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1、1 反比例函数知识点归纳和典型例题反比例函数知识点归纳和典型例题 、基础知识、基础知识 （一）反比例函数的概念（一）反比例函数的概念 1（）可以写成）可以写成（）的形式，注意自变量）的形式，注意自变量 x 的指数为的指数为，在解决有关自变量指数问，在解决有关自变量指数问 题时应特别注意系数题时应特别注意系数这一限制条件；这一限制条件； 2（）也可以写成）也可以写成 xy=k 的形式，用它可以迅速地求出反比例函数解析式中的的形式，用它可以迅速地求出反比例函数解析式中的 k，从而得到反比例，从而得到反比例 函数的解析式；函数的解析式； 3反比例函数反比例函数的自变量的自变量，故函数图象与，故函数图
2、象与 x 轴、轴、y 轴无交点轴无交点 （二）反比例函数的图象（二）反比例函数的图象 在用描点法画反比例函数在用描点法画反比例函数的图象时，应注意自变量的图象时，应注意自变量 x 的取值不能为的取值不能为0，且，且 x 应对称取点（关于原点对称） 应对称取点（关于原点对称） （三）反比例函数及其图象的性质（三）反比例函数及其图象的性质 1函数解析式：函数解析式：（） 2自变量的取值范围：自变量的取值范围： 3图象：图象： （1）图象的形状：双曲线）图象的形状：双曲线 越大，图象的弯曲度越小，曲线越平直越大，图象的弯曲度越小，曲线越平直越小，图象的弯曲度越大越小，图象的弯曲度越大 （2）图象的位
3、置和性质：）图象的位置和性质： 与坐标轴没有交点，称两条坐标轴是双曲线的渐近线与坐标轴没有交点，称两条坐标轴是双曲线的渐近线 当当时，图象的两支分别位于一、三象限；在每个象限内，时，图象的两支分别位于一、三象限；在每个象限内，y 随随 x 的增大而减小；的增大而减小； 当当时，图象的两支分别位于二、四象限；在每个象限内，时，图象的两支分别位于二、四象限；在每个象限内，y 随随 x 的增大而增大的增大而增大 （3）对称性：图象关于原点对称，即若（）对称性：图象关于原点对称，即若（a，b）在双曲线的一支上，则（）在双曲线的一支上，则（，）在双曲线的另一支上）在双曲线的另一支上 图象关于直线图象关于
4、直线对称，即若（对称，即若（a，b）在双曲线的一支上，则（）在双曲线的一支上，则（，）和（）和（，）在双曲线的另一支上）在双曲线的另一支上 4k 的几何意义的几何意义 2 如图如图1，设点，设点 P（a，b）是双曲线）是双曲线上任意一点，作上任意一点，作 PA x 轴于轴于 A 点，点，PB y 轴于轴于 B 点，则矩形点，则矩形 PBOA 的面的面 积是积是（三角形（三角形 PAO 和三角形和三角形 PBO 的面积都是的面积都是） ） 如图如图2， 由双曲线的对称性可知， 由双曲线的对称性可知， P 关于原点的对称点关于原点的对称点 Q 也在双曲线上， 作也在双曲线上， 作 QC PA 的延
5、长线于的延长线于 C， 则有三角形， 则有三角形 PQC 的面积为的面积为 图图1 图图2 5说明：说明： （ 1） 双 曲 线 的 两 个 分 支 是 断 开 的 ， 研 究 反 比 例 函 数 的 增 减 性 时 ， 要 将 两 个） 双 曲 线 的 两 个 分 支 是 断 开 的 ， 研 究 反 比 例 函 数 的 增 减 性 时 ， 要 将 两 个 分支分别讨论，不能一概而论分支分别讨论，不能一概而论 （2）直线）直线与双曲线与双曲线的关系：的关系： 当当时，两图象没有交点 ； 当时，两图象没有交点 ； 当时，两图象必有两个交点，且这两个交点关于原点成中心对称时，两图象必有两个交点，且
6、这两个交点关于原点成中心对称 （3）反比例函数与一次函数的联系）反比例函数与一次函数的联系 （四）实际问题与反比例函数（四）实际问题与反比例函数 1求函数解析式的方法：求函数解析式的方法： （1）待定系数法；（）待定系数法；（2）根据实际意义列函数解析式）根据实际意义列函数解析式 2注意学科间知识的综合，但重点放在对数学知识的研究上注意学科间知识的综合，但重点放在对数学知识的研究上 （五）充分利用数形结合的思想解决问题（五）充分利用数形结合的思想解决问题 三、例题分析三、例题分析 1反比例函数的概念反比例函数的概念 3 （1）下列函数中，）下列函数中，y 是是 x 的反比例函数的是（的反比例函
7、数的是（ ） ） Ay=3x B C3xy=1 D （2）下列函数中，）下列函数中，y 是是 x 的反比例函数的是（的反比例函数的是（ ） ） AB CD 2图象和性质图象和性质 （1）已知函数）已知函数是反比例函数，是反比例函数， 若它的图象在第二、四象限内，那么若它的图象在第二、四象限内，那么 k=_ 若若 y 随随 x 的增大而减小，那么的增大而减小，那么 k=_ （2）已知一次函数）已知一次函数 y=ax+b 的图象经过第一、二、四象限，则函数的图象经过第一、二、四象限，则函数的图象位于第的图象位于第_象限象限 （3）若反比例函数）若反比例函数经过点（经过点（，2） ，则一次函数） ，
8、则一次函数的图象一定不经过第的图象一定不经过第_象限象限 （4）已知）已知 ab0，点，点 P（a，b）在反比例函数）在反比例函数的图象上，的图象上， 则直线则直线不经过的象限是（不经过的象限是（ ） ） A第一象限第一象限 B第二象限第二象限 C第三象限第三象限 D第四象限第四象限 （5）若）若 P（2，2）和）和 Q（m，）是反比例函数）是反比例函数图象上的两点，图象上的两点， 则一次函数则一次函数 y=kx+m 的图象经过（的图象经过（ ） ） A第一、二、三象限第一、二、三象限 B第一、二、四象限第一、二、四象限 C第一、三、四象限第一、三、四象限 D第二、三、四象限第二、三、四象限
9、（6）已知函数）已知函数和和（k0） ，它们在同一坐标系内的图象大致是（） ，它们在同一坐标系内的图象大致是（ ） ） A B C D 4 3函数的增减性函数的增减性 （1）在反比例函数）在反比例函数的图象上有两点的图象上有两点，且，且，则，则的值为的值为 （ ） ） A正数正数 B负数负数 C非正数非正数 D非负数非负数 （2）在函数）在函数（a 为常数）的图象上有三个点为常数）的图象上有三个点，则函数值，则函数值、 的大小关系是（的大小关系是（ ） ） ABCD （3）下列四个函数中：）下列四个函数中：； y 随随 x 的增大而减小的函数有（的增大而减小的函数有（ ） ） A0个个 B1个
10、个 C2个个 D3个个 （4）已知反比例函数）已知反比例函数的图象与直线的图象与直线 y=2x 和和 y=x+1的图象过同一点，则当的图象过同一点，则当 x0时，这个反比例函数的函时，这个反比例函数的函 数值数值 y 随随 x 的增大而（填的增大而（填“增大增大”或或“减小减小”） ） 注意， （注意， （3）中只有是符合题意的，而是在）中只有是符合题意的，而是在“每一个象限内每一个象限内” y 随随 x 的增大而减小的增大而减小 4解析式的确定解析式的确定 （1）若）若与与成反比例，成反比例，与与成正比例，则成正比例，则 y 是是 z 的（的（ ） ） A正比例函数正比例函数 B反比例函数反
11、比例函数 C一次函数一次函数 D不能确定不能确定 （2）若正比例函数）若正比例函数 y=2x 与反比例函数与反比例函数的图象有一个交点为的图象有一个交点为 （2，m） ，则） ，则 m=_，k=_，它，它 们的另一个交点为们的另一个交点为_ （3）已知反比例函数）已知反比例函数的图象经过点的图象经过点，反比例函数，反比例函数的图象在第二、四象限，求的图象在第二、四象限，求的值的值 （4）已知一次函数）已知一次函数 y=x+m 与反比例函数与反比例函数（）的图象在第一象限内的交点为）的图象在第一象限内的交点为 P （x 0，3） ） 求求 x 0的值；求一次函数和反比例函数的解析式的值；求一次函
12、数和反比例函数的解析式 5 （5）为了预防）为了预防“非典非典”，某学校对教室采用药薰消毒法进行消毒，某学校对教室采用药薰消毒法进行消毒 已知药物燃烧时，室内每立方米空气中的含药已知药物燃烧时，室内每立方米空气中的含药 量量 y （毫克）与时间（毫克）与时间 x （分钟）成正比例，药物燃烧完后，（分钟）成正比例，药物燃烧完后，y 与与 x 成反比例（如图所示） ，现测得药物成反比例（如图所示） ，现测得药物8分钟燃毕，此分钟燃毕，此 时室内空气中每立方米的含药量为时室内空气中每立方米的含药量为6毫克毫克 请根据题中所提供的信息解答下列问题：请根据题中所提供的信息解答下列问题： 药物燃烧时药物燃
13、烧时 y 关于关于 x 的函数关系式为的函数关系式为_， 自变量， 自变量 x 的取值范围是的取值范围是_； 药物燃烧后； 药物燃烧后 y 关于关于 x 的函数关系式为的函数关系式为_ 研究表明， 当空气中每立方米的含药量低于研究表明， 当空气中每立方米的含药量低于1.6毫克时学生方可进教室， 那么从消毒开始， 至少需要经过毫克时学生方可进教室， 那么从消毒开始， 至少需要经过_ 分钟后，学生才能回到教室；分钟后，学生才能回到教室； 研究表明， 当空气中每立方米的含药量不低于研究表明， 当空气中每立方米的含药量不低于3毫克且持续时间不低于毫克且持续时间不低于10 分钟时， 才能有效杀灭空气中的
14、病菌，那分钟时， 才能有效杀灭空气中的病菌，那 么此次消毒是否有效？为什么？么此次消毒是否有效？为什么？ （3）依题意，）依题意，且且，解得，解得 （4）依题意，）依题意，解得解得 一次函数解析式为一次函数解析式为，反比例函数解析式为，反比例函数解析式为 （5），； 30；消毒时间为；消毒时间为（分钟） ，所以消毒有效（分钟） ，所以消毒有效 5面积计算面积计算 （1）如图，在函数）如图，在函数的图象上有三个点的图象上有三个点 A、B、C，过这三个点分别向，过这三个点分别向 x 轴、轴、y 轴作垂线，过每一点所作的轴作垂线，过每一点所作的 两条垂线段与两条垂线段与 x 轴、轴、y 轴围成的矩形
15、的面积分别为轴围成的矩形的面积分别为、，则（，则（ ） ） ABCD 6 第（第（1）题图）题图 第（第（2）题图）题图 （2）如图，）如图，A、B 是函数是函数的图象上关于原点的图象上关于原点 O 对称的任意两点，对称的任意两点，AC/y 轴，轴，BC/x 轴，轴，ABC 的面积的面积 S， 则（则（ ） ） AS=1 B1S2 CS=2 DS2 （3）如图，）如图，Rt AOB 的顶点的顶点 A 在双曲线在双曲线上，且上，且 S AOB=3，求，求 m 的值的值 第（第（3）题图）题图 第（第（4）题图）题图 （4） 已知函数） 已知函数的图象和两条直线的图象和两条直线 y=x， y=2x 在第一象限内分别相交于在第一象限内分别相交于 P1和和 P2两点， 过两点， 过 P1分别作分别作 x 轴、轴、 y 轴的垂线轴的垂线 P1Q1， P1R1， 垂足分别为， 垂足分别为 Q1， R1， 过， 过 P2分别作分别作 x 轴、轴、 y 轴的垂线轴的垂线 P2 Q 2， P2 R 2， 垂足分别为， 垂足分别为 Q 2， R 2， 求矩形， 求矩形 O Q 1P1 R 1和和 O Q 2P2 R 2的周长，并比较它们的大小的周长，并比较它们的大小 （5） 如图， 正比例函数） 如图， 正比例函数 y=kx（k0
