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1、常微分方程（组）求解【实验目的】1求微分方程的符号解。2求微分方程的数值解。【实验相关知识】(一)微分方程的符号解.微分方程的符号解也叫做解析解. 求微分方程（组）的符号解用命令dsolve. 命令格式如下：s=dsolve(方程1,方程2,初始条件1,初始条件2,自变量)说明：用字符串表示方程，自变量缺省则默认为t. 导数用D表示, 2阶导数用D2表示,以此类推。返回值s是符号解.例1. 求初值问题的解。dsolve 命令格式是： dsolve(Dy = y*t/(t-5),y(0) = 2)ans =-2/3125*exp(t)*(t-5)5或者s=dsolve(Dy = y*t/(t-5
2、),y(0) = 2) s = -2/3125*exp(t)*(t-5)5二阶或更高阶方程的处理情况相类似。例如：, y(0) = -1, y(0) = 2写成如下的形式输入MATLAB： dsolve(D2y - y = 0,y(0) = -1,Dy(0) = 2)ans =-3/2*exp(-t)+1/2*exp(t)例2: 求满足初始条件的符号解.写成如下的形式输入MATLAB：s=dsolve(D2y=sin(2*x)-y,y(0)=0,Dy(0)=1,x)simplify(s) %如果得到符号解比较复杂,可以试试化简pretty(s) %显示漂亮的形式。大家得到的结果是什么呢？(二)
3、微分方程的数值解.一般说来,只有对一些典型的常微分方程,才能求出它们的一般解.然而在实际问题中遇到的常微分方程往往很复杂,在许多情况下得不出一般解.所以一般是要求在若干点的近似数值解. 求数值解的命令如下:xout,yout=ode45(equation,x0,xm,y0)说明：(1) 返回值中，xout表示自变量的取值点(x0,x1,xn), yout表示数值解,它是一个矩阵,它的每一列对应y的一个分量。(2) 这里equation必须是事先定义的表示微分方程(组)的M-文件。(3) x0,xm是自变量的区间。(4) y0是初始向量值。(5)ode45还可以换成其他算法,如ode23.注意:
4、 命令ode45或ode23是对一阶常微分方程(组)设计的,因此对高阶常微分方程,需将它转化为一阶常微分方程组.例如对二阶常微分方程,通过令得到一阶常微分方方程组.在求数值解时,我们往往将数值解与画图结合, 将数值解用图像呈现出来.例3: 求解微分方程组先定义M-文件fun1.m。function x=fun1(t,y)x=y(1)*y(2)-0.3*y(1),-y(1)*y(2) ;然后ts=0,50; % 写成ts=0:50也行y0=0.02,0.98; % 表示初始值t,y=ode45(fun1,ts,y0);plot(t,y(:,1),t,y(:,2) %根据x的第一、二列同时作两条曲
5、线grid %为了观察方便,可添上网格线.例4: 求解微分方程.先求符号解,再求数值解, 并作图进行比较.s=dsolve(Dy=-y+t+1,y(0)=1,t)simplify(s)可得符号解为y=t+exp(-t).为了求数值解,先编写M-文件fun.mfunction f=fun2(t,y)f=-y+t+1;保存，再运行如下命令:cleart=0:0.02:1;y=t+exp(-t);plot(t,y) %画符号解的图形hold on %保留已画好的图形,t,y=ode45(fun2,0,1,1);plot(t,y,ro); %画数值解图形,用红色小圆圈xlabel(t),ylabel(y) %标上各坐标名称运行结果见下图, 可见符号解和数值解吻合得很好.作业：问题1：求满足初始条件的符号解。问题 2：解微分方程组初值问题：试画出其相图。. 问题3：求解微分方程先求符号解,再求数值解, 并将符号解和数值解的图形进行比较.
