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1、求函数值域（或求函数最值）,黄石三中 郝海滨,求函数值域方法很多，常用配方法、换元法、判别式法、不等式法、反函数法、图像法（数形结合法）、函数的单调性法以及均值不等式法等。这些方法分别具有极强的针对性，每一种方法又不是万能的。要顺利解答求函数值域的问题，必须熟练掌握各种技能技巧，根据特点选择求值域的方法，下面就常见问题进行总结。,例1 求函数,如图， y-3/4,3/2.,分析：本题是求二次函数在区间上的值域问题，可用配方法或图像法求解。,例2 求函数,分析：函数是分式函数且都含有二次项，可用判别式和单调性法求解。,解法1：由函数知定义域为R,则变形可得： (2y-1)x2-(2y-1)x+(
2、3y1)=0. 当2y-1=0即y=1/2时，代入方程左边1/23-10,故1/2. 当2y-10,即y 1/2时，因xR,必有=(2y-1)2-4(2y-1)(3y-1) 0得3/10y1/2, 综上所得，原函数的值域为y3/10,1/2.,解法2：（函数的单调性法）,是增函数，u取最小值时，y也取最小值。,原函数的值域为y3/10,12）,例3 求函数 的反函数的定义域.,分析：函数f(x)的反函数的定义域就是原函数的 值域，可用不等式法求解。,解：变形可得,反函数的定义域为(-1,1)。,例4 求下列函数的值域： (1) y=6x2-2x3, (0x3); (2) 若正数a、b满足ab=
3、a+b+3,求ab的取值范围（99年高考题）。,分析：均值不等式可以解决诸多特殊条件的函数值域问题，变形恰当，柳暗花明。,(1)解：原函数可变形为：,当且仅当x/2=3-x时，即x=2时取等号。故在0x3时函数y的值域为y9，+）。,（2）解法1(均值不等式),当且仅当a=3时取等号。 故ab9，+）,解法2：（不等式法）,当a=3,b=3时取等号，故ab 9，+）.,例5 求下列函数的值域： （1） y=5-x+3x-1；（2）y=x-2+4-x2.,分析：带有根式的函数，本身求值域较难，可考虑用换元法将其变形，换元适当，事半功倍。,例6 求下列函数的值域：,分析：求复合函数的值域，利用函数
4、的单调性采用换元法先求出外层函数的值域作为内层函数的定义域，然后求原函数的值域，要特别注意内层函数的定义域的取值范围。,解（1）令u=x2+2x=(x+1)2-1,得u-1,+),则y=2u2-1=1/2；故值域是y 1/2,+).,(2)令u=-x2+2x+1=-(x-1)2+22,且u0,故y=log1/2u的定义域为（0，2上的减函数，即原函数值域的为y -1,+)。,分析：本题求值域看似简单，其实有其技巧性，变形适当事半功倍。(1)可用配方法或判别式法求解;（2）可用单调有界性解之。,解法1：不难看出y0,且可得定义域为3x5,原函数变形为：,解法2：(判别式法).,例8 已知圆C：x
5、2-4x+y2+1=0上任意一点P（x,y),求 的最大值与最小值。,分析： 即求圆上的点P(x,y)到原点(0,0)的斜率的最值，可利用数形结合法求解。,例9 已知圆C：x2+y2-4x+6y+11=0,求x+y+4的最值。,分析：本题可转化采用圆的参数方程表达，利用三角函数的有界性解决或在二元二次方程的约束条件下，求x+y+4的线性规划。,解法1：条件可化为(x-2)2+(y+3)2=2 把此圆化为参数方程,(x+y+4)max=5 (x+y+4)min=1,解法2（线性规划） x,y是圆C:(x-2)2+(y+3)2=2上的点，设x+y+4=z,则y=-x+(z-4),z-4可看作为直线
6、L:x+y+4-z=0在y轴上的截距，作直线y=-x并平移，当直线L:x+y+4-z=0和圆C相切时，z-4有最大值和最小值。,(x+y+4)max=5 (x+y+4)min=1,x,y,o,例10 求函数 的值域。,分析：利用三角函数的有界性较数形结合 为点(2,0)与点(cosx,-sinx)连线的斜率的过程要简单。,解：将原函数化为sinx+ycosx=2y,例11 求函数y=x2-2x+10+x2+6x+13的值域。,分析：本题求函数的值域可用解析几何与数形结合法解之。,A1(1,-3),y,P,将上式可看成为x轴上点P(x,0)与A(1,3),B(-3,2)的距离之和。即在x轴上求作一点P与两定点A,B的距离之和的最值，利用解析几何的方法可求其最小值。,如图，可求A关于x轴对称点A1(1,-3)连结A1B交x轴y于P,则P(x,0)为所求，可证明,所以原函数值域的为y41,+).,
