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1、材料力学,第十二章能量法,2,第十二章 能量法,12-1 概述,12-2 杆件变形能的计算,12-3 互等定理,12-6 单位载荷法 莫尔定理,12-4 卡氏定理,12-7 计算莫尔积分的图乘法,12-5 虚功原理,习题解答,3,12-1 概述,一、能量方法,利用与功和能有关的一些定理（能量原理）求解可变形固体的位移、内力等的方法。,对于弹性体，不考虑其他能量的损失，外力作的功，在数值上就等于积蓄在物体内的应变能。,二、功能原理,U = W,三、外力功,固体在外力作用下变形，引起力作用点沿力作用线方向的位移，外力因此而做功，即外力功。,在弹性范围内，弹性体在外力作用下发生变形而在体内积蓄的能量
2、，称为弹性变形能，简称变形能。,四、变形能,4,12-2 杆件变形能的计算,1、轴向拉压的变形能,当轴力或截面发生变化时：,当轴力或截面连续变化时：,当轴力不变且为等直杆时：,5,2、扭转杆内的变形能,3、弯曲变形的变形能,纯弯曲,横力弯曲,变形能等于内力的平方乘以构件的长度再除以2倍的刚度，若内力或刚度为变量时，将长度取为微量再积分,6,4、组合变形的变形能,截面上存在几种内力，力独立作用原理成立，各个内力只对其相应的位移做功。,5、变形比能,（ J/m3),单位体积的应变能， 记作u,7,例121、试求图示悬臂梁的变形能，并利用功能原理求自由端B的挠度。,解：,由U=W 得：,8,例12-
3、2、试求图示梁的变形能，并利用功能原理求C截面的挠度。,解：,由 U=W 得：,9,例12-3、试求图示四分之一圆曲杆的变形能，并利用功能原理求B截面的垂直位移。 已知EI 为常量。,解：,由 U=W 得,10,例题12-4、拉杆在线弹性范围内工作. 抗拉刚度 EA ，受到F1和F2 两个力作用.,若先在 B 截面加 F1 ， 然后在 C 截面加 F2 ；,若先在 C 截面加 F2 ， 然后在 B 截面加 F1.,分别计算两种加力方法拉杆的应变能.,11,(1) 先在 B 截面加 F1，然后在 C 截面加 F2, 在 B 截面加 F1， B截面的位移为：,外力作功为：, 再在C上加 F2,C截
4、面的位移为：,F2 作功为：,12, 在加F2 后，B截面又有位移（F1作用点又有位移）：,在加 F2 过程中 F1 作功：,所以应变能为：,常力作功,13,(2) 若先在C截面加F2 ，然后B截面加F1., 在C截面加F2 后， F2 作功, 在B截面加F1后， F1作功, 加 F1引起 C 截面的位移：,在加F1 过程中F2作功（常力作功）：,所以应变能为：,应变能只与外力的最终值有关与加载过程和加载次序无关。,14,注意：,1、注意常力做功与变力做功的区别；,2、多个外力引起的同种变形能不能简单叠加而是要算出合内力后，再用变形能公式计算；如果各外力相互独立，即引起的变形互不相同，此时不同
5、的变形能可以叠加。,3、功能原理只能计算构件只作用一个力，力的作用点沿力作用线方向的位移。,15,12-3 互等定理,两力作用点沿力作用方向的 位移分别为：,F1 ， F2,1、设在线弹性结构上作用力：,1 ， 2,一、功的互等定理,16,F1 和 F2 完成的功应为：,2、在结构上再作用有力：,F3 ，F4,沿 F3和 F4方向的相应位移为：,3 , 4,F3 和 F4 完成的功应为：,17,3、在 F3和 F4的作用下，F1 和 F2 的作用点又有位移：,F1 和 F2 在 1和 2上 完成的功应为：,，,因此，按先加 F1，F2 后F3，F4 的次序加力，结构的应变能为：,18,若按先加
6、 F3 ，F4 后加 F1 ， F2 的次序加力，又可求得结构的 应变能为：,由于应变能只决定于力和位移的最 终值，与加力的次序无关,故：,19,功的互等定理: 第一组力在第二组力引起的位移(沿第一组力的方向)上所作的功，等于第二组力在第一组力引起的位移(沿第二组力的方向)上所作的功。,二、位移互等定理,若第一组力只有 F1，第二组力只有 F3，则：,如果 F1= F3 ，则有：,20,位移互等定理：,三、注意,1、力和位移分别是广义力和广义位移；,2、这里是指结构不可能发生刚性位移的情况下，即只是由变形引起的位移。,如果两个力大小相等，那么第一个力引起第二个力作用点的位移等于第二力引起的第一
7、个力作用点的位移（位移均沿力的作用方向）。,21,12-4 卡氏定理,设弹性结构在支座的约束下无任何 刚性位移。,作用有外力：,F1 ，F2 ， ，Fi ， ,相应的位移为：,1 ， 2 ， ， i ， ,结构的变形能：,22,只给 Fi 一个增量 Fi .,引起所有力的作用点沿力方向的位移增 量为：,在作用 Fi 的过程中， Fi 完成的 功为：,原有的所有力完成的功为：,结构应变能的增量为：,23,如果把原来的力看作第一组力，而把 Fi 看作第二组力，,根椐互等定理：,略去高阶微量：,或者：,当 Fi 趋于零时，上式为：,这就是卡氏第二定理（卡氏定理）,24,说 明,(1) 卡氏第二定理只
8、适用于线弹性体。,(2) Fi 为广义力，i 为相应的位移。 且i 为Fi 作用点沿Fi方向的位移。,一个力偶,25,卡氏第二定理的应用, 轴向拉、压, 扭转, 弯曲,26, 平面桁架, 组合变形,位移等于内力乘以内力对载荷的偏导数除以刚度后乘以长度的微量再积分,载荷一定是作用在所求位移点且沿所求位移方向的载荷,27,例125、,解：,AB段,CA段,1、写出弯矩方程及相应的偏导数,28,AB段,CA段,2、求位移,29,AB段,CA段,30,讨论：下列做法错在哪？,CA段:,如何求,31,如果需求某处的位移，而该处并无与位移相应的载荷，则可采取附加力法。,即在所求位移点，沿所求位移的方向（或
9、转向）附加一个集中力（或集中力偶），在求得其线位移（或角位移）表达式后，再令附加的集中力（或集中力偶）为零，即得所求结果。,附加力的大小任意、方向沿位移的方向、指向任意；附加力偶的大小任意、转向可为顺时针也可为逆时针。,32,例126 、,求,解：,AB段,CA段,1、在B截面虚加铅直力F,2、分段写出弯矩方程及相应的偏导数,33,3、求位移,(令F=0),AB段,CA段,34,方法2、求位移,AB段,CA段,(令F=0),35,利用卡氏定理求构件任意点沿任一方向的位移的步骤：,判断所求位移点有没有外力，力的方向与位移方向是否一致,有外力且方向一 致,1、根据变形的类型写出相应的内力方程及对相
10、应的外力求偏导,2、根据变形类型，选用相应的公式求位移,无外力或方向不一致,1、沿位移点、位移方向添加相应外力,3、根据变形类型，选用相应的公式求位移,2、根据变形的类型写出相应的内力方程及对相应的外力求偏导,令附加外力为零,36,例127、求图示刚架A截面的水平位移和转角。,（一）求 f A水平,2、列弯矩方程及求偏导,解：,1、 附加Pf,AB段,BC段,令,37,(1)由于结构对称，载荷对称，CD、DE段与之相同,(2)除非特别说明，求解刚架（细长杆的）位移时， 一般忽略剪切和拉（压）变形能。,水平,3、求位移,38,（二）求 A,2、列弯矩方程及求偏导,1、 附加Mf,39,（与Mf
11、转向相同）,令Mf=0,40,例128、已知EI,P,h,a,求,解：,分析：结构对称，载荷对称,41,一、,1、分段写出弯矩方程及求偏导数,2、求位移,（与P方向相同）,42,1、分段写出弯矩方程及求偏导数,2、求位移（先令m为零）,（与m 转向相同）,43,例129.已知EI、R、P求,1、 附加力V、H于B， （V、H互相独立）,2、写弯矩方程及求偏导数,解：,44,3、求位移（令附加载荷为零）,水平,45,作 业,P60 133（a）、 134 P61 138（a）、 139(c),46,12-5 虚功原理,质点和质点系的虚位移原理：质点和质点系处于平衡状态的充要条件是：作用在其上的力
12、对于虚位移所作的总功为零。,理论依据：,作用在杆件上的力分为外力和内力。,外力：载荷和支座反力。,内力：截面上各部分间的相互作用力。,对于处于平衡状态的杆件，其外力和内力对任意给定的虚位移所作的总虚功等于零。,47,i 为 Fi 力作用点沿Fi方向的相应虚位移 d，d，d ， d 分别为与弯矩M ，剪力FS，轴力FN 和扭矩 T 相对应虚位移；,虚功原理: 外力虚功=内力在相应虚变形上所作的虚功,本原理与材料的性能无关，既可用于线弹性材料又可用于非线性弹性材料，并不要求力与位移一定是线性的。故可用于力与位移成非线性关系的结构。,48,12-6 单位荷载法 莫尔定理,一、莫尔定理的推导,求任意点
13、A的垂直位移f A,49,总变形能为：,1、先在A点作用单位力F0,再作用F1, F2力时：,结构的变形能：,50,2、三个力同时作用时,任意截面的弯矩：,变形能：,51,(莫尔积分),弯曲：,拉压：,扭转：,桁架：,52,二、莫尔定理的普遍形式,注意：上式中应看成广义位移，把单位力看成与广义位移相对应的广义力。,三、使用莫尔定理的注意事项,1、 M(x)：结构在原载荷作用下的内力;,5、 莫尔积分必须遍及整个结构。,3、 求线位移时加单位集中力，求角位移时加单位集中力偶;,53,利用莫尔积分求构件任意点沿任一方向位移的步骤：,1、去掉原载荷，在所求位移点，沿所求位移方向加单位载荷；,3、利用
14、莫尔积分求位移。,2、分别写出对应于原载荷及单位载荷的内力方程；,弯曲,拉伸,扭转,位移=(原载荷作用下某一截面的内力*对应截面在单位载荷作用下的内力/刚度*长度的微量)再积分,54,例题1210 抗弯刚度为EI的等截面简支梁受均布荷载作用，用莫尔定理求梁中点的挠度 fc 和支座A截面的转角。剪力对弯曲的影响不计。,A,q,B,C,l,l/2,解：,2、分别写出对应于实际载荷及单位力的弯矩方程,一、 求C 截面的挠度,1、建立虚拟力状态：（在C点仅作用垂直方向的单位力）,55,3、求位移,56,ql/2,A,A,B,二、 求A截面的转角,1、建立虚拟力状态：（在 A 截面加一单位力偶）,2、相
15、应的弯矩为：,q,C,l,l/2,（顺时针）,ql/2,3、求位移：,57,例1211、刚架的自由端A作用集中力F。刚架各段的抗弯刚度已于图中标出。不计剪力和轴力对位移的影响。计算A点的垂直位移及B截面的转角。,解：一、 计算A点的垂直位移,1、 虚拟力状态：（在A点加竖直向下的单位力）,2、 写出相应的弯矩方程,AB:,BC:,58,3、求位移,AB:,BC:,59,二、 计算B截面的转角,AB:,BC:,2、写出相应的弯矩方程,3、求位移,1、在B上加一单位力偶矩,60,由三杆组成的刚架，B，C为刚性节点，三杆的抗弯刚度都是EI，试用莫尔定理求A1，A2两点的相对位移。,例1212、,61
16、,解：1、附加单位载荷,2、列出相应的弯矩方程,A1B：,BC：,CA2：,3、求位移,62,1、附加单位载荷,2、列出相应的弯矩方程,A1B：,BC：,CA2：,3、求位移,63,例题1213 计算图（a）所示开口圆环在 F力作用下切口的张开量 AB 。 EI=常数。,64,65,例1214、如图所示，桁架各杆材料相同，横截面积相等，试求节点处的水平位移和垂直位移。,解法一（卡氏定理）：,使用节点法，求出各杆的轴力，并标出在图上。,-2P,P,0,P-Q-F,C处虚加F和Q，求出约束反力。,66,应用卡氏定理，求出点的位移。,（F=Q=0）,（向左）,（F=Q=0）,（向上）,-2P,P,0,P-Q-F,67,解法2：解除支座约束，并求出约束反力。,使用节点法，求出各杆的轴力，并标在图上。,在点加水平单位力，,求出各杆的轴力，并标在图上。,-2P,P,P,0,0,0,-1,0,68,在点加竖直单位力，,求出各杆的轴力，并标在图上
