《442编号函数的单调性 知识点与题型归纳》由会员分享，可在线阅读，更多相关《442编号函数的单调性 知识点与题型归纳（22页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、1 高考明方向高考明方向 1.1.理解函数的单调性、最大值、最小值及其几何意义理解函数的单调性、最大值、最小值及其几何意义 2.会2.会运用基本初等函数的图象分析函数的性质运用基本初等函数的图象分析函数的性质. . 备考知考情备考知考情 1.1.函数的单调性是函数的一个重要性质，是高考的热点函数的单调性是函数的一个重要性质，是高考的热点， 常见问题有：求单调区间，判断函数的单调性，求参数的 取值，利用函数单调性比较数的大小，以及解不等式 等客观题主要考查函数的单调性，最值的确定与简单应 用 ， 常见问题有：求单调区间，判断函数的单调性，求参数的 取值，利用函数单调性比较数的大小，以及解不等式
2、等客观题主要考查函数的单调性，最值的确定与简单应 用 2.2.题型多以选择题、填空题的形式出现，若与导数交汇题型多以选择题、填空题的形式出现，若与导数交汇 命题，则以解答题的形式出现命题，则以解答题的形式出现. . 一、知识梳理一、知识梳理名师一号P15名师一号P15 注意：注意： 研究函数单调性必须研究函数单调性必须先求函数的定义域，先求函数的定义域， 函数的单调区间是函数的单调区间是定义域的子集定义域的子集 单调区间单调区间不能并不能并！ 知识点一 函数的单调性知识点一 函数的单调性 1.单调函数的定义1.单调函数的定义 2 2.单调性、单调区间的定义单调性、单调区间的定义 若函数若函数
3、f(x)在区间在区间 D 上是上是增函数或减函数增函数或减函数，则称函数，则称函数 f(x) 在这一区间上具有在这一区间上具有(严格的严格的)单调性，单调性，区间区间 D 叫做叫做 f(x)的单 调区间 的单 调区间. 注意：注意： 1、 名师一号P16 问题探究 问题 11、 名师一号P16 问题探究 问题 1 关于函数单调性的定义应注意哪些问题？关于函数单调性的定义应注意哪些问题？ (1)定义中定义中 x1，x2具有任意性具有任意性，不能是规定的特定值，不能是规定的特定值 (2)函数的函数的单调区间必须是定义域的子集单调区间必须是定义域的子集； (3)定义的两种变式定义的两种变式： 设任意
4、设任意 x1，x2a，b且且 x10f(x)在在a，b上是增函数；上是增函数； (x1x2)f(x1)f(x2)0f(x)在在a，b上是减函数上是减函数 2、 名师一号P16 问题探究 问题 22、 名师一号P16 问题探究 问题 2 单调区间的表示注意哪些问题？单调区间的表示注意哪些问题？ 单调区间只能用区间表示单调区间只能用区间表示，不能用集合或不等式表示；，不能用集合或不等式表示； 如如有多个单调区间应分别写，不能用并集符号有多个单调区间应分别写，不能用并集符号“”联结联结， 也不能用 ， 也不能用“或或”联结联结 知识点二知识点二 单调性的单调性的证明证明方法：方法：定义法及导数法定义
5、法及导数法 名师一号P16 高频考点 例 1 规律方法名师一号P16 高频考点 例 1 规律方法 (1) 定义法定义法: 利用利用定义定义证明函数单调性的一般步骤是：证明函数单调性的一般步骤是： 任取任取 x1、x2D，且，且 x10， 则， 则f(x) 在区间在区间 D 内为增函数；如果内为增函数；如果 f (x)0， 则为减则为减(增增)函数，为增函数，为增(减减)函数函数 1 fx fx 3互为反函数的两个函数有相同的单调性互为反函数的两个函数有相同的单调性 4yfg(x)是定义在是定义在 M 上的函数，上的函数， 若若 f(x)与与 g(x)的单调性相同，的单调性相同， 则其复合函数则
6、其复合函数 fg(x)为增函数；为增函数； 若若 f(x)、g(x)的单调性相反，的单调性相反， 则其复合函数则其复合函数 fg(x)为减函数为减函数 简称简称”同增异减同增异减” 5. 奇函数在关于原点对称的两个区间上的单调性相同；奇函数在关于原点对称的两个区间上的单调性相同； 偶函数在关于原点对称的两个区间上的单调性相反偶函数在关于原点对称的两个区间上的单调性相反 5 函数单调性的应用函数单调性的应用 名师一号P17 特色专题 名师一号P17 特色专题 (1)求某些函数的值域或最值求某些函数的值域或最值 (2)比较函数值或自变量值的大小比较函数值或自变量值的大小 (3)解、证不等式解、证不
7、等式 (4)求参数的取值范围或值求参数的取值范围或值 (5)作函数图象作函数图象 二、例题分析：二、例题分析： （一)（一) 函数单调性的判断与证明函数单调性的判断与证明 例 1.（1） 名师一号P16 对点自测 1例 1.（1） 名师一号P16 对点自测 1 判断下列说法是否正确判断下列说法是否正确 (1)函数函数 f(x)2x1 在在(，)上是增函数上是增函数() (2)函数函数 f(x) 在其定义域上是减函数 在其定义域上是减函数() 1 x (3)已知已知 f(x)，g(x)2x，则，则 yf(x)g(x)在定义域在定义域x 上是增函数上是增函数() 答案：答案： 例 1.（2） 名师
8、一号P16 高频考点 例 1（1）例 1.（2） 名师一号P16 高频考点 例 1（1） 6 (2014北京卷北京卷)下列函数中，在区间下列函数中，在区间(0，)上为增函数的 是 上为增函数的 是() Ay By(x1)2x1 Cy2 x Dylog0.5(x1) 答案：答案：A. 例 2.（1） 名师一号P16 高频考点 例 1（2）例 2.（1） 名师一号P16 高频考点 例 1（2） 判断函数判断函数 f(x)在在(1，)上的单调性，并证明上的单调性，并证明 ax x 1 法一：定义法法一：定义法 设设1x1x2， 则则 f(x1)f(x2) ax1 x11 ax2 x21 ax 1x2
9、 1ax2x11 x11x21 ax1x2 x11x21 1x1x2， x1x20，x210. 7 当当 a0 时，时，f(x1)f(x2)0， 即即 f(x1)f(x2)， 函数函数 yf(x)在在(1，)上单调递增上单调递增 同理当同理当 a0， 即即 f(x1)f(x2)， 函数函数 yf(x)在在(1，)上单调递减上单调递减 法二：导数法法二：导数法 注意：注意：名师一号P17 高频考点 例 1 规律方法名师一号P17 高频考点 例 1 规律方法 1.判断函数的单调性应先求定义域；判断函数的单调性应先求定义域； 2.用定义法判断用定义法判断(或证明或证明)函数单调性的一般步骤为：函数单
10、调性的一般步骤为： 取值取值作差作差变形变形判号判号定论，定论， 其中变形为关键， 而变形的方法有因式分解、 配方法等 ；其中变形为关键， 而变形的方法有因式分解、 配方法等 ； 3.用导数判断函数的单调性简单快捷，应引起足够的重视用导数判断函数的单调性简单快捷，应引起足够的重视 （二）求复合函数、分段函数的单调性区间（二）求复合函数、分段函数的单调性区间 例 1.名师一号P16 高频考点 例 2（1）例 1.名师一号P16 高频考点 例 2（1） 求函数求函数 yx|1x|的单调增区间；的单调增区间； yx|1x|Error! 作出该函数的图象如图所示作出该函数的图象如图所示 8 由图象可知
11、，该函数的单调增区间是由图象可知，该函数的单调增区间是(，1 例例 2.（1） 名师一号） 名师一号P16 高频考点高频考点 例例 2（2） 求函数求函数 ylog (x24x3)的单调区间的单调区间 1 3 解析解析:令令 ux24x3， 原函数可以看作原函数可以看作 ylog u 与与 ux24x3 的复合函数的复合函数 1 3 令令 ux24x30.则则 x3. 函数函数 ylog (x24x3)的定义域为的定义域为 1 3 (，1)(3，) 又又 ux24x3 的图象的对称轴为的图象的对称轴为 x2，且开口向上，且开口向上， ux24x3 在在(，1)上是减函数，上是减函数， 9 在在
12、(3，)上是增函数上是增函数 而函数而函数 ylog u 在在(0，)上是减函数，上是减函数， 1 3 ylog (x24x3)的单调递减区间为的单调递减区间为(3，)， 1 3 单调递增区间为单调递增区间为(，1) 注意：注意：名师一号P17 高频考点 例 2 规律方法名师一号P17 高频考点 例 2 规律方法 求函数的单调区间的常用方法求函数的单调区间的常用方法 (1)利用已知函数的单调性，利用已知函数的单调性， 即转化为已知函数的和、差或复合函数，求单调区间即转化为已知函数的和、差或复合函数，求单调区间 (2)定义法：先求定义域，再利用单调性定义定义法：先求定义域，再利用单调性定义 (3
13、)图象法：如果图象法：如果 f(x)是以图象形式给出的，或者是以图象形式给出的，或者 f(x)的的 图象易作出，可由图象的直观性写出它的单调区间图象易作出，可由图象的直观性写出它的单调区间 (4)导数法：利用导数的正负确定函数的单调区间导数法：利用导数的正负确定函数的单调区间 例例 2.（2）(补充)(补充) 2 11 22 log4log yxx 10 答案：增区间：；减区间：答案：增区间：；减区间： 1 , 4 1 0, 4 练习:练习: 2 22 loglogyxx 答案：增区间：；减区间：答案：增区间：；减区间： 2, 0, 2 （三）利用单调性解（证）不等式及比较大小（三）利用单调性
14、解（证）不等式及比较大小 例 1.（1） 名师一号P17 特色专题 典例(1)例 1.（1） 名师一号P17 特色专题 典例(1) 已知函数已知函数 f(x)log2x，若，若 x1(1,2)，x2(2，)， 1 1 x 则则() Af(x1)0，f(x2)0 Bf(x1)0 Cf(x1)0，f(x2)0，f(x2)0 【规范解答】【规范解答】函数函数 f(x)log2x在在(1，)上为上为 1 1 x 增函数，且增函数，且 f(2)0， 当当 x1(1,2)时，时，f(x1)f(2)0， 即即 f(x1)0. 11 例 1.（2） 名师一号P17 特色专题 典例(2)例 1.（2） 名师一号
15、P17 特色专题 典例(2) 已知函数已知函数 f(x)Error!则不等式则不等式 f(a24)f(3a)的解集为的解集为() A(2,6) B(1,4) C(1,4) D(3,5) 【规范解答】【规范解答】作出函数作出函数 f(x)的图象，的图象， 如图所示，则函数如图所示，则函数 f(x)在在 R 上是上是 单调递减的由单调递减的由 f(a24)f(3a)， 可得可得 a243a，整理得，整理得 a23a40， 即即(a1)(a4)0，解得，解得1a4， 所以不等式的解集为所以不等式的解集为(1,4) 注意: 注意:本例分段函数的单调区间可以并!本例分段函数的单调区间可以并! （四）已知
16、单调性求参数的值或取值范围（四）已知单调性求参数的值或取值范围 例 1.(1)名师一号P17 特色专题 典例(3)例 1.(1)名师一号P17 特色专题 典例(3) 已知函数满足对任意的实数已知函数满足对任意的实数 2,2 1 1,2 2 x ax x f x x 12 x1x2，都有成立，则实数，都有成立，则实数 a 的取值范的取值范 12 12 ( )() 0 f xf x xx 围为围为() A(，2) B. C(，2 D. ( ， ，13 8 13 8 ， ，2) 【规范解答】【规范解答】函数函数 f(x)是是 R 上的减函数，上的减函数， 于是有于是有Error!由此解得由此解得 a， 13 8 即实数即实数 a 的取值范围是的取值范围是. ( ， ，13 8 例
