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1、第4章 试验数据的回归分析,4.1 基本概念,（1） 相互关系 确定性关系 ： 变量之间存在着严格的函数关系 相关关系 ： 变量之间近似存在某种函数关系 （2） 回归分析（regression analysis） 处理变量之间相关关系的统计方法 确定回归方程：变量之间近似的函数关系式 检验回归方程的显著性 试验结果预测,4.2 一元线性回归分析,4.2.1 一元线性回归方程的建立 （1）最小二乘原理 设有一组试验数据 （如表），若x，y符合线性关系,残差平方和 ：,残差平方和最小时，回归方程与试验值的拟合程度最好,求残差平方和极小值：,正规方程组（normalequation） ：,解正规方程
2、组：,简算法：,4.2.2 一元线性回归效果的检验,（1）相关系数检验法 相关系数（correlationcoefficient） ： 描述变量x与y的线性相关程度 定义式：,相关系数特点：,1r1 r1：x与y有精确的线性关系,r0：x与y负线性相关（negative linear correlation） r0：x与y正线性相关（positivelinear correlation）,r0时 ，x与y没有线性关系 ，但可能存在其它类型关系 相关系数r越接近1，x与y的线性相关程度越高 试验次数越少 ， r越接近1,当 ，说明x与y之间存在显著的线性关系,对于给定的显著性水平，查相关系数临界
3、值rmin,相关系数检验,（2）F检验,离差平方和 总离差平方和：,回归平方和（regressionsumofsquare） ：,残差平方和 ：,三者关系：,自由度,SST的自由度 ：dfTn1 SSR的自由度 ：dfR1 SSe的自由度 ：dfen2 三者关系： dfT dfR dfe 均方,F检验,F服从自由度为（1，n2）的F分布 给定的显著性水平下 ，查得临界值： F（1，n2) 若F F（1，n2) ，则认为x与y有明显的线性关系，所建立的线形回归方程有意义,方差分析表,4.3 多元线性回归分析,（1）多元线性回归形式 试验指标（因变量）y与m个试验因素（自变量） xj（j=1,2,
4、m） 多元线性回归方程：,4.3.1 多元线性回归方程的建立,偏回归系数：,（2）回归系数的确定,根据最小二乘法原理 ：求偏差平方和最小时的回归系数 偏差平方和：,根据：,得到正规方程组，正规方程组的解即为回归系数。,4.3.2 多元线性回归方程显著性检验,（1） F检验法 总平方和：,回归平方和：,残差平方和：,F服从自由度为（m，nm1）的分布 给定的显著性水平下 ，若FF(m，nm1 )，则y与x1，x2，xm间有显著的线性关系,方差分析表：,（2）相关系数检验法,复相关系数（multiple correlation coefficient）R ： 反映了一个变量y与多个变量（ x1，x
5、2，xm ）之间线性相关程度 计算式 ：,R1时，y与变量x1，x2，xm之间存在严格的线性关系 R0时，y与变量x1，x2，xm之间不存在线性相关关系 当0R1时，变量之间存在一定程度的线性相关关系 RRmin时 ，y与x1，x2，xm之间存在密切的线性关系,R一般取正值 ，0R1,4.3.3 因素主次的判断,（1）偏回归系数的标准化 设偏回归系数bj的标准化回归系数为Pj：,Pj越大，则对应的因素（xj）越重要,（2） 偏回归系数的显著性检验,计算每个偏回归系数的偏回归平方和SSj ： SSjbjLjy SSj的大小表示了因素xj对试验指标y影响程度，对应的自由度dfj1,服从自由度为（1
6、，nm1）的F分布,如果若F F(1，nm1 )， ，则说明xj对y的影响是不显著的，这时可将它从回归方程中去掉，变成（m1）元线性方程,（3）偏回归系数的t检验,t值的计算 ：,单侧t分布表,检验：,如果,说明xj对y的影响显著，否则影响不显著，,4.4.1 一元非线性回归分析,通过线性变换，将其转化为一元线性回归问题 ： 直角坐标中画出散点图； 推测y与x之间的函数关系； 线性变换； 用线性回归方法求出线性回归方程； 返回到原来的函数关系，得到要求的回归方程,4.4 非线性回归分析,4.4.2 一元多项式回归,任何复杂的一元连续函数都可用高阶多项式近似表达 ：,可以转化为多元线性方程：,4.4.3 多元非线性回归,如果试验指标y与多个试验因素xj之间存在非线性关系，如二次回归模型 ：,4.5 Excel在回归分析中的应用,4.5.1 “规划求解”在回归分析中应用 解方程组 最优化 4.5.2 Excel内置函数在回归分析中应用 4.5.3 Excel图表功能在回归分析中的应用 4.5.4 分析工具库在回归分析中应用,
