现代控制工程-第7章最优控制精编版

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1、第7章 最优控制,教材： 王万良，现代控制工程，高等教育出版社，2011,如果系统是状态完全能控的，则总可以设计一个状态反馈矩阵，使系统的闭环极点等于期望极点，以达到预期的动态特性要求。 在实际控制问题中，常常希望在控制过程中使一些指标最小，或者最大。例如，控制过程中，要求系统消耗的能量最少、时间最少等，或者达到最大的产量、最好的经济效益等。最优控制是控制系统设计的一种方法，它研究的中心问题是如何选择控制信号，使控制系统的性能在某种意义上是最优的。 下面首先介绍最优控制的概念，然后介绍用变分法求解最优控制问题的方法，和庞德里亚金的极小值原理，最后着重讨论线性二次型最优控制问题。,第7章 最优控

2、制,2,第7章 最优控制,7.1 最优控制的概念 7.2 变分法与泛函的极值条件 7.3 变分法求解无约束最优控制问题 7.4 极小值原理 7.5 线性二次型最优控制,3,7.1 最优控制的概念,设系统的状态方程为,最优性能指标,所谓最优控制，就是要确定在 中的最优控制，将系统的状态从 转移到 ，或者 的一个集合，并使性能指标最优。,最优控制问题从数学上看，就是求解一类带有约束条件的条件泛函极值问题，可以用变分法求解。 工程中很多控制问题的控制信号是受限制的，例如，任何系统中能够得到的燃料、电压、允许的温度等都是有限制的，不可能取任意大的值。 控制信号受限的最优控制问题不能用变分法求解，而需要

3、用庞德里亚金极小值原理或者贝尔曼的动态规划求解。,4,1.泛函的概念 如果对于自变量t，存在一类函数 ，对于每个函数 ，有一个 值与之对应，则变量 称为依赖于函数 的泛函数，简称为泛函，记作 。 如果泛函满足下列关系，则泛函是线性泛函。,7.2 变分法与泛函的极值条件,2.泛函的变分,泛函 的变量 的变分 ，定义为 ，其中， 为一标称函数（即最优控制中的最优轨线）， 为 邻域内与 属于同一函数类的某一函数。,5,7.2 变分法与泛函的极值条件,如果泛函的增量,可以表示为,其中， 是 的线性泛函，且当 时， 则线性泛函 称为泛函 的变分（一阶变分），记作 。,由变分的定义可以看出，泛函的变分是一

4、种线性映射，它的运算规则类似于函数的线性运算，有如下的变分规则：,6,3.泛函的极值 若泛函在 附近的任一曲线上的值不小于 ，即 ，则泛函在曲线 上达到极小值。 泛函在曲线 上达到极小值的必要条件为（证明略）,7.2 变分法与泛函的极值条件,在实际问题中，泛函极值问题的最优轨线通常是受到各种约束的。例如，最优控制性能指标（7.2）中的u和x的选择，要满足状态方程（7.1），这是一个等式约束。 在等式约束下的泛函极值问题，称为条件泛函极值问题。 用拉格朗日乘子法将条件泛函极值问题转化为无约束条件极值问题。 最优控制问题就是一类带有约束条件的条件泛函极值问题。,7,*7.3 变分法求解无约束最优控

5、制问题,设系统的状态方程为,性能指标为,上面的最优控制问题中，因为对控制变量没有约束，所以通常称为无约束最优控制问题。 无约束最优控制问题是一个求有等式约束的泛函极值问题，可以用拉格朗日乘子法把有约束条件问题转化为无约束条件问题。 构造增广泛函为,构造哈密顿函数为,则增广泛函为,设初始时刻 及其状态给定为 。根据终端状态边界条件，可按以下几种情况讨论。,8,*7.3 变分法求解无约束最优控制问题,1. 给定 ，终端自由，即 任意,增广泛函为,取一阶变分并令其为零，得,由于,9,*7.3 变分法求解无约束最优控制问题,最优控制问题（7.7），（7.8）取极值的必要条件为,状态方程,伴随方程,控制

6、方程,横截条件,联立求解上述正则方程和控制方程，就可求得性能指标达到极值时的最优控制 、最优状态轨线 及最优协态轨线 。,10,*7.3 变分法求解无约束最优控制问题,例 7.1 已知系统的状态方程为,初始条件为,性能指标,解 本题为给定 、终端自由的最优控制问题。由于控制变量不受约束，所以，可以用变分法求解。 构造哈密顿函数为,由伴随方程得,因此， 常数。由横截条件得,由控制方程得,即,代入状态方程，得,上面这个微分方程的解为,11,*7.3 变分法求解无约束最优控制问题,当 时，有,最优控制为,最优性能指标为,12,*7.3 变分法求解无约束最优控制问题,2. 给定，终端约束,设终端约束为

7、,构造增广泛函为,对增广泛函取一阶变分并令其为零，经过与上面类似的推导，得,13,*7.3 变分法求解无约束最优控制问题,最优控制问题（7.7），（7.8）取极值的必要条件为,状态方程,伴随方程,控制方程,横截条件,联立求解上述方程，就可求得性能指标达到极值时的最优控制 、最优状态轨线 及最优协态轨线 。,边界条件,14,*7.3 变分法求解无约束最优控制问题,例 7.2 已知系统,初始条件为,性能指标,解 本题为给定 、终端受约束的最优控制问题。由于控制变量不受约束，所以，可以用变分法求解。 构造哈密顿函数为,由于,终端约束条件为,15,所以,*7.3 变分法求解无约束最优控制问题,由初始条

8、件得,因为,由横截条件得,将 和 代入上式，得,16,*7.3 变分法求解无约束最优控制问题,求解以,作为未知数的联立方程组,可得,则所求最优控制为,17,*7.4 极小值原理,利用变分法求解最优控制问题时，要使极值条件有意义，需要假定控制是不受约束的，其变分是任意的。因此，在无约束最优控制问题中，要求控制变量不受任何限制，但是，在实际控制工程中，控制变量往往受到一定限制。例如，电动机的转矩、阀门开度等都有上限。控制变量只能在某个有界的闭域里取值。 控制变量受到限制时的最优控制问题，通常称为有约束最优控制问题。对于有约束最优控制问题，不能应用变分法求解，而需要采用本节所介绍的极小值原理求解。

9、极小值原理是由前苏联学者庞德里亚金1956年提出的。由于极大和极小可以认为只差一个负号，所以庞德里亚金极小值原理又称为极大值原理。由于极小值原理是由变分法引申而来，因此，它的结论与变分法的结果有许多相似之处。但由于它能求解控制变量受到边界限制的最优控制问题，并且不要求哈密顿函数对控制量可微，所以获得了广泛的应用。,18,设系统的状态方程为,7.4.1 连续系统的极小值原理,不等式约束为,要求终端状态满足等式约束,性能指标为,则最优控制、最优轨迹和最优伴随向量必须满足下列条件：,设哈密顿函数为,（1）沿最优轨线满足正则方程,（2）横截条件和边界条件,（3）在最优轨迹上与最优控制相对应的函数取绝对

10、极小值，即,19,7.4.1 连续系统的极小值原理,例 7.4 已知系统的状态方程为：,初始状态和终端状态分别为,控制量受到不等式的约束,求最优控制，使系统从初始状态转移到终端状态的时间最短。 解 这是最短时间的最优控制问题，因此，系统的性能指标为,解得,20,7.4.1 连续系统的极小值原理,由于控制是受约束的，所以要用极小值原理求解。哈密顿函数为,由于 ，当 并且 的符号与 相反时， 可使H为最小，所以最优控制为,21,7.4.2 离散系统的极小值原理,求解离散系统的最优控制的方法，与上述连续系统的方法相似。 离散系统极小值原理与连续系统极小值原理的对应关系如表7.2所示。,22,7.5

11、线性二次型最优控制,在最优控制问题中，若系统是线性的，且性能指标为二次型函数，则称为线性二次型调节器问题，简称LQR (Linear Quadratic Regulator) 问题。 由于二次型性能指标具有鲜明的物理意义，代表了大量工程实际问题中提出的性能指标要求，并且在数学上容易处理，而且可以得到线性状态反馈的最优控制律，易于工程实现，因而在实际工程问题中得到了广泛的应用。,23,7.5.1 线性二次型最优控制问题,设线性系统是状态完全能控的,最优控制的性能指标为状态向量和控制向量的二次型函数,上述问题称为线性二次型最优控制问题。,线性二次型调节器问题的提法具有普遍的意义。例如，在化工过程控

12、制中，给定一个设计的操作工况，希望设计一个控制系统，使生产过程恒定在该工况下，这就是所谓的定值调节系统。LQR调节器问题的物理概念与定值调节的概念是一致的，若系统受外界扰动，偏离平衡点(不失一般性，可假定平衡点为零状态)到某一初始状态，LQR调节器问题就是设计一控制律使系统状态回到零状态附近，并满足二次型目标函数为最小。,24,7.5.2 连续系统有限时间状态调节器,定理：设线性时变系统的状态方程为,二次型性能指标为,则最优控制存在且唯一，并由下式确定,25,例7.6 设被控系统为,7.5.2 连续系统有限时间状态调节器,性能指标为,求系统的最优控制律。 解 设正定对称矩阵,满足黎卡提矩阵微分

13、方程：,26,得到下列线性代数方程组：,7.5.2 连续系统有限时间状态调节器,利用计算机解上述微分方程，可以得到从 到 的 的值，从而得到最优控制为,由于状态反馈系数是时变的，所以在设计最优控制系统时需要先求出 和 的值，并存储在计算机中，在控制时再取出所需要的 和 的值。,27,7.5.3 连续系统无限时间定常状态调节器,设线性定常系统的状态方程为,设系统完全可控，状态向量，控制向量不受约束，性能指标为,则最优控制存在且唯一，并由下式确定,其中，K为正定对称矩阵，是下列黎卡提矩阵代数方程的唯一解,而最优状态则是下列线性微分方程的解,性能指标的最小值为,28,例7.7 设,7.5.3 连续系

14、统无限时间定常状态调节器,确定最优控制。 解 系统可控性判别矩阵为,所以，系统完全可控。设K矩阵为,由矩阵K是正定的要求得,即,将K代入黎卡提矩阵代数方程，得,29,系统的最优控制为,7.5.3 连续系统无限时间定常状态调节器,解得,30,设线性离散系统的状态方程为,7.5.4 线性离散系统状态调节器,1. 有限时间状态调节器 有限时间状态调节器的二次型性能指标为,最优控制规律为,31,离散系统状态调节器的结构图如图7.5所示。,7.5.4 线性离散系统状态调节器,32,7.5.4 线性离散系统状态调节器,2. 无限时间状态调节器 对于无限时间状态调节器，性能指标为,最优控制规律为,最优性能指

15、标为,33,7.5.4 线性离散系统状态调节器,例7.8 设线性离散系统的状态方程为,控制不受约束。性能指标为,求最优控制序列，使性能指标为最小。,解,最优控制的参数为,黎卡提差分方程为,由于,N=2,逆时间方向求解,，,因此得,最优控制规律为,34,7.5.4 线性离散系统状态调节器,则,则作用下的最优状态为,作用下的最优状态为,最优性能指标为,35,THE END,36,1、有时候读书是一种巧妙地避开思考的方法。20.8.3120.8.31Monday, August 31, 2020 2、阅读一切好书如同和过去最杰出的人谈话。03:56:0703:56:0703:568/31/2020 3:56:07 AM 3、越是没有本领的就越加自命不凡。20.8.3103:56:0703:56Aug-2031-Aug-20 4、越是无能的人，越喜欢挑