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1、线性代数讲义 第二章 矩 阵第二章 矩阵及其运算矩阵是线性代数的一个基本概念, 矩阵运算是线性代数的基本内容. 矩阵(matrix)这个词是1850年由英国数学家、剑桥大学教授西尔维斯特(Sylrester)首先提出来的. 由于矩阵把一组相互独立的数, 用一张数表的形式联系在一起, 视为一个整体, 用一个量来表示, 并参与运算. 就使原来很庞大而且杂乱无章的数据变得简单而有序. 从数学史上来说, 正是由于矩阵及其运算的引入, 推动了线性代数及其他数学分支的理论的发展. 对今天来说, 它又为我们应用计算机来处理科学计算和日常事务带来很大的方便与可能. 用矩阵方法解线形方程组是中国首先创造的. 东
2、汉初年的九章算术中讨论了“方程术”, 其实际就是解线性方程组的高斯消去法. 书中所谓的“方程”, 实际就是矩阵. 后来, 元代数学家朱世杰1303年的一部著作中, 及其精要地叙述了中国的代数方法, 他采用了现在人们所熟悉的矩阵方法解线性方程组. 主要内容 1. 矩阵的概念、常用的特殊矩阵. 2. 矩阵的基本运算. 3. 矩阵的逆及分块矩阵.重点内容 矩阵的运算第一节 矩 阵一、矩阵的定义定义1 由个数排成的行列的矩形数表 称为行列矩阵, 简称矩阵. 为表示它是一个整体, 总是加一个括号, 并用大写黑体字母表示, 记作 (1) 这个数称为矩阵的元素, 简称为元, 数位于矩阵的第行第列, 称为矩阵
3、的元. 以数为元的矩阵可简记为或. 的矩阵可记为. 说明 1) 元素是实数的矩阵称为实矩阵, 元素是复数的矩阵称为复矩阵. 2) 行数与列数都等于得矩阵称为阶矩阵或阶方阵. 阶方阵可记为. 3) 若两矩阵的行数与列数都相同, 则称为同型矩阵. 设为同型矩阵, 并且它们的对应元素相等, 即 , 则称与相等, 记为. 例如矩阵分别为矩阵、矩阵和阶方阵. 二、常用的特殊矩阵1、行矩阵与列矩阵行矩阵(行向量): ; 列矩阵(列向量): . 2、零矩阵. 3、单位矩阵. 4、对角矩阵, 亦记为: . 三、矩阵的应用举例例 1 (产品发送量矩阵) 某厂向三个商店发送四种产品的数量可列成矩阵,其中为工厂向第
4、店发送第种产品的数量. 这四种产品的单价及单件重量也可列成矩阵, 其中为第种产品的单价, 为第种产品的单件重量.例2 个变量与个变量之间的关系式 (2) 表示一个从到的线性变换, 其中为常数. 线性变换(2)的系数构成矩阵. 说明 1) 线性变换与矩阵之间存在一一对应关系. 2) 在线性变换中, 有一种特殊的变换, 其形式为, 可以称为加权压缩变换, 其对应的矩阵为对角形矩阵.特别地, 当时为恒等变换, 对应的矩阵为单位矩阵. 3) 常见的线性变换还有投影变换和旋转变换. 例如图2.1就是从空间向平面上的一个投影变换; 对应的矩阵为. 又如矩阵图2.2对应的线性变换是平面上的一个旋转变换, 旋
5、转角为. 事实上, 令, 可得由此可见, 该变换为平面上的一个旋转角为的逆时针方向的旋转变换.第二节 矩阵的运算一、矩阵的加法定义2 设, 则矩阵与之和记作, 规定为 注意: 只有当与为同型矩阵时才能相加. 矩阵加法的运算规律: 1) 交换律 ; 2) 结合律 . 设, 记 , 则称为的负矩阵, 显然有. 由此规定矩阵的减法为. 二、数与矩阵相乘定义3 数与矩阵的乘积记作或, 规定为. 注意: 数与矩阵的乘法与数与行列式的乘法是有区别的. 矩阵数乘的运算规律: 1) 结合律 ; 2) 分配律 ; . 例3 已知, 其中 , , 求矩阵. 三、矩阵与矩阵相乘引例 甲、乙两公司每月生产、型计算机分
6、别为台和台. 我们可把这些数据列成一个矩阵: . 如果生产这三种型号的计算机每台利润(万元每台) 为, 那么, 这两家公司的日利润应为. 事实上, 是与按下列规律相乘得到的.由此引出两矩阵相乘的定义. 定义4 设, 则规定与的乘积是矩阵, 其中, 并把此乘积记作 注意: 只有当左边矩阵的列数与右边的矩阵的行数相等时, 与才能相乘. 的图示如下: 例如, , 则注意, 与不能相乘. 例4 设, 求. 解 . 注意: , 但可能. 例5 设矩阵, 求. 解 . 注意: 这里, 但. 通过上述例子, 矩阵乘法与数的乘法是不同的: 1) 一般地, , 即矩阵乘法不满足交换律. 若, 则称与可交换; 2
7、) 一般地, 由不能推出或; 3) 一般地, 由不能推出. 矩阵乘法的运算规律: 1) 结合律 , ; 2) 右分配律 ; 3) 左分配律 . 对单位矩阵, 有 , . 或简写成 . 矩阵的幂: 设为阶矩阵, 定义的次幂为: 为正整数, 并规定. 显然有, 其中为非负整数. 注意: 一般的, . 例6 设有线性方程组 (3) 由矩阵相等, 上式可写为. 利用矩阵乘积, 上式左边可表示为. 记 则方程组(3) 可用矩阵形式记为 . 例7 由变量到变量的线性变换的关系式 (2) 若记 , 则线性变换(2) 可用矩阵形式记为.如果又有一个线性变换, 其中 , 即 (3) 将(2) 代入(3) 得变换
8、 (4) 变换(4) 就是从到的线性变换, 这个复合线性变换所对应的矩阵, 正好是这两个线性变换对应矩阵与的乘积. 历史上, 人们正是首先从这个例子引出矩阵乘法的定义. 四、 矩阵的转置定义5 把矩阵的行换成同序列的列得到的新矩阵称为的转置, 记作, 即 . 矩阵转置的运算规律: 1) ; 2) ; 3) ; 4) . 证 只证4) . 设 则中的第行第列元素为, 所以, 中的第行第列元素为. 又的第行元素为, 的第列元素为所以, 的第行第列元素为 . 证毕说明: 运算规律4) 可推广为. 例8 设, 又, 求. 解 . 因为, ,所以.说明 设, 若, 即(), 则称为对称矩阵; 若, 即(
9、), 则称为反对称矩阵. 对称矩阵的元素以主对角线为对称轴; 反对称矩阵的主对角线上的元素全为零. 五、方阵的行列式定义 由阶方阵的元素所构成的行列式称为方阵的行列式, 记为或. 方阵的行列式运算规律: 1) ; 2) ; 3) . 证 只证3) . 设, , 记阶行列式, 由第一章例7知, . 又在中以乘第1列, 乘第2列, , 第列, 都加到第列上(), 有, 其中, , 故. 再对的行作 , 有, 从而, 按第一章的例7有 . 于是 . 证毕说明 由3) 知, 对阶方阵, 一般来说, , 但总有. 例9 行列式的各元素的代数余子式所构成的矩阵称为矩阵的伴随矩阵, 试证. 证 由展开定理知
10、 . 类似有. 故 . 证毕六、共轭矩阵设为复矩阵, 则称为的共轭矩阵. 共轭矩阵的运算规律: 1) ; 2) ; 3) . 第三节 逆 矩 阵逆矩阵在矩阵理论中是一个十分重要的概念, 引入逆矩阵概念之后, 使得矩阵在各门学科中发挥重大的作用. 定义 设为阶方阵, 若存在阶方阵, 使得, 则称方阵是可逆的, 并称为的逆阵. 本节主要研究：1) 的逆阵是否唯一； 2) 可逆的条件是什么, 怎么求逆矩阵？一、逆矩阵的唯一性设都是的逆阵, 即,因为,所以, 的逆阵是否唯一的. 的逆阵记为, 于是. 二、矩阵可逆的条件定理1 若方阵可逆, 则.证 若可逆, 则存在, 使得. 两边取行列式,所以. 证毕
11、说明 定理1是矩阵可逆的必要条件, 由该定理知, 若, 则必不可逆. 如矩阵都不可逆. 定理2 若, 则方阵可逆, 且. 证 由例9 知, . 因为, 所以 .由逆矩阵的定义知, 可逆且. 证毕例10 设, 且, 求. 解 .推论 设为阶的方阵, 若, 则都可逆, 且. 证 因为 , 所以, 故都可逆. 于是.类似可得 . 说明 1)由定理1、2得：可逆.2) 当时, 则称为非奇异矩阵; 当时, 则称为奇异矩阵. 于是, 可逆矩阵就是非奇异矩阵. 例11 设为同阶方阵, 且, 试证：. 证 因为, 所以由推论知, 可逆, 且故.例12 阶方阵满足, 试证可逆, 并求. 证 由 得, 即 . 由推论知, 可逆 且.逆矩阵的运算规律：1)若可逆, 则也可逆, 且; 2)若可逆, , 则也可逆, 且 ;3)若同阶方阵都可逆, 则也可逆, 且;4)若可逆, 则也可逆, 且;5)若可逆, 则;6) 当时, 定义, 其中为正整数. 当,
