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1、一则数学探究式教学案例设计扬州大学附属中学朱小艳论文关键词：探究式教学 开放式学习活动合情推理演绎推理论文摘要：为增强学生的数学思维，切实培养学生应用数学的意识、用数学的思维去发现问题、提出问题、分析问题、解决问题的能力，通过对“前 n 个正整数的平方和”的探究教学的设计提出在数学课堂教学中实施探究式教学的具体做法。探究式教学，是指在教师的指导下，学生运用探究的方法进行学习，主动获取知识、发展能力的实践活动。而数学课堂探究式教学，就是教师通过各种课堂教学组织形式，把学生数学学习过程中的发现、探索、研究等认识活动凸现出来，使数学学习过程更多地成为学生发现问题、提出问题、分析问题、解决问题的过程的
2、一种教学方法。笔者在教学实践中进行了一点实践与思考。本文通过苏教版选修2 2中 推理案例赏析一课的设计谈谈在数学课堂教学中实施探究式教学的具体做法。【总体设计意图】在教师的引导下，重现数学家欧拉发现简单多面体欧拉公式的过程，使学生通过欣赏这一推理过程增加文化素养，通过具体实例的探究增强推理能力和对数学的热爱及研究数学问题锲而不舍的精神。教学目标：1通 过 具 体 推 理 案 例 ， 了 解 合 情 推 理 与 演 绎 推 理 之 间 的 联 系 和 差 异 ， 并 能 运用 它 们 进 行 一 些 简 单 的 推 理 ；2借助具体推理案例，体会合情推理与演绎推理在数学发现中的作用及在数学证明中
3、的重要性；3通 过 学 生 观 察 事 物 、 展 开 联 想 、 发 现 问 题 的 思 维 过 程 ， 培 养 理 性 思 维 的品 质 ， 形 成 良 好 的 数 学 素 养 教 学 重 点 ： 认 识 和 了 解 合 情 推 理 和 演 绎 推 理 的 作 用 教 学 难 点 ： 归 纳 推 理 、 类 比 推 理 和 演 绎 推 理 的 应 用 教 学 过 程 ： 一、设置情境欣赏瑞士数学家欧拉发现简单多面体欧拉公式的过程。提出问题1：我们欣赏了欧拉发现简单多面体的顶点数、棱数及面数之间关系的探究过程，有何感受？是否能体会到正是由于这些数学工作者、爱好者艰辛和不懈的努力推动了数学的发
4、展，促进了人类进步？在欧拉公式的探究活动中，欧拉用了哪些数学思想和方法？【设计意图】通过对数学家欧拉进行数学探究活动过程的欣赏创设问题情境，让学生走近数学巨人，学习伟人的数学品质和锲而不舍的探索精神，进而认识数学的科学价值和文化价值，并体会数学家在数学发现活动中研究问题的一般方法及推理过程，同时也为用列表方式解决数学对象之间关系的教学做好铺垫。提出问题2 已知前 n 个正整数的和同学们能否运用大数学家欧拉发现简单多面体的欧拉公式的数学思想和方法来探究：前 n 个正整数的平方和 二、探索实践将学生分成三个小组，进行分组交流，让学生在不断的尝试、归纳、猜想、质疑的过程中逐步找到解决问题的方案，并在
5、班级进行汇报交流。 探究问题1 （一）归纳的方案n 1 2 3 4 5 6 1 5 14 30 55 91 1 3 6 10 15 21 2 8 20 40 70 112 0 2 8 20 40 70 1 15 84 300 825 1911 13甲组：将 和 作对比，寻找规律。我们小组首先尝试 ，似乎没有规律；再次尝试 ，似乎也没有规律。但我们很快发现 和 之间有一定规律，即 ，由此递推关系入手推得 ，即 ，由得到 再进行叠加，但却得到了 ，问题未得到解决。尝试失败！【设计意图】使学生认识到数学的探究活动是艰辛的，可能会遇到失败，从失败中汲取教训，调整解题思路。教师：你从表格中还能观察到什么
6、？通过尝试，发现，并由此猜想，进而推得。尝试成功！ 【设计意图】引导学生从另外一个角度进行合情推理，并使学生体悟到合情推理在数学发现活动中的作用。乙组：发现1+1+3=5，5+3+6=14，即 ，同小组甲的尝试一样，可以求得 ，无法得到 。【设计意图】虽然这里的探究并未成功，但这种探究过程本身就是对“归纳推理”的一种尝试和体验，同时对下面用演绎法证明结论具有铺垫作用。丙组：尝试 ，似乎也没有规律，继续尝试，我们惊喜地发现，并很快由此猜想：，进而推得。尝试成功！教师：祝贺你们，尝试成功！但结论的正确性还需要证明。【设计意图】引导学生多角度地进行合情推理，增强推理能力，使学生认识到合情推理在数学发
7、现中的重要性，但结论还需要进行论证，培养学生严谨的科学态度。（二）演绎的方案问题3我们通过联想、尝试、归纳、猜想找到结论，那么如何证明呢？问题4小组甲在尝试 的过程中，无法求得 ，但可以通过 及 得到 再叠加可以求得 ，我们从中得到哪些启示？学生经过探究，教师引导，发现：将 和 错位相减后得到 ，其实质是由恒等式 中 n 取1 ，2，n 经过叠加后求得 ，学生由此联想到可以利用 求 ，学生自行推导证明。【设计意图】这里的探究过程不仅帮助学生提高了思维层次，抓住前面失败的原因作出相应的调整，很快找到演绎的方案，而且这一过程渗透了类比推理的思想方法。问题5 在探究问题的过程中，你有没有新的发现或提
8、出新的问题？学生发现由 ， ，可以类比联想到利用 ，利用 ，（学生课后完成）【设计意图】引导学生运用类比推理的思想方法进一步产生新的数学猜想，提升对该数学问题的认识，培养学生探究数学问题的思维品质。（三）类比的方案问题6 是关于 n 的二次式，同学们能否从结论上类比得到 呢？在教师引导下，学生类比联想到 可能是个多项式，那就从最简单的三次式开始探究，利用待定系数法推得【设计意图】引导学生从结论的结构特点进行大胆猜想，并进一步体会类比推理在数学活动中的作用。三、合理建构问题7上述数学活动是由哪些环节构成的？在这个过程中提出了哪些猜想？提出猜想时使用了哪些推理方法？合情推理和演绎推理分别发挥什么作
9、用？【设计意图】帮助学生对前面探究过程中所使用的推理方法进行整理、归纳，体会合情推理和演绎推理在数学发现活动中的相辅相成、相互为用。四、数学运用（a）(b)（c）练习1：如图所示，图（a）是棱长为 1的小正方体，图（b） 、图（c）是由这样的小正方体摆放而成。按照这样的方法继续摆放，自上而下分别叫第1层，第2 层，第 n 层。第 n 层的小正方体的个数记为 ，解答下列问题：（1）求 的值；（2）猜想 .练习2：在数列 满足 ， ，试求这个数列的通项公式【设计意图】两个练习的选题和设计，是对前面理论知识的一个巩固和应用，进一步体会合情推理和归纳推理的联系和差异。五、回顾小结(1)合情推理和演绎推
10、理相辅相成，相互为用，共同推动着发现活动的进程 (2)合情推理是富于创造性的推理，在数学发现活动中，它为演绎推理确定了目标和方向，具有提出猜想、发现结论、提供思路的作用(3)演绎推理是形式化程度较高的推理，在数学发现活动中，它具有类似于“实验”的功能，它不仅为合情推理提供了前提，而且可以对猜想作出“判断”和证明，从而为调控探索活动提供依据六、布置作业1.三 角 形 三 边 的 长 都 是 整 数 ， 且 。 如 果 ， 这 样 的 三 角形 共 有 多 少 个 ？ 2. 探求前 n 个正整数的立方和 3.以小组为单位，通过阅读或查找资料，寻找合情推理和演绎推理在数学发现活动中的作用的案例，并写成小论文。【设计意图】运用合情推理和演绎推理解决数学问题，培养学生研究数学问题的意识。 本案例突出学生在课堂上的主体地位，转变学生被动接受知识的学习方式，创造了一个充满生机、积极探究的课堂教学氛围，张扬学生的个性，挖掘学生的潜能。在教师指导下，学生通过自主参与一系列多种形式的开放的探究式学习活动，充分发挥自己的潜能，富有创造性地主动学习。学生通过参与探索问题的体验，加深对学习价值的认识，使学生在思想意识、情感意识、思维能力及精神境界等方面得到升华。当然，这则教学案例还有不少需要改进的地方，有待今后在教学实践中进一步完善。
