AC 的端点，又由于 ，所以不是 AC 的中点 （2）画点 B 关于 AC 的对称点 B，延长 DB交 AC 于点 P，点 P 为所求 （因为对 称的两个图形完全重合） （3） 先连 P1A、 P1D、 P1B、 P1C 和 P2D、 P2B， 根据题意AP1D=AP1B， DP1C= BP1CAP1B+BP1C=180 度 P1 在 AC 上， 同理， P2 也在 AC 上， 再利用 ASA 证明DP1P2BP1P2 而，那么P1DP2 和P1BP2 关于 P1P2 对称，P 是
10、对称轴 上的点，所以DPA=BPA，DPC=BPC即点 P 是四边形的半等角点解答 ： 解：（1）所画的点 P 在 AC 上且不是 AC 的中点和 AC 的端点，即给（4 分） （2）画点 B 关于 AC 的对称点 B，延长 DB交 AC 于点 P，点 P 为所求（不写文字 说明不扣分）给（3 分） （说明：画出的点 P 大约是四边形 ABCD 的半等角点，而无对称的画图痕迹，给 1 分） （3）连 P1A、P1D、P1B、P1C 和 P2D、P2B，根据题意， AP1D=AP1B，DP1C=BP1C， AP1B+BP1C=180 度 P1 在 AC 上， 同理，P2 也在 AC 上 （9 分
11、） 在DP1P2 和BP1P2 中， DP2P1=BP2P1，DP1P2=BP1P2，P1P2 公共， DP1P2BP1P2 （11 分） 所以 DP1=BP1，DP2=BP1，DP2=BP2，于是 B、D 关于 AC 对称 设 P 是 P1P2 上任一点， 连接 PD、 PB， 由对称性， 得DPA=BPA， DPC=BPC， 所以点 P 是四边形的半等角点 例 8 证明：（1）过点 O 分别作 OEAB，OFAC，E、F 分别是垂足， 由题意知，OE=OF，OB=OC， RtOEBRtOFC B=C，从而 AB=AC。 （2）过点 O 分别作 OEAB，OFAC，EF 分别是垂足， 由题意
12、知，OE=OF。 在 RtOEB 和 RtOFC 中， OE=OF，OB=OC， RtOEBRtOFE。 OBE=OCF， B=OC 知OBC=OCB，ABC=ACD， AB=AC。 （3）解：不一定成立。 注：当A 的平分线所在直线与边 BC 的垂直平分线重合时，有 AB=AC；否则，ABAC， 如示例图 练习 1 3 解： 等边ABC、等边CDE AC=BC，CE=CD，BACABCACB=ECD=60 ACE=ACB-BCE，BCD=ECD-BCE BCD=ACE ACEBCD （SAS） CBD=CAE EBD62 CBDEBD-CBD62-CBE CAE62-CBE BAEBAC-C
13、AE60-62+CBE-2+CBE ABE+BAE60-CBE-2+CBE58 AEB180-（ABE+BAE）122 4 CNBM MN 证明：延长 AC 至 M1，使 CM1BM，连结 DM1 由已知条件知：ABCACB60， DBCDCB30 ABDACD90 BDCD RtBDMRtCDM1 MDBM1DC，而 DMDM1 MDM1（120MDB）M1DC120 又MDN60M1DNMDN60 MDNM1DN MNNM1NCCM1CNBM 即 CNBM MN 5 （1）证明： APB=BPC=CPA，三角之和是 360 APB=BPC=120 PAB+PBA=180-120=60 AB
14、C=PBC+PBA=60 PAB=PBC PABPBC【APB=BPC，PAB=PBC】 （2）解： PABPBC PA/PB =PB/PC 推出 PB=PAPC=68=48 PB=48=43 6 设EDC=x, B=C=y AED=EDC+C=x+y 又因为 AD=AE, 所以ADE=AED=x+y 则ADC=ADE+EDC=2x+y 又因为ADC=B+BAD 所以 2x+y=y+30 解得 x=15 所以EDC 的度数是 15 度 7 1）如图 3， OCD 和ABO 都是等边三角形，且点 O 是线段 AD 的中点， OD=OC=OB=OA，1=2=60， 4=5 又4+5=2=60， 4
15、=30 同理6=30 AEB=4+6， AEB=60 （2）如图 4， OCD 和ABO 都是等边三角形， OD=OC，OB=OA，1=2=60 又OD=OA， OD=OB，OA=OC， 4=5，6=7 DOB=1+3， AOC=2+3， DOB=AOC 4+5+DOB=180，6+7+AOC=180， 25=26， 5=6 又AEB=8-5，8=2+6， AEB=2+5-5=2， AEB=60 8 可以找出BAECAD，条件是 AB=AC，DA=EA，BAE=DAC=90+CAE 由可得出DCA=ABC=45， 则BCD=90， 所以 DCBE 解答 ： 解 ： ABC， DAE 是等腰直角三角形， AB=AC，AD=AE，BAC=DAE=90 BAE=DAC=90+CAE， 在BAE 和DAC 中 BAECAD（SAS） 由得BAECAD DCA=B=45 BCA=45， BCD=BCA+DCA=90， DCBE 9
